رياضيات فصل ثاني

تمثيل الاقتران : $f\left(x\right)=\sin x$ ، والاقتران : $f\left(x\right)=\cos x$ بيانياً 

تعلمت سابقاً تمثيل الاقترانين المثلثين : y=sinx ، y=cosx عندما تكون الزوايا بالدرجات في الفترة [0°,360°] ، وذلك بإنشاء جدول قيم للمتغيرين x و y ، وتمثيل كل زوج بنقطة في المستوى . ويمكن استعمال هذه الطريقة لتمثيل الاقترانين نفسيهما عند قياس الزوايا بالراديان في الفترة [0,2π] .

مثال: مثل الاقتران : f(x)=sinx بيانياً في الفترة [0,2π].

الحل: 

الخطوة (1) : أنشىء جدولاً أكتب فيه زوايا شائعة ، نسبها المثلثية معروفة ، مثل : الزوايا الربعية ، والزوايا الخاصة .

الخطوة (2) : جد قيمة sin x   لكل زاوية x ، ثم أكتبها في الجدول الآتي

الخطوة (3) : أعين الازواج المرتبة في المستوى الإحداثي ، ثم أصل بينها بمنحنى ، فينتج التمثيل البياني الآتي .

مثال: مثل الاقتران: $f\left(x\right)=\cos x$ بيانياً في الفترة $[0,2\pi ]$.

الخطوة (1): أنشىء جدولاً أكتب فيه زوايا شائعة ، نسبها معروفة ، مثل : الزوايا الربعية ، والزوايا الخاصة.

الخطوة (2): جد قيمة cosx لكل زاوية x ، ثم أكتبها في الجدول الآتي.

الخطوة (3): أعين الازواج المرتبة في المستوى الاحداثي ، ثم أصل بينها بمنحنى ، فينتج التمثيل البياني الآتي .

---

تذكر: دائرة الوحدة هي دائرة مركزها نقطة الاصل، وطول نصف قطرها وحدة واحدة.

اذا رسمت الزاوية θ في الوضع القياسي، فإن ضلع انتهائها يقطع دائرة الوحدة في نقطة وحيدة هي P(x,y)

---

◘ خصائص التمثيل البياني للاقترانين: $\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\mathbf{x}$

• مجال كل من الاقترانين هو مجموعة الأعداد الحقيقية .

• مدى كل من الاقترانين هو الفترة $[-1,1]$ ، لذا فإن القيمة الصغرى لكل منهما $-1$ ،والقيمة العظمى لكل منهما 1

• سعة منحنى الاقتران هي نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى وتساوي 1 لكل من الاقترانين ، لأن : $\frac{1}{2} (1-(-1\left)\right)=1$

• كل من الاقترانين هو اقتران دوري وهذا يعني ان التمثيل البياني لمنحنى كل منهما له نمط متكرر ، وأن أقصر جزء متكرر من التمثيل يسمى الدورة .

• الطول الأفقي لكل دورة يسمى طول الدورة والتمثيل البياني للاقترانين يظهر أن طول الدورة هو 2π

---

الاقترانات الجيبية: وهي اقترانات الجيب وجيب التمام الناتجة من تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقترانين الرئيسين: $f\left(x\right)=\cos x , f\left(x\right)=\sin x$

بوجه عام ، فإن الصورة العامة للاقترانات الجيبية هي : 

$g\left(x\right)=a \sin (bx-c)+d , g\left(x\right)=a\cos (bx-c)+d$

حيث : a,b,c,d أعداد حقيقية ، a  و  b لا يساويان صفر .
   
التمدد الرأسي للاقترانات الجيبية: 

اذا كان $\left|a\right|>1$  فإن المعامل a في الاقترانين: $g\left(x\right)=a \cos x , g\left(x\right)=a \sin x$

يؤدي الى توسيع رأسي لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\sin x$ ومنحنى الاقتران.

$f\left(x\right)=\cos x$، وإذا كان $\left|a\right|<1$ ، فإن المعامل a يؤدي الى تضييق رأسي للمنحنيين، ما يعني أن قيمة a  تؤثر في سعة الاقترانات الجيبية.

---

• سعة الاقترانات الجيبية: 

بالكلمات: سعة منحنى الاقتران الجيبي هي نصف المسافة بين قيمتيه العظمى والصغرى، أو نصف ارتفاع الموجة.

بالرموز: سعة كلٍ من. $g\left(x\right) = a \sin (bx-c)+d$ ،  و $g\left(x\right)=a\cos (bx-c)+d$ ، هي $\left|a\right|$.

