رسم الزاوية في الوضع القياسي
تعلمت سابقاً أن الزاوية المرسومة في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي هي زاوية يقع رأسها عند نقطة الأصل (0,0) ، وضلع ابتدائها منطبق على المحور x الموجب .
تعلمت أيضاً أن قياس الزاوية يصف مقدار الدوران واتجاهه اللازمين للانتقال من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء ، وأن قياس الزاوية يكون موجباً اذا كان دوران ضلع الانتهاء عكس اتجاه حركة عقارب الساعة ، وسالباً اذا كان دوران ضلع الانتهاء مع اتجاه حركة عقارب الساعة .
مثال: أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلم قياسها في كل مما يأتي :
1) 500°
الزاوية 500° تزيد على الزاوية 360° بمقدار 140° ، فإن ضلع الانتهاء أكمل دورة كاملة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة ، ثم دار أيضاً 140° عكس اتجاه دوران عقارب الساعة .
2)
الزاوية زاوية سالبة ، فأننا نرسم ضلع الانتهاء بالدوران 50° في اتجاه دوران عقارب الساعة ، بدءاً بالجزء الموجب من x
الراديان:
تعلمت سابقاً أنه يمكن قياس الزوايا بالدرجات ، ويمكن أيضاً قياسها بوحدة تعتمد على طول قوس الدائرة ، وتسمى الراديان . فقياس الزاوية المرسومة في الوضع القياسي ، التي يحدد ضلع انتهائها قوساً من الدائرة ، طوله مساوٍ لنصف قطر الدائرة ، هو 1 راديان .
وبما أن محيط الدائرة يساوي ، فإن قياس زاوية الدورة الكاملة هو راديان ( عدد مرات تكرار r في ) . وبذلك فإن القياس بالدرجات والقياس بالراديان مرتبطان بالمعادلة الآتية:
وهذه يعني أن قياس الزاوية المستقيمة ، وأن قياس الزاوية القائمة هو ، وأن قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله وحدتان هو .
وبما أن ، اذن ، ويمكن من خلال هاتين العلاقتين تحويل قياس أي زاوية من الدرجات إلى الراديان والعكس على النحو الآتي:
• مثال: حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان ، وقياس الزاوية المكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي :
قياس الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان:
يبين الشكل المجاور القياسات المتكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من 0° إلى360° ( من 0 rad إلى 2π rad ) .
• الزوايا المُشتركة:
يُمكِن إيجاد زاوية مُشتركة في ضلع الانتهاء مع زاوية أخرى عن طريق جمع أو طرح أحد مضاعفات الزاوية °360 أو 2T
بالدرجات
إذا كانت تُمثِّل القياس بالدرجات لزاوية ما، فإنَّ جميع الزوايا ذات القياس هي زوايا مشتركة مع ، حيث n عدد صحيح.
بالراديان
إذا كانت تُمثِّل القساس بالراديان لزاوية ما، فإنَّ جميع الزوايا ذات القياس هي زوايا مُشتركة مع ، حيث n عدد صحيح.
• مثال: جد زاويتين إحداهما قياسها موجب ، والأخرى قياسها سالب ، وكلتاهما مُشتركة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة مما يأتي ، ثم أرسمها:
1)
أولاً بتعويض n=1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها موجب
ثانياً بتعويض n=-1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها سالب
بالرسم:
2)
أولاً: بتعويض n=1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها موجب
ثانياً: بتعويض n=-1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها سالب
بالرسم:
تطبيقات : طول القوس ومساحة القطاع
تعلمت سابقاً أن القوس جزء من الدائرة مُحدد بنقطتين عليها ، وأن القطاع هو الجزء المحصور بين قوس منها ونصفي القطرين اللذين يمران بطرفي القوس.
وسأتعلم الآن إيجاد طول القوس ومساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية بالراديان.
طول القوس:
مساحة القطاع:
حيث :
s : طول القوس r : نصف القطر
مثال: يبين الشكل المجاور قطاعاً دائرياً زاويته المركزية 240° في دائرة طول نصف قطرها 4cm . جد طول القوس ومساحة القطاع ، وأقرب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة .
الحل:
لإيجاد طول قوس القطاع الدائري باستعمال الصيغة : s=rθ ، نحول قياس زاوية القطاع من الدرجات الى الراديان .
الخطوة1: أحول قياس الزاوية المركزية من الدرجات إلى الراديان
الخطوة2: أجد طول القوس
الخطوة3: أجد مساحة القطاع
تطبيقات الحركة الدائرية:
يمكن وصف حركة نقطة تتحرك على محيط الدائرة كما في الشكل المجاور باستعمال السرعة الخطية وهي التي تمثل المعدل الذي تتغير فيه المسافة المقطوعة مقسومة على المدة الزمنية المنقضية.
ويمكن وصف حركة النقطة باستعمال السرعة الزاوية وهي التي تمثل المعدل الذي يتغير فيه قياس الزاوية المركزية . فالسرعة المركزية هي قيمة التغير في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي .
ويمكننا إيجاد السرعة الخطية من خلال العلاقة:
حيث : s طول القوس الذي تقطعه النقطة في مدة زمنية مقدارها t و v السرعة الخطية
ويمكننا ايجاد السرعة الزاوية من خلال العلاقة :
حيث ω : السرعة الزاوية
معلومة : الحرف اليوناني ω يقرأ اوميغا ويستعمل للدلالة على السرعة الزاوية .
مثال: يدور طفل حجراً مربوطاً بطرف حبل طول 3ft بمعدل 15 دورة في 10 ثوانٍ . جد السرعة الزاوية والسرعة الخطية للحجر
أولاً: نجد السرعة الزاوية
ثانياً: نجد السرعة الخطية .
بتعويض: