رياضيات أدبي

الأول ثانوي أدبي

icon

حَلُّ المتباينة الخطية بمتغيرين بيانيًا

فكرة الدرس : حَلُّ متباينة خطية بمتغيرين بيانيًّا.

المتباينة الخطية : جملة رياضية تحوي الرمز  ≤ ، أو  ≥ ، أو  > ، أو  < ، وأنَّها قد تحتوي على متغير واحد أو متغيرين. من الأمثلة على المتباينات الخطية بمتغيرين:

x + 3y  6            ,        4x + 8 > 2y       ,           y - 5x  -10

 

•• يكون الزوج المُرتَّب (a , b) حلًا للمتباينة الخطية بمتغيرين إذا كان الناتج صحيحًا عند تعويض إحداثييه في المتباينة.

مثال : 

أُحدِّد إذا كان كل زوج مُرتَّب ممّا يأتي يُمثل حَلًا للمتباينة : 5x + 2y  6

a) (2 , -3)

b) (1 , 2)

الحل : 

a) (2 , -3)  

نعوض الزوج المرتب (2 , -3) في المتباينة : 5x + 2y  6

المتباينة   5x + 2y  6

تعويض x = 2  ،   y = -3   

 

الناتج صحيح ، إذن الزوج المرتب (3 - ، 2) يمثل حلًا للمتباينة. 

5(2) + 2 (-3) ? 610 - 6  ? 64   6        

 

 

 

 

 

 

 


b) (1 , 2)

نعوض الزوج المرتب (1 , 2) في المتباينة 5x + 2y  6

المتباينة الخطية    5x + 2y  6

تعويض x = 2  ،   y = -3   

 

الناتج غير صحيح ، إذن الزوج المرتب (2 ، 1) لا يمثل حلًا للمتباينة. 

5(1) + 2 (2) ? 65 + 4  ? 69   6            

 

 

 

 

 

 

 

تمثيل المتباينة الخطية بمتغيرين بيانيًا ، وتحديد منطقة الحلول الممكنة لها 

 عند تمثيل المتباينة الخطية بيانيًّا على المستوى الإحداثي ، فإنَّ النقاط التي تُمثِّل جميع حلولها المُمكِنة تُسمّى منطقة الحلول المُمكِنة  .

•• لتمثيل المتباينة بيانيًّا، أبدأ برسم مستقيم المعادلة المرافقة للمتباينة، التي أحصل عليها باستبدال الرمز ( ≥ ، ≤ ، >، <) برمز المساواة (=) ، حيث تُمثِّل المعادلة الناتجة مستقيمًا يُسمّى المستقيم الحدودي ؛ وهو مستقيم يُقسِّم المستوى الإحداثي إلى جزأين، أحدهما منطقة الحلول المُمكِنة.

قد يكون المستقيم الحدودي جزءًا من منطقة الحلول المُمكِنة إذا تضمَّنت المتباينة الرمز ≤ أو الرمز  ≥ ، عندئذٍ يُرسَم المستقيم الحدودي متصلًا كما في الشكل الآتي :

وقد لا يكون المستقيم الحدودي جزءًا من منطقة الحلول المُمكِنة إذا تضمَّنت المتباينة الرمز < أو الرمز >، عندئذٍ يُرسَم المستقيم الحدودي مُتقطِّعًا كما في الشكل الآتي :

            

لتحديد أيِّ المنطقتين على جانبي المستقيم الحدودي هي منطقة الحلول المُمكِنة، أختار أيَّ نقطة ( a, b ) لا تقع على المستقيم الحدودي، ثم أُعوِّضها في المتباينة الخطية، فإذا كانت تُحققها (أي ينجم عنها نتيجة صحيحة) ، أُظلل الجزء من المستوى الإحداثي الذي تقع فيه تلك النقطة، وإلّا أُظلل الجزء الآخر الذي لا تقع فيه تلك النقطة.

مثال : 

أُمثِّل المتباينة الخطية:  x + 2y > 4  على المستوى الإحداثي. 

الحل : 

الخطوة 1 : تمثيل المستقيم الحدودي x + 2y = 4 

أُنشئ جدول قِيم لأجد نقاط تقاطع المستقيم مع المحورين ، وذلك بجعل x = 0  ؛ لأجد نقطة تقاطع المستقيم مع المحور y  ، ثم جعل y = 0 ؛ لأجد نقطة تقاطع المستقيم مع المحور x    

4 0 x
0 2 y

 

 

 

أُعيِّن النقطتين (2 , 0) و (0 , 4) على المستوى الإحداثي ، ثم أرسم مستقيمًا يمر بهما. وبما أنَّه لا توجد مساواة في رمز المتباينة فإنَّ المستقيم الحدودي يُرسم متقطعًا كما في الشكل المجاور.

الخطوة 2 : تحديد منطقة الحلول المُمكِنة.

أختار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي ، مثل (0 , 0) ، ثم أتحقَّق إذا كان الناتج صحيحًا أم لا عند تعويضها في المتباينة : 

المتباينة الخطية  :  x + 2y  <  4

بالتعويض  :   0+ 2(0) <? 40 < 4         

 

الخطوة 3 : تظليل منطقة الحلول المُمكِنة.

بما أنَّ النقطة ( 0 , 0) أفضت إلى ناتج صحيح للمتباينة ، فإنَّني أُظلِّل الجزء من المستوى الذي تقع فيه هذه النقطة كما في الشكل الآتي : 

 


•• للمتباينات استعمالات كثيرة في المواقف العلمية والحياتية ؛ إذ تساعدنا على اتخاذ القرار الأنسب المُتعلق بتحديد القِيَم المُمكنة ضمن شروط مُحددة.

مثال : 

أراد مركز تعليمي شراء نوعين من الآلات الحاسبة ، إذا كان ثمن الحاسبة من النوع الأول يساوي 15 دينار ، وثمن الحاسبة من النوع الثاني يساوي 24 دينار ، وكان المبلغ المُخصص لشراء هذه الآلات لا يزيد عن 240 دينار ، فأجد عدد الآلات الحاسبة التي يُمكن شراؤها من كل نوع. 

الحل : 

الخطوة 1 : أكتب المتباينة التي تعبّر عن المسألة جبريًا .

أفرض عدد الآلات الحاسبة من النوع الأول  =  x 

أفرض عدد الآلات الحاسبة من النوع الثاني  = y 

الثمن = سعر القطعة الواحدة × عدد القطع ، إذن ثمن النوع الأول من الحاسبات  = 15x ، وثمن النوع الثاني من الحاسبات = 24y

أكوّن المتباينة : 

15x + 24y  240

الخطوة 2 : أمثل المتباينة  

1) أرسم المستقيم الحدودي : 15x + 24y = 240

16 0 x
0 10 y

 

 

2) اختبار نقطة لا تقع على المستقيم الحدودي وتعويضها في المتباينة 15x + 24y  240 ، ثم تحديد منطقة الحل . 

•• وهنا تنحصر منطقة الحل في الربع الأول من المستوى الإحداثي ؛ لأن أعداد الحاسبات لا يكون سالبًا ، ويُؤخذ من منطقة الحل الأعداد الصحيحة فقط لأن أعداد الحاسبات لا يكون إلا عددًا صحيحًا . 

على سبيل المثال : النقطة ( 4 , 8) تُمثل حلًا للمتباينة ، ويمثل الإحدائي x عدد الحاسبات من النوع الأول ، ويمثل الإحدائي y عدد الحاسبات من النوع الثاني . وعند التعويض في المتباينة يكون الثمن أقل من 240 (أي ضمن المبلغ المُخصص لذلك).