---

لتمثيل منحنى الاقتران الجيبي $\mathbf{g}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{x}$ ، أو الاقتران الجيبي $\mathbf{g}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\mathbf{x}$ بيانيا .

• أرسم نقاط تقاطع اقتران الجيب الرئيس أو جيب التمام الرئيس مع المحور x.

• أستعمل قيمة السعة |a| لتحديد نقاط عظمى وصغرى للاقتران الجيبي.

• أرسم الموجة التي تمر بهذه النقاط .

 

مثال: مثل منحنى كل اقتران مما يأتي بيانياً:

1) $g\left(x\right)=4\cos x$

الحل:

منحنى الاقتران g(x)=4cosx هو توسيع رأسي لمنحنى الاقتران f(x)=cosx ، بمعامل مقداره 4  ولتمثيل منحنى الاقتران g(x) ، اتبع الخطوات الآتية : 

الخطوة 1 : أحدد سعة الاقتران g(x) ، وهي: |4|  ، او 4

الخطوة 2  : أحدد إحداثيات نقاط تقاطع منحنى الاقتران f(x)=cosx مع المحور x والنقاط العظمى والصغرى له في الفترة [0,2π]

الخطوة 3 : أضرب الإحداثي y لكل نقطة عظمى أو صغرى على منحنى الاقتران f(x) في سعة الاقتران g(x) ، لايجاد النقاط المقابلة لها على منحنى الاقتران g

الخطوة 4 : أمثل منحنى الاقتران g(x) اعتماداً على النقاط الجديدة .

2) $g\left(x\right)=\frac{1}{2} \sin x$

الحل:

منحنى الاقتران $g\left(x\right)=\frac{1}{2} \sin x$ هو  تضييق رأسي لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\sin x$ ، بمعامل مقداره $\frac{1}{2}$ ولتمثيل منحنى الاقتران g(x) ، اتبع الخطوات الآتية : 

الخطوة 1 : أحدد سعة الاقتران g(x) ، وهي : $\left|\frac{1}{2}\right|$  ، أو $\frac{1}{2}$
الخطوة 2  : أحدد إحداثيات نقاط تقاطع منحنى الاقتران f(x)=sinx مع المحور x والنقاط العظمى والصغرى له في الفترة $[0,2\pi ]$
الخطوة 3 : أضرب الإحداثي y لكل نقطة عظمى أو صغرى على منحنى الاقتران f(x) في سعة الاقتران g(x) ، لايجاد النقاط المقابلة لها على منحنى الاقتران g(x)
الخطوة 4 : أمثل منحنى الاقتران g(x) اعتماداً على النقاط الجديدة.

---

التمدد الأفقي للاقترانات الجيبية: 

اذا كان $\left|b\right|<1$  فإن المعامل b في الاقترانين: $g\left(x\right)=\cos bx ,g\left(x\right)=\sin bx$ يؤدي الى توسيع أفقي لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\sin x$ ومنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\cos x$ ،

وإذا كان $\left|b\right|>1$ ، فإن المعامل b يؤدي الى تضييق أفقي للمنحنيين ، ما يعني أن قيمة b  تؤثر في  طول دورة الاقترانات الجيبية .
 

طول دورة الاقترانات الجيبية : 

بالكلمات: طول دورة الاقتران الجيبي هو المسافة بين مجموعتين مُتكرِّرتين من النقاط على منحناه.

بالرموز: طول دورة كل من: $g\left(x\right)= a \sin (bx-c)+d$ و $g\left(x\right) =a\cos (bx-c)+d$، هو $\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|b\right|}$ حيثُ $b\ne 0$

مثال: مثل منحنى الاقتران $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\cos 2\mathrm{x}$ بيانياً.

الحل:

منحنى الاقتران $g\left(x\right)=\cos 2x$ هو تضييق أفقي لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\cos x$، بمعامل مقداره $\frac{1}{2}$ ، ولتمثيل منحنى الاقتران g(x) ، أتبع الخطوات الآتية : 
الخطوة 1 : أحدد طول دورة الاقتران g(x) ، وهي: $\frac{2\pi }{\left|b\right|} =\frac{2\pi }{\left|2\right|} =\pi$
الخطوة 2 : أحدد إحداثيات نقاط تقاطع الاقتران f(x)=cosx مع المحور x ، والنقاط العظمى والصغرى له في الفترة [0,2π].
الخطوة 3 : أذرب الإحداثي x لكل نقطة مفتاحية على منحنى الاقتران f(x) في $\frac{1}{2}$ ، لايجاد النقاط المقابلة لها على منحنى الاقتران g(x) .

