رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 20

أجدُ كلاً ممّا يأتي : a) طولُ $\overline{TS}$ b) طولُ $\overline{RS}$

الحل : 

a) طول $\overline{TS}$

$TS = 2TV = 2\left(14\right) = 28$

---

b) طول $\overline{RS}$

أجد قيمة $x$    

نظرية المُنصف العمودي	$TR = TS$
بالتعويضِ	$5x + 1 = 3x + 7$
بحَلِّ المعادلةِ	$x = 3$

أجد طول $RS$

$RS = 3x + 7 = 3\left(3\right) + 7 = 16$

---

أتحقق من فهمي صفحة 22

أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ للقطعةِ المستقيمةِ $\overline{ PQ}$ ، حيثُ : $Q(3 , -1) , P(-1 , -5)$.      

الحل : 

الخطوةُ 1 : أجد ميل المُنصف العمودي 

ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ القطعةِ المستقيمةِ نفسِها ؛ لذا أجدُ أوَّلًا ميلَ القطعةِ المستقيمةِ : 

صيغةُ الميلِ	$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
بتعويض$(x_1 , y_1) = (3 , -1) , (x_2 , y_2) = (-1 , -5)$	$m =\frac{-5-(-1)}{-1 - 3}$
بالتبسيطِ	$m = 1$

إذنْ ، ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ هوَ سالبُ مقلوبِ ميلِ $PQ$ ، ويساوي $-1$ 

الخطوةُ 2 : أجدُ نقطةَ منتصفِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{ PQ}$

صيغةُ نقطةِ المنتصفِ في المستوى الإحداثيِّ	$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$
بتعويضِ $(x_1 , y_1) = (3 , -1) , (x_2 , y_2) = (-1 , -5)$	$M (\frac{3 + (-1)}{2} , \frac{-1 +(-5)}{2})$
بالتبسيطِ	$M ( 1 , -3)$

إذنْ، إحداثيّا النقطةِ $M$ الواقعةِ منتصفَ $\overline{ PQ}$، هما : $( 1 , -3)$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ.

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_1 = m (x - x_1)$
بتعويضِ $(x_1 , y_1) = (1 , -3) , m = -1$	$y + 3 = -1 (x -1)$
بالتبسيطِ، وإعادةِ ترتيبِ المعادلةِ	$y = -x - 2$

---

أتحقق من فهمي صفحة 24  

إذا كانت النقطة G هيَ مركزَ الدائرة الخارجية لـ ΔABC في الشكل المُجاور ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي : 1) طولُ $\overline{AG}$ 2) طولُ $\overline{GY}$ 3) طولُ $\overline{CZ}$

الحل : 

1) طول $\overline{AG}$

نظريةُ المُنصِّفاتِ العموديةِ للمُثلَّثِ	$AG = BG$
بتعويض $BG = 13$	$AG = 13$

2) طول $\overline{GY}$

نظريةُ فيثاغورس	${\left(GC\right)}^2 = {\left(GY\right)}^2 + {\left(YC\right)}^2$
بتعويضِ $GC = 13 , YC = 12$	${\left(13\right)}^2 = {\left(GY\right)}^2 + {\left(12\right)}^2$
بإيجادِ القوى	$169 = {\left(GY\right)}^2 + 144$
بطرحِ144 منْ طرفيِ المعادلةِ	${\left(GY\right)}^2 = 25$
بأخذِ الجذرِ التربيعيِّ لطرفيِ المعادلةِ	$GY = \pm 5$

بما أنَّ الطولَ لا يُمكِنُ أنْ يكونَ سالبًا، فإنَّ $GY = 5$ 

---

3) طول $\overline{CZ}$

$CZ = AY = 12$

---

أتحقق من فهمي صفحة 25  

أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المُجاور لإيجاد$QA$

الحل :  

نظريةُ مُنصِّفِ الزاوية	$7x = 3x + 16$
بحل المعادلة	$x = 4$
مُعطى	$QA = 3x + 16$
بتعويض $x = 4$	$QA = 3\left(4\right) + 16$
بالتبسيط	$QA = 28$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 27

أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ في المثالِ 5 لإيجادِ $XL$

الحل : 

من تطابق المثلثين $JXM , LXM$  ، حيث : 

$m\angle XJM = m\angle XLM$

$m\angle JXM = m\angle LXM$

$XM = XM$

فإنّ طول $XL = XJ = 12$

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجدُ كلَّ قياسٍ ممّا يأتي :

الحل :  BD مُنصف عمودي للمستقيم AB ، إذن :  $$\begin{gathered} ِAB = CB \\ 3x + 8 = 7x -16 \\ \Rightarrow x = 6 \\ AB = 3x + 8 \\ AB = 3\left(6\right) + 8 \\ AB = 26 \end{gathered}$$
الحل : بما أنَّ EF = ED ، و G عموديٌّ على FD ، فإنَّ G مُنصِّفٌ عموديٌّ لـ  FD بحسبِ عكسِ نظريةِ المُنصِّفِ العموديِّ : $$\begin{gathered} FG = DG \\ 5x - 17 = 3x + 1 \\ x = 9 \\ FG = 5x - 17 \\ FG = 5\left(9\right) - 17 \\ FG = 28 \end{gathered}$$

 

أجدُ كلَّ قياسٍ ممّا يأتي :

