يمكن ايجاد مشتقة الاقتران المركب: $f\left(x\right)=(x^4+6x{)}^8$ بايجاد مشتقة الاقتران الخارجي وايجاد قيمتها عند الاقتران الداخلي، ثم ضربها في مشتقة الاقتران الداخلي ، في ما يسمى قاعدة السلسلة.

 

بوجه عام، يمكن ايجاد مشتقة الاقتران الناتج من تركيب أي اقترانين قابلين للاشتقاق كما يأتي: 

- اذا كان f(x) و g(x) اقترانين قابلين للاشتقاق ، فأنه يمكن ايجاد مشتقة الاقتران المركب $\left(fog\right)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$ باستعمال القاعدة الآتية: $\left(fog{)}^{\text{'}}\right(x)=f^{\text{'}}(g\left(x\right))\times g^{\text{'}}(x)$ وبصيغة أخرى ، اذا كان: $y=f\left(u\right)$ ، وكان: $u=g\left(x\right)$ ، فإنّ: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

• مثال (1): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي: 

1) $y=(x^3+7{)}^4$ 2) $y=\sqrt{(4-3x)}$

الحل:

1) $\frac{dy}{dx}=4(x^3+7{)}^3\times (3x^2)=12x^2(x^3+7{)}^3$

2) $y=(4-3x{)}^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(4-3x{)}^{-\frac{1}{2}}\times -3=-\frac{3}{2\sqrt{4-3x}}$

---

• تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي: 

1) $y=(x^7+2x{)}^{11}$             2) $y=\sqrt{x^4+5x}$

---

قاعدة سلسلة القوة : 

تعرفت في المثال السابق كيفية ايجاد مشتقة الاقتران المركب في صورة: $f\left(x\right)=\left(g\right(x){)}^n$ وهو أحد أكثر الاقترانات المركبة شيوعاً . والآن سنتعرف على قاعدة عامة لايجاد مشتقة الاقتران، تسمى قاعدة سلسلة القوة وهي حالة خاصة من قاعدة السلسلة ، حيث الاقتران الخارجي f هو اقتران قوة.

- اذا كان n أي عدد حقيقي، وكان $g\left(x\right)$ اقتراناً قابلاً للاشتقاق، فإن: 

$\frac{d}{dx}\left(g\right(x){)}^n=n(g\left(x\right){)}^{n-1}\times g^{\text{'}}\left(x\right)$

---

• مثال (2): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة  x المعطاة :
1) $f\left(x\right)=(2x^4-x{)}^3 , x=1$

2) $f\left(x\right)=\sqrt{1+x^3} , x=2$

3) $y=\sqrt[4]{{(2x^2-7)}^5}={(2x^2-7)}^{\frac{5}{4}}$

الحل:

1) $$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=3(2x^4-x{)}^2\times (8x^3-1\left) \\ {f}^{\text{'}}\right(1)=21 \end{gathered}$$

2) $$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\sqrt{1+x^3}} \\ {f}^{\text{'}}\left(2\right)=2 \end{gathered}$$

3) $$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{5}{4}{(2x^2-7)}^{\frac{1}{4}} \left(4x\right)=5x\times \sqrt[4]{2x^2-7} \\ \frac{dy}{dx} {|}_{x=4}=5\times \sqrt[4]{2{\left(4\right)}^2-7}=20\sqrt[4]{25} \end{gathered}$$

---

• تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة  x المعطاة.

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+3x+2} , x=2$

---

قواعد الاشتقاق الأساسية  وقاعدة السلسلة. 

مشتقة المجموع ، ومشتقة الفرق ، ومشتقة مضاعفات القوة: اذا كان الاقتران f والاقتران g قابلين للاشتقاق ، وكان a عدداً حقيقياً ، فأن مشتقة كل من $f+g$ و $f-g$ و $af$ هي:  • مشتقة المجموع ، أو مشتقة الفرق: $(f\pm g{)}^{\text{'}}(x)=f^{\text{'}}(x)\pm g^{\text{'}}(x)$ • مشتقة مضاعفات الاقتران: $\left(af{)}^{\text{'}}\right(x)=a{f}^{\text{'}}(x)$

• مثال (3): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي: 