الخطوة 4 : أمثل منحنى الاقتران g(x) اعتماداً على النقاط الجديدة .

---

تعلَّمتُ سابقًا أنَّ منحنى الاقتران $g\left(x\right) =f\left(x\right) + c , c>0$ ، هو منحنى الاقتران (f(x، مزاحًا C وحدة إلى الأعلى، وأنَّ منحنى الاقتران $g\left(x\right) = f\left(x\right) - c$ هو منحنى
الاقتران (f(x، مزاحًا c وحدة إلى الأسفل وهذه القاعدة تنطبق على الاقترانات الجيبية.

يتذبذب منحنيا الاقترانين الرئيسين: $f\left(x\right) = \sin x، و f\left(x\right) = \cos x$ حول المحور x، ولكنْ عند إجراء انسحاب رأسي للاقتران الجيبي، فإنَّ منحناه یتذبذب حول محور جدید
يُسمّى خط الوسط (midline).

بوجه عام، فإن خط الوسط لمنحنى الاقتران الجيبي $g\left(x\right) = a \sin (bx -c)+d$، أو منحنى الاقتران الجيبي $g\left(x\right) = a \cos (bx - c)+d$، هو y =d.

 

مثال: مثل منحنى الاقتران $g\left(x\right)=2+\cos x$ بيانياً .

الحل: 

منحنى الاقتران $g\left(x\right)=2+\cos x$ هو منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\cos x$ ، مزاحاً وحدتين الى الأعلى. ولتمثيله بيانياً ، أحدد النقاط المفتاحية لمنحنى الاقتران f(x) ، ثم أزيد الإحداثي y بمقدار 2 لكل نقطة ، ثم أعينها في المستوى الإحداثي ، واصلاً بينها بمنحنى .
نلاحظ أن خط الوسط لمنحنى الاقتران $g\left(x\right)=2+\cos x$ هو y=2 ، وأن النقاط المفتاحية تتذبذب حوله .

---

الانسحاب الأفقي للاقتران الجيبية: 

تعلمت سابقاً أن منحنى الاقتران g(x)=f(x+c),c>0 هو منحنى الاقتران f(x) ، مزاحاً c وحدة إلى اليسار ، وأن منحنى الاقتران g(x)=f(x-c) هو منحنى الاقتران f(x)، مزاحاً c  وحدة إلى اليمين . وهذه القاعدة تنطبق على الاقترانات الجيبية .

مثال:

مثل منحنى الاقتران $g\left(x\right)=\sin (x-\frac{\pi }{3})$ بيانياً .

منحنى الاقتران $g\left(x\right)=\sin (x-\frac{\pi }{3})$ هو منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\sin x$ ، مزاحاً $\frac{\pi }{3}$  وحدة الى اليمين.

ولتمثيله بيانياً ، أحدد النقاط المفتاحية لمنحنى الاقتران f(x) ، ثم أضيف $\frac{\pi }{3}$  الإحداثي x لكل نقطة ، ثم أعينها في المستوى الإحداثي ، واصلاً بينها بمنحنى .

 

تعلَّمتُ في الأمثلة السابقة تمثيل الاقترانات الجيبية في صورة $g\left(x\right)= a\sin (bx - c)+d$، وصورة $g\left(x\right)=a\cos (bx-c)+d$ إذا كانت $a>0$

ولتحديد تأثير قيمة a عندما تكون $a< 0$ ، أتأمَّل التمثيل البياني لمنحنيي الاقترانين الآتيين. $g\left(x\right)= -\sin x، و g\left(x\right) =- \cos x.$

أُلاحِظ أنَّ منحنى الاقتران $g\left(x\right) =-\sin x$ هو انعكاس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)= \sin x$ حول المحور x، وأنَّ منحنى الاقتران $g\left(x\right) = - \cos x$ هو أيضًا انعكاس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\cos x$ حول المحور $x$

بوجه عام، عندما تكون $a<0$ ، فإنّ منحنى الاقتران $g\left(x\right)= a \sin (bx-c)+d$ ، ومنحنى الاقتران $g\left(x\right) = a \cos (bx-c)+d$ يكونان انعكاسًا لمنحنى الاقتران:

$g\left(x\right) =\left|\mathrm{a}\right| \sin (bx-c)+d$ ، ومنحنى الاقتران $g\left(x\right)=\left|a\right| \cos (bx -c)+d$ على الترتيب حول خط الوسط $\mathrm{y}=\mathrm{d}$ .

