رياضيات فصل ثاني

الحادي عشر خطة جديدة

icon

رسم الزاوية في الوضع القياسي 

تعلمت سابقاً أن الزاوية المرسومة في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي هي زاوية يقع رأسها عند نقطة الأصل (0,0)  ، وضلع ابتدائها منطبق على المحور x الموجب .

الوضع القياسي للزاوية

تعلمت أيضاً أن قياس الزاوية يصف مقدار الدوران واتجاهه اللازمين للانتقال من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء ، وأن قياس الزاوية يكون موجباً اذا كان دوران ضلع الانتهاء عكس اتجاه حركة عقارب الساعة ، وسالباً اذا كان دوران ضلع الانتهاء مع اتجاه حركة عقارب الساعة .
القياس السالب والموجب للزاوية

 

مثال: أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلم قياسها في كل مما يأتي : 

1)  500°

الزاوية 500° تزيد على الزاوية 360° بمقدار 140°  ، فإن ضلع الانتهاء أكمل دورة كاملة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة ، ثم دار أيضاً 140°  عكس اتجاه دوران عقارب الساعة .
الزاوية 500

2) -50°

الزاوية -50°  زاوية سالبة ، فأننا نرسم ضلع الانتهاء بالدوران 50° في اتجاه دوران عقارب الساعة ، بدءاً بالجزء الموجب من x

الزاوية سالب 50


الراديان: 

تعلمت سابقاً أنه يمكن قياس الزوايا بالدرجات ، ويمكن أيضاً قياسها بوحدة تعتمد على طول قوس الدائرة ، وتسمى الراديان . فقياس الزاوية المرسومة في الوضع القياسي ، التي يحدد ضلع انتهائها قوساً من الدائرة ، طوله مساوٍ لنصف قطر الدائرة ، هو 1 راديان .

وبما أن محيط الدائرة يساوي 2πr ، فإن قياس زاوية الدورة الكاملة هو 2π راديان ( عدد مرات تكرار r في 2πr ) . وبذلك فإن القياس بالدرجات والقياس بالراديان مرتبطان بالمعادلة الآتية: 

360°=2π rad                 or        180°=π rad
 

وهذه يعني أن قياس الزاوية المستقيمة π rad ، وأن قياس الزاوية القائمة هو π2 rad ، وأن قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله وحدتان هو 2 rad

الزاوية راديان

 

وبما أن 180°=π rad ، اذن 1 rad=(180π)° ، 1°=π180 rad ، ويمكن من خلال هاتين العلاقتين تحويل قياس أي زاوية من الدرجات إلى الراديان والعكس على النحو الآتي: 

التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس

مثال: حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان ، وقياس الزاوية المكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي : 

التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس0


قياس الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان: 

يبين الشكل المجاور القياسات المتكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من 0° إلى360°    ( من 0 rad إلى 2π rad ) .
قياس الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان

• الزوايا المُشتركة:  

يُمكِن إيجاد زاوية مُشتركة في ضلع الانتهاء مع زاوية أخرى عن طريق جمع أو طرح أحد مضاعفات الزاوية °360 أو 2T

بالدرجات

إذا كانت θ تُمثِّل القياس بالدرجات لزاوية ما، فإنَّ جميع الزوايا ذات القياس θ+ 360°n هي زوايا مشتركة مع θ، حيث n عدد صحيح.

بالراديان

إذا كانت θ تُمثِّل القساس بالراديان لزاوية ما، فإنَّ جميع الزوايا ذات القياس θ+ 2nπ هي زوايا مُشتركة مع θ، حيث n عدد صحيح.

 

مثال: جد زاويتين إحداهما قياسها موجب ، والأخرى قياسها سالب ، وكلتاهما مُشتركة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة مما يأتي ، ثم أرسمها: 

1) 30°

أولاً بتعويض n=1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها موجب 30°+360°(1)=390°

ثانياً بتعويض n=-1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها سالب30°+360°(-1)=-330° 

بالرسم:
 

 

الزوايا المشتركة

 

2) -π3

أولاً: بتعويض n=1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها موجب -π3+2(1)π=5π3

ثانياً: بتعويض n=-1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها سالب -π3+2(-1)π=-7π3
بالرسم:

 

الزوايا المشتركة

 


تطبيقات : طول القوس ومساحة القطاع 

تعلمت سابقاً أن القوس جزء من الدائرة مُحدد بنقطتين عليها ، وأن القطاع هو الجزء المحصور بين قوس منها ونصفي القطرين اللذين يمران بطرفي القوس.

وسأتعلم الآن إيجاد طول القوس ومساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية بالراديان.

طول القوس: s=rθ

مساحة القطاع: A=12r2θ

حيث : 
s :
طول القوس            r : نصف القطر

طول القوس

مثال: يبين الشكل المجاور قطاعاً دائرياً زاويته المركزية 240°  في دائرة طول نصف قطرها 4cm . جد طول القوس ومساحة القطاع ، وأقرب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة .

الحل:

لإيجاد طول قوس القطاع الدائري باستعمال الصيغة : s=rθ ، نحول قياس زاوية القطاع من الدرجات الى الراديان .
 

القطاع الدائري

الخطوة1: أحول قياس الزاوية المركزية من الدرجات إلى الراديان

240°=240°(π rad180°)=4π3

الخطوة2: أجد طول القوس

s=rθ=4(4π3)=16.8

الخطوة3: أجد مساحة القطاع

A=12r2θ=12(4)2(4π3)33.5


تطبيقات الحركة الدائرية: 

يمكن وصف حركة نقطة تتحرك على محيط الدائرة كما في الشكل المجاور باستعمال السرعة الخطية وهي التي تمثل المعدل الذي تتغير فيه المسافة المقطوعة مقسومة على المدة الزمنية المنقضية.

ويمكن وصف حركة النقطة باستعمال السرعة الزاوية وهي التي تمثل المعدل الذي يتغير فيه قياس الزاوية المركزية . فالسرعة المركزية هي قيمة التغير في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي .

ويمكننا إيجاد السرعة الخطية من خلال العلاقة: v=st
حيث : s طول القوس الذي تقطعه النقطة في مدة زمنية مقدارها t  و v السرعة الخطية 

ويمكننا ايجاد السرعة الزاوية من خلال العلاقة : ω=θt
حيث ω :  السرعة الزاوية  

معلومة : الحرف اليوناني ω  يقرأ اوميغا ويستعمل للدلالة على السرعة الزاوية .

 


مثال: يدور طفل حجراً مربوطاً بطرف حبل طول 3ft بمعدل 15 دورة في 10 ثوانٍ . جد السرعة الزاوية والسرعة الخطية للحجر

أولاً: نجد السرعة الزاوية

ω(t)=θt=15(2π rad)10=3π rad/s

ثانياً: نجد السرعة الخطية .

v(t)=st

بتعويض: s=rθ

v(t)=rθt=3×3π=9π ft/s