رياضيات 9 فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 20

أجدُ كلاً ممّا يأتي : a) طولُ $\overline{TS}$ b) طولُ $\overline{RS}$

الحل : 

a) طول $\overline{TS}$

$TS = 2TV = 2\left(14\right) = 28$

---

b) طول $\overline{RS}$

أجد قيمة $x$    

نظرية المُنصف العمودي	$TR = TS$
بالتعويضِ	$5x + 1 = 3x + 7$
بحَلِّ المعادلةِ	$x = 3$

أجد طول $RS$

$RS = 3x + 7 = 3\left(3\right) + 7 = 16$

---

أتحقق من فهمي صفحة 22

أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ للقطعةِ المستقيمةِ $\overline{ PQ}$ ، حيثُ : $Q(3 , -1) , P(-1 , -5)$.      

الحل : 

الخطوةُ 1 : أجد ميل المُنصف العمودي 

ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ القطعةِ المستقيمةِ نفسِها ؛ لذا أجدُ أوَّلًا ميلَ القطعةِ المستقيمةِ : 

صيغةُ الميلِ	$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
بتعويض$(x_1,y_1)=(3,-1),(x_2,y_2)=(-1,-5)$	$m =\frac{-5-(-1)}{-1 - 3}$
بالتبسيطِ	$m = 1$

إذنْ ، ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ هوَ سالبُ مقلوبِ ميلِ $PQ$ ، ويساوي $-1$ 

الخطوةُ 2 : أجدُ نقطةَ منتصفِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{ PQ}$

بتعويض: $(x_1, y_1)=(3,-1),(x_2, y_2)=(-1,-5)$

$M (\frac{3 + (-1)}{2},\frac{-1 +(-5)}{2})\to M (1 ,-3)$

إذنْ، إحداثيّا النقطةِ $M$ الواقعةِ منتصفَ $\overline{ PQ}$، هما : $( 1 , -3)$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ.

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_1 = m (x - x_1)$
بتعويضِ $(x_1 , y_1) = (1 , -3) , m = -1$	$y + 3 = -1 (x -1)$
بالتبسيطِ، وإعادةِ ترتيبِ المعادلةِ	$y = -x - 2$

---

أتحقق من فهمي صفحة 24  

إذا كانت النقطة G هيَ مركزَ الدائرة الخارجية لـ ΔABC في الشكل المُجاور ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي : 1) طولُ $\overline{AG}$ 2) طولُ $\overline{GY}$ 3) طولُ $\overline{CZ}$

الحل : 

1) طول $\overline{AG}$

نظريةُ المُنصِّفاتِ العموديةِ للمُثلَّثِ	$AG = BG$
بتعويض $BG = 13$	$AG = 13$

2) طول $\overline{GY}$

نظريةُ فيثاغورس	${\left(GC\right)}^2 = {\left(GY\right)}^2 + {\left(YC\right)}^2$
بتعويضِ $GC = 13 , YC = 12$	${\left(13\right)}^2 = {\left(GY\right)}^2 + {\left(12\right)}^2$
بإيجادِ القوى	$169 = {\left(GY\right)}^2 + 144$
بطرحِ144 منْ طرفيِ المعادلةِ	${\left(GY\right)}^2 = 25$
بأخذِ الجذرِ التربيعيِّ لطرفيِ المعادلةِ	$GY = \pm 5$

بما أنَّ الطولَ لا يُمكِنُ أنْ يكونَ سالبًا، فإنَّ $GY = 5$ 

---

3) طول $\overline{CZ}$

$CZ = AY = 12$

---

أتحقق من فهمي صفحة 25

أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المُجاور لإيجاد QA

الحل: 

نظريةُ مُنصِّفِ الزاوية	$7x = 3x + 16$
بحل المعادلة	$x = 4$
مُعطى	$QA = 3x + 16$
بتعويض $x = 4$	$QA = 3\left(4\right) + 16$
بالتبسيط	$QA = 28$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 27

 

أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ في المثالِ 5 لإيجادِ XL

الحل: 

من تطابق المثلثين $JXM , LXM$  ، حيث : 