مثال: جد السعة ، وطول الدورة ، ومعادلة خط الوسط للاقتران g(x)=-1/2 cos(x-3π/2)+1 ثم مثله بيانياً .

الحل: 

$a=-\frac{1}{2} ,b=1 ,c=\frac{3\pi }{2} ,d=1$

السعة: $\left|a\right|=\frac{1}{2}$
طول الدورة: $\frac{2\pi }{\left|b\right|} =\frac{2\pi }{\left|1\right|} =2\pi$

معادلة خط الوسط : y=1

لتمثيل منحنى الاقتران g(x) بيانياً : 

• أمثل خط الوسط y=1 في المستوى الإحداثي .

• أمثل منحنى الاقتران y=cosx باستعمال النقاط المفتاحية .

• أعكس النقاط المفتاحية من الخطوة السابقة حول المحور x .

• أضرب الاحداثي y للنقاط المفتاحية في $\frac{1}{2}$ ، لتضييق سعة منحنى الاقتران رأسياً.

• أضيف $\frac{3\pi }{2}$  الاحداثي x لكل نقطة مفتاحية ، لإزاحة منحنى الاقتران $\frac{3\pi }{2 }$ وحدة الى اليمين .

• أضيف 1 الى الاحداثي y ، لإزاحة منحنى الاقتران وحدة الى الأعلى .

• أمثل منحنى الاقتران g(x) اعتماداً على النقاط الجديدة.

 

 

---

الحركة التوافقية البسيطة: 

اذا كانت المعادلة التي تصف الإزاحة y لجسم من موقع الاتزان مع الزمن t هي : $g\left(x\right)=a \sin \omega t$  or $g\left(x\right)=a \cos \omega t$

فإن الجسم يكون في حركة توافقية بسيطة عندئذٍ يمكن إيجاد ما يأتي :

• أقصى إزاحة للجسم، وهي تساوي سعة الاقتران $\left|a\right|$

• الزمن الذي يكمل فيه الجسم دورة كاملة ، وهو يساوي $\frac{2\pi }{\omega }$

• التردد وهو عدد الدورات في وحدة الزمن ، وهو يساوي $\frac{\omega }{2\pi }$
 

مثال: يمثل الاقتران: $g\left(x\right)=10 \sin 4\pi t$ إزاحة كتلة معلقة في زنبرك بالسنتيمترات، حيث t الزمن بالثواني: 

1) جد أقصى ازاحة ، ودورة الاقتران ، والتردد لحركة الكتلة .

$a=10 ,\omega =4\pi$

أقصى إزاحة: $\left|a\right|=\left|10\right|=10$

دورة الاقتران: $\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}$

إذن ، تكمل الكتلة دورة كاملة في $\frac{1 }{2}$ ثانية .

التردد: $\frac{\omega }{2\pi }=\frac{4\pi }{2\pi }=2$

إذن ، تكمل الكتلة دورتين كاملتين في ثانية .

 

2) أمثل منحنى إزاحة الكتلة مع الزمن بيانياً.

 

---

تمثيل اقتران الظل: 

خصائص اقتران الظل: 

يمتاز الاقتران $f\left(x\right)=\tan x$ بالخصائص الآتية : 

طول الدورة π 

المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ، ما عدا $\frac{\pi }{2} n$ ، حيث n عدد صحيح فردي .

المدى هو جميع الأعداد الحقيقية.

---

الصيغة العامة لاقتران الظل هي: $\mathbf{g}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{(}\mathbf{b}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{c}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{d}\mathbf{ }$

حيث : a,b,c,d أعداد حقيقية ، و a و b  لا يساويان صفراً .

مثال: مثل منحنى الاقتران: $g\left(x\right)=2\tan x-1$  بيانياً ، ثم حدد مجاله ومداه .

الحل: في هذا الاقتران: $a=2,b=1,c=0,d=-1$

منحنى الاقتران $g\left(x\right)=2\tan x-1$ هو توسيع رأسي لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)=\tan x$ ، بمعامل مقداره 2 ، وازاحة رأسية الى الاسفل مقدارها 1 ، لذا اضرب الاحداثي y لكل نقطة على منحنى f(x) في 2  ، ثم اطرح منه 1

مجال الاقتران هو جميع الاعداد الحقيقية ، ما عدا $\frac{\pi }{2} n$  ، حيث n عدد صحيح فردي ، ومداه جميع الاعداد الحقيقية .