1) $f\left(x\right)=(1+x^3{)}^4+x^8+2$

2) $f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x-1}-{(x-3)}^3$ 

الحل:

1) $f^{\text{'}}\left(x\right)=4(1+x^3{)}^3(3x^2)+8x^7=12x^2(1+x^3{)}^3+8x^7$

2) $f\left(x\right)={(2x-1)}^{\frac{1}{3}}-{(x-3)}^3$

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}(2x-1{)}^{-\frac{2}{3}}(2)-3(x-3{)}^2\left(1\right) \\ =\frac{2}{3\sqrt[3]{{(2x-1)}^2} }-3{(x-3)}^2 \end{gathered}$$

---

- تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي: 

1) $f\left(x\right)=\sqrt{2x-5}+(4-x{)}^2$

2) $f\left(x\right)=(\sqrt{x}+5x{)}^4+2x^2$

---

معدل التغير : 

تعلمت سابقاً أن المشتقة هي نهاية ميل قاطع المنحنى بين النقطتين:  $(x,f(x\left)\right),(x+h,f(x+h\left)\right)$ عندما $h\to 0$. وبما أن ميل القاطع هو معدل تغير قيمة $y$ بالنسبة الى قيمة $x$ ، فإن المشتقة هي معدل تغير أيضاً ، ولكن عند لحظة (نقطة) معينة . فمثلاً : اذا كان المطلوب هو إيجاد $\frac{dy}{dx}$ ، فهذا يعني إيجاد معدل تغير y بالنسبة الى x . - تتطلب كثير من المواقف الحياتية إيجاد معدل تغير كمية ما بالنسبة الى كمية أخرى عند لحظة معينة . مثل إيجاد معدل تغير كمية أول أكسيد الكربون في الجو بالنسبة الى عدد السكان .

مثال (4): يمثل الاقتران: $P\left(t\right)=\sqrt{10t^2+t+229}$  إجمالي الأرباح السنوية لإحدى الشركات الصناعية (بآلاف الدنانير )، حيث t عدد السنوات بعد عام 2015 م .
1) جد معدل تغير إجمالي الأرباح السنوي للشركة بالنسبة إلى الزمن t.
2) جد معدل تغير إجمالي الأرباح السنوي للشركة عام 2020 م ، مفسراً معنى الناتج.
الحل: 
1) $P^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{20t+1}{2\sqrt{10t^2+t+229}}$

2) $t=2020-2015=5$

$P^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{20\left(5\right)+1}{2\sqrt{250+5+229}}=\frac{101}{(2\sqrt{484}}\approx 2.3$

اذن، في سنة 2020 يزداد اجمالي الأرباح بمعدل 2300 دينار لكل سنة.

---

- تدريب: يمثل الاقتران: $C\left(x\right)=1000\sqrt{x^2-0.1x}$ تكلفة انتاج $x$ قطعة من منتج معين (بآلاف الدنانير ):
1) جد معدل تغير تكلفة الانتاج بالنسبة الى عدد القطع المنتجة .
2) جد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 20 قطعة.

---

قاعدة السلسلة ، والمتغير الوسيط: 

إن المشتقة هي معدل تغير كمية ما بالنسبة الى كمية أخرى ، كما تعلمنا سابقاً وتأسيساً على ذلك فإن قاعدة السلسلة $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$ تعني أن $\mathit{y}$ هو اقتران بالنسبة الى $\mathit{x}$ عن طريق المتغير $\mathit{u}$ الذي يسمى المتغير الوسيط.

• مثال (5): إذا كان: $y=u^5+u^3$ ، حيث : $u=3-4x$ ، فجد $\frac{dy}{dx}$ عندما x=2 .
الحل: 

$$\begin{gathered} \frac{dy}{du}=5u^4+3u^2 \\ \frac{du}{dx}=-4 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx} \\ =(5u^4+3u^2)\times -4 \\ =-4\left(5\right(3-4x{)}^4+3(3-4x{)}^2) \\ =-20(3-4x{)}^4-12(3-4x{)}^2 \\ \frac{dy}{dx}{|}_{x=2}=-20\left(625\right)-12\left(25\right)=-12800 \end{gathered}$$

---

تدريب: إذا كان $y=(1+u^2{)}^3$ حيثُ $u=2x-1$ ، فجد $\frac{dy}{dx}$ عندما x=1.

---