$m\angle XJM = m\angle XLM$

$m\angle JXM = m\angle LXM$

$XM = XM$

فإنّ طول $XL = XJ = 12$

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجدُ كلَّ قياسٍ ممّا يأتي :

BD مُنصف عمودي للمستقيم AB، إذن: 

$ِAB=CB$

$3x+8=7x-16 \Rightarrow x=6$

$AB=3x+8=3\left(6\right)+8=26$

بما أنَّ EF = ED، و G عموديٌّ على FD، فإنَّ G مُنصِّفٌ عموديٌّ لـ FD بحسبِ عكسِ نظريةِ المُنصِّفِ العموديِّ:

$FG=DG$

$5x-17=3x+1\to x=9$

$FG=5x-17=5\left(9\right)-17=28$

 

أجدُ كلَّ قياسٍ ممّا يأتي:

$\mathbf{3}\mathbf{)} GA \mathbf{4}\mathbf{)} AY \mathbf{5}\mathbf{)} AC$

الحل :

3) بحسب نظريةُ المُنصِّفاتِ العموديةِ للمُثلَّثِ ، فإنّ : 

$GA = GB = 13$

---

4) المثلثين $GYC , GMC$ متطابقين (ضلع وقائمة ووتر)

نظرية فيثاغورس 

${\left(AG\right)}^2={\left(AY\right)}^2+{\left(YG\right)}^2$

${\left(13\right)}^2={\left(AY\right)}^2+{\left(5\right)}^2$

$169={\left(AY\right)}^2+25$

$\Rightarrow {\left(AY\right)}^2=144 \Rightarrow AY=12$

5) $AC=24$

---

أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ للقطعةِ المستقيمةِ $\stackrel{—}{PQ}$ المعطى نهايتاها في كلٍّ ممّا يأتي:

الحل : 

$\mathbf{6}\mathbf{)} P(-2 , 0) , Q(6, 12)$

 

الخطوةُ 1: أجد ميل المُنصف العمودي 

ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ القطعةِ المستقيمةِ نفسِها؛ لذا أجدُ أوَّلًا ميلَ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PQ}$: 

$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{12 - 0}{6 - (-2)} =\frac{3}{2}$

إذنْ ، ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ هوَ سالبُ مقلوبِ ميلِ $\overline{PQ}$ ويساوي $- \frac{2}{3}$

الخطوةُ 2 : أجدُ نقطةَ منتصفِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PQ}$

$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$

$M (\frac{-2 + 6}{2} , \frac{0 + 12}{2})$

$M (2 , 6)$

إذنْ، إحداثيّا النقطةِ $M$  الواقعةِ منتصفَ $\overline{PQ}$ ،  هما $(2 , 6)$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ.

بالتعويض في صيغة الميل والنقطة $(x_1 , y_1) = (2 , 6) , m = -\frac{2}{3}$ 

$y - y_1 = m (x - x_1)$

$y - 6 = -\frac{2}{3}(x - 2)$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3}$

---

$\mathbf{7}\mathbf{)} P(-7, 5) , K(1 , -1)$

 

الخطوةُ 1 : أجد ميل المُنصف العمودي 

ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ القطعةِ المستقيمةِ نفسِها ؛ لذا أجدُ أوَّلًا ميلَ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PK}$

$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{-1 - 5}{1 - (-7)}=-\frac{3}{4}$

إذنْ ، ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ هوَ سالبُ مقلوبِ ميلِ $\overline{PK}$  ويساوي $\frac{4}{3}$

الخطوةُ 2 : أجدُ نقطةَ منتصفِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PK}$

$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$

$M (\frac{-7 + 1}{2} , \frac{5 +(-1)}{2})$

$M (-3 , 2)$

إذنْ، إحداثيّا النقطةِ $M$ الواقعةِ منتصفَ $\overline{PK}$ ،  هما $(-3 , 2)$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ.

بالتعويض في صيغة الميل والنقطة $(x_1 , y_1) = (-3 , 2) , m = \frac{4}{3}$

$y - y_1 = m (x - x_1)$

$y - 2 = \frac{4}{3}(x + 3)$

$y = \frac{4}{3}x + 6$

---

أجدُ كلَّ قياسٍ ممّا يأتي:

عكسُ نظريةِ مُنصِّفِ الزاويةِ :
إذا وقعَتْ نقطةٌ داخلَ زاويةٍ، وكانَتْ على بُعْدينِ متساويينِ منْ ضلعيْها، فإنَّها تقعُ على مُنصِّفِ الزاويةِ.

$x+9=2x-1\Rightarrow x=10$

$m\angle MFZ=(x+9)°=(10+9)°=19°$

نظريةُ مُنصِّفِ الزاويةِ:
كلُّ نقطةٍ على مُنصِّفِ الزاويةِ تكونُ على بُعْدينِ متساويينِ منْ ضلعيْها.

$2x+5=7x\Rightarrow x=1$

$TU=2x+5=2\left(1\right)+5=7$

---

إذا كانت النقطةُ $D$ هي مركز الدائرة الداخلية لـ $\Delta XYZ$، فأجدُ كلَّ قياس ممّا يأتي:

$\mathbf{10}\mathbf{)} DB \mathbf{11}\mathbf{)} CZ \mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{)} YZ$

الحل: 

10) بحسب نظرية مُنصفات زوايا المثلث : تلتقي مُنصِّفاتُ زوايا المُثلَّثِ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ.

إذن : 

$DB = DC= 9$

---

11) نظرية فيثاغورس في المثلث $DCZ$ :

---

12) نظرية فيثاغورس في المثلث$DZB$ :

إذن:  

$YZ = 2BZ= 2\left(12\right) = 24$

13) إذا كانَتِ النقطةُ P هيَ مركزَ الدائرةِ الخارجيةِ لـ  $△XYZ$ ، فأستعملُ المعلومةَ المعطاةَ تاليًا لإيجادِ  $PX = 4x + 3$ $PZ = 6x -11$

الحل : 

بحسب نظرية المُنصفات العمودية  لأضلاع مثلث : تلتقي المُنصِّفاتُ العموديةُ لأضلاعِ مُثلَّثٍ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ رؤوسِ المُثلَّثِ.

أي : 

$PX\hspace{0.17em}= PZ = PY$

أجد قيمة x 

$PX=PZ\Rightarrow 4x+3=6x-11\Rightarrow x=7$

$PX=4x+3=4\left(7\right)+ 3=31$

$PZ=PX=31$

---

أُثبِتُ كُلًّ منَ النظريتينِ الآتيتينِ:

14) نظريةُ المُنصِّفاتِ العموديةِ للمُثلَّثِ.

الحل : 

نصّ النظرية :  تلتقي المُنصِّفاتُ العموديةُ لأضلاعِ مُثلَّثٍ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ رؤوسِ المُثلَّثِ.

الخطوةُ 1 : أرسم المثلث وأُحدِّدُ المعطياتِ والمطلوبَ. المعطياتُ : $\stackrel{—}{PK}\hspace{0.17em}, \stackrel{—}{PJ} , \stackrel{—}{PL}$ هي المُنصفات العمودية لـ  $△ABC$ والنقطة $P$ هي نقطة تلاقيها.    المطلوبُ : إثباتُ أنَّ $PA = PB = PC$

 

الخطوةُ 2 : البرهان 

أبحث في تطابق المثلثين $JPB , JPA$ ، فيهما :

مُعطى	$AJ = JB$
مُشترك	$JP = JP$
مُعطى	$m\angle AJP = m\angle BJP$

إذن ينطبق المثلثان بضلعين وزاوية محصورة بينهما وينتج من التطابق $PA= PB$ 

وبنفس الطريقة أثبت تطابق المثلثين $BPK , CPK$  وينتج من التطابق $PB = PC$ 

إذن: $PA = PB = PC$  

---

15) نظريةُ مُنصِّفاتِ زوايا المُثلَّثِ.

الحل: 

نصّ النظرية: تلتقي مُنصِّفاتُ زوايا المُثلَّثِ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ.

الخطوةُ 1 : أرسم المثلث وأُحدِّدُ المعطياتِ والمطلوبَ. المعطياتُ : $\stackrel{—}{PX} , \stackrel{—}{PY} , \stackrel{—}{PZ}$ هيَ مُنصِّفاتِ زوايا $△XYZ$ ، النقطةُ P هيَ نقطةَ تلاقيها، المطلوبُ : إثباتُ أنَّ $PM = PN = PO$

الخطوةُ 2 : البرهان 

أبحث في تطابق المثلثين $NPZ , OPZ$ ، فيهما : 

مُعطى	$m\angle PZN = m\angle PZO$
مُعطى	$m\angle PNZ = m\angle POZ$
مُشترك	$PZ = PZ$

إذن ينطبق المثلثان بزاويتين وضلع مقابل لأحدهما وينتج من التطابق $PN = PO$

وبنفس الطريقة أثبت تطابق المثلثين $NPY , MPY$  وينتج من التطابق $PN = PM$

إذن : $PM = PN = PO$

---

16) اتصالاتٌ: ترغبُ شركةُ اتصالاتٍ في بناءِ بُرْجٍ للبثِّ على أبعادٍ متساويةٍ منْ ثلاثةِ مبانٍ كبيرةٍ. أُوضِّحُ كيفَ يُمكِنُ استعمالُ الشكلِ التالي لتحديدِ موقعِ

البُرْجِ.

الحل : 

مواقع المباني الثلاثة تُمثل رؤوس مثلث ، ونحتاج لنقطة تبعد نفس البعد عن رؤوس المثلث ، لذا نقيم منصفات عمودية لأضلاع المثلث ونقطة  تلاقي هذه المنصفات العمودية تكون مركز الدائرة الخارجية التي ستمر برؤوس المثلث ، أي مركز الدائرة هو موقع البرج للبثِّ على أبعادٍ متساويةٍ منْ هذه المباني الثلاثة .  

---

17) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يظهرُ في الصورةِ المُجاوِرةِ جزءٌ منْ جسرِ كمالِ الشاعرِ في العاصمةِ عمّانَ.  إذا كانَتْ حافةُ الجسرِ عموديةً على الدعامةِ $\stackrel{—}{BD}$  وكانَ $\stackrel{—}{AD}=\stackrel{—}{CD}$ ، فما العلاقةُ بينَ $\stackrel{—}{AB}$ و $\stackrel{—}{CB}$

الإجابة :

بما أنّ  $\stackrel{—}{BD}\perp \stackrel{—}{AB},\stackrel{—}{AD}=\stackrel{—}{CD}$ ، إذن $\stackrel{—}{BD}$ مُنصف عمودي لـ $\stackrel{—}{AC}$  ، وبحسب نظرية المنصف العمودي فإن كلُّ نقطةٍ على المُنصِّفِ العموديِّ لقطعةٍ مستقيمةٍ تكونُ على بُعْدينِ متساويينِ منْ طرفيِ القطعةِ المستقيمةِ.

أي: $\stackrel{—}{CB}=\stackrel{—}{AB}$

 

18) يريدُ فنّانٌ أن يضع قطعةً دائرية من الزجاج المُلوَّن داخل إطار على شكل مثلّث أبعادُهُ مُبيَّنة في الشكل المُجاوِر ، وأنْ يجعلَ الزجاج يُلامِس كُلّ من جوانب الإطار. أجدُ طول قُطر قطعة الزجاج الدائرية لأقرب جزء من عشرة.

 

الحل : 

باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $APM$

طول نصف قطر الدائرة الداخلية التي ستلامس جوانب الإطار يساوي $\sqrt[]{17}$

إذن طول القطر  يساوي $2\sqrt[]{17}\approx 8.2cm$

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

19) أكتشفُ الخطأَ: قالَتْ أحلامُ : ” قيمةُ x في الشكلِ الآتي هيَ 6 بحسبِ نظريةِ مُنصِّفِ الزاويةِ“. أكتشفُ الخطأَ في قولِ أحلامَ، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة : 

خطأ أحلام أنها لم تلاحظ أن الزاوية $CBP$ ليست قائمة ، أي المستقيم$BP$ليس عموديًا على الضلع $CB$ ، فهو لا يُمثل بُعد النقطة $P$ عن الضلع $CB$

وبحسب نظريةُ مُنصِّفِ الزاويةِ : كلُّ نقطةٍ على مُنصِّفِ الزاويةِ تكونُ على بُعْدينِ متساويينِ منْ ضلعيْها، إذن : $x \ne 6$

---

 

إذا كانَتِ النقاطُ: D، و E، و F هيَ مُنصِّفاتِ أضلاعِ ΔABC في الشكلِ المُجاوِرِ، فأستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ للإجابةِ عنِ الأسئلةِ الآتيةِ، مُبرِّرًا إجابتي :  20) أيُّ نقاطِ الشكلِ هيَ مركزُ الدائرةِ المارَّةِ بالنقاطِ : A ، و B ، و C ؟ 21) أيُّ نقاطِ الشكلِ هيَ مركزُ دائرةٍ تمسُّ كلَّ ضلعٍ منْ أضلاعِ $△ABC$؟ 22) إذا كانَ $TA=8.2$ ، فما طولُ $TC$ ؟

الحل : 

20) النقطة $T$ ، لأنها نقطة تلاقي منصفات أضلاع المثلث فهي مركز الدائرة الخارجية التي تمر برؤوس المثلث .

21) النقطة$P$ ، لأنها نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث فهي مركز الدائرة الداخلية التي تمس أضلاع المثلث .

22) $TC = TA = 8.2$  ، لأنّ$T$ هي مركز الدائرة الخارجية للمثلث التي تمر برؤوسه الثلاث ، أي$TC ، TA ، TB$ هي أنصاف أقطار للدائرة الخارجية . 

---

23) تحدٍّ: أجدُ مركزَ الدائرةِ الخارجيةِ للمُثلَّثِ في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ.

الحل : 

تلتقي المنصفات العمودية لأضلاع لمثلث في النقطة (0 , 0) ، وهي مركز الدائرة الخارجية للمثلث ، حيث أنّ النقطة (0 , 0) لها البعد نفسه عن رؤوس المثلث . 

---

أسئلة كتاب التمارين

أجدُ كُلًّ ممّا يأتي: 

 

 

 

الحل: 

1)

$x+5=2x-7\to x=12$

$JK=x+5 =12+5=17$

2)

$9x+1=7x+13\to x=6$

$UW=7x+13=7\left(6\right)+13=55$

3) 

$7x=3x+16 \to x=4$

$m\angle KJL=7x=7\left(4\right)=28°$

4) النقطة L نقطة تلاقي المنصفات العمودية لأضلاع المثلث، إذن لها نفس البعد عن رؤوس المثلث، أي: $LG=LE=LJ$

أستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث LEK

أستعملُ الشكلَ المُجاوِرَ لإكمالِ الفراغِ في كلٍّ منَ العباراتِ الآتيةِ : 

الحل:

$\mathbf{5}\mathbf{)} \stackrel{—}{DA}\cong \stackrel{—}{EF}$

$\mathbf{6}\mathbf{)} \stackrel{—}{BF}\cong \stackrel{—}{DE}\cong \stackrel{—}{FC}$

$\mathbf{7}\mathbf{)} \angle AED\cong \angle ECF$

$\mathbf{8}\mathbf{)} \stackrel{—}{FE}\cong \stackrel{—}{BD}\cong \stackrel{—}{DA}$

---

9) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لإيجادِ قياسِ كلٍّ منْ y ، و x ، و w ، و m ، و k ، و h ، و z .

الحل : 

نظرية (نقطة تلاقي منصفات الزوايا في المثلث لها البعد نفسه عن أضلاع المثلث)	$y = 10$
AD منصف للزاوية $QAP$	$x = 30°$
نظرية (نقطة تلاقي منصفات الزوايا في المثلث لها البعد نفسه عن أضلاع المثلث)	$w = 10$
قياس الزاوية PBD يساوي $23°$ من مجموع زوايا المثلث PDB ، إذن قياس الزاوية ABC يساوي $46°$ في المثلث ABC قياس الزاوية ACB يساوي $74°$ ، إذن $m = 37°$	$m = 37°$
نصف الزاوية $PBC$	$K = 23°$
تطابق المثلثين $APD , AQD$	$h = 13$
باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث PBD ${\left(Z\right)}^2={\left(y\right)}^2+{\left(PB\right)}^2={\left(10\right)}^2+{\left(24\right)}^2=676\to Z=26$	$z = 26$