$\mathbf{3}\mathbf{)} GA \mathbf{4}\mathbf{)} AY \mathbf{5}\mathbf{)} AC$

الحل :

3) $GA$

بحسب نظريةُ المُنصِّفاتِ العموديةِ للمُثلَّثِ ، فإنّ : 

$GA = GB = 13$

---

4) $AY$

المثلثين $GYC , GMC$ متطابقين (ضلع وقائمة ووتر)

نظرية فيثاغورس 

$$\begin{gathered} {\left(AG\right)}^2 = {\left(AY\right)}^2 + {\left(YG\right)}^2 \\ {\left(13\right)}^2 = {\left(AY\right)}^2 + {\left(5\right)}^2 \\ 169 = {\left(AY\right)}^2 + 25 \\ \Rightarrow {\left(AY\right)}^2 = 144 \\ AY = 12 \end{gathered}$$

5) $AC=24$

---

أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ للقطعةِ المستقيمةِ $\overline{PQ}$ المعطى نهايتاها في كلٍّ ممّا يأتي :

 $\mathbf{6}\mathbf{)} P(-2 , 0) , Q(6, 12) \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{)} P(-7, 5) , K(1 , -1)$

الحل : 

$\mathbf{6}\mathbf{)} P(-2 , 0) , Q(6, 12)$

 

الخطوةُ 1 : أجد ميل المُنصف العمودي 

ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ القطعةِ المستقيمةِ نفسِها ؛ لذا أجدُ أوَّلًا ميلَ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PQ}$: 

$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{12 - 0}{6 - (-2)} =\frac{3}{2}$

إذنْ ، ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ هوَ سالبُ مقلوبِ ميلِ $\overline{PQ}$ ويساوي $- \frac{2}{3}$

الخطوةُ 2 : أجدُ نقطةَ منتصفِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PQ}$

$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$

$M (\frac{-2 + 6}{2} , \frac{0 + 12}{2})$

$M (2 , 6)$

إذنْ، إحداثيّا النقطةِ $M$  الواقعةِ منتصفَ $\overline{PQ}$ ،  هما $(2 , 6)$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ.

بالتعويض في صيغة الميل والنقطة $(x_1 , y_1) = (2 , 6) , m = -\frac{2}{3}$ 

$y - y_1 = m (x - x_1)$

$y - 6 = -\frac{2}{3}(x - 2)$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{22}{3}$

---

$\mathbf{7}\mathbf{)} P(-7, 5) , K(1 , -1)$

 

الخطوةُ 1 : أجد ميل المُنصف العمودي 

ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ القطعةِ المستقيمةِ نفسِها ؛ لذا أجدُ أوَّلًا ميلَ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PK}$

$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{-1 - 5}{1 - (-7)}=-\frac{3}{4}$

إذنْ ، ميلُ المُنصِّفِ العموديِّ هوَ سالبُ مقلوبِ ميلِ $\overline{PK}$  ويساوي $\frac{4}{3}$

الخطوةُ 2 : أجدُ نقطةَ منتصفِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{PK}$

$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$

$M (\frac{-7 + 1}{2} , \frac{5 +(-1)}{2})$

$M (-3 , 2)$

إذنْ، إحداثيّا النقطةِ $M$ الواقعةِ منتصفَ $\overline{PK}$ ،  هما $(-3 , 2)$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ المُنصِّفِ العموديِّ.

بالتعويض في صيغة الميل والنقطة $(x_1 , y_1) = (-3 , 2) , m = \frac{4}{3}$

$y - y_1 = m (x - x_1)$

$y - 2 = \frac{4}{3}(x + 3)$

$y = \frac{4}{3}x + 6$

---

أجدُ كلَّ قياسٍ ممّا يأتي :

الحل : عكسُ نظريةِ مُنصِّفِ الزاويةِ : إذا وقعَتْ نقطةٌ داخلَ زاويةٍ، وكانَتْ على بُعْدينِ متساويينِ منْ ضلعيْها، فإنَّها تقعُ على مُنصِّفِ الزاويةِ. إذن :  $$\begin{gathered} x + 9 = 2x - 1 \\ \Rightarrow x = 10 \\ m\angle MFZ = (x + 9)° \\ m\angle MFZ = (10 + 9)° \\ m\angle MFZ = 19° \end{gathered}$$
الحل :  نظريةُ مُنصِّفِ الزاويةِ : كلُّ نقطةٍ على مُنصِّفِ الزاويةِ تكونُ على بُعْدينِ متساويينِ منْ ضلعيْها. إذن :  $$\begin{gathered} 2x + 5 = 7x \\ \Rightarrow x = 1 \\ TU = 2x + 5 \\ TU = 2\left(1\right) + 5 \\ TU = 7 \end{gathered}$$

 

إذا كانت النقطةُ $D$ هي مركز الدائرة الداخلية لـ $\Delta XYZ$ ، فأجدُ كلَّ قياس ممّا يأتي :            $\mathbf{10}\mathbf{)} DB \mathbf{11}\mathbf{)} CZ \mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{)} YZ$

الحل : 

10) $DB$

بحسب نظرية مُنصفات زوايا المثلث : تلتقي مُنصِّفاتُ زوايا المُثلَّثِ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ.

إذن : 

$DB = DC= 9$

---

11) $CZ$

نظرية فيثاغورس في المثلث $DCZ$ :

$$\begin{gathered} {\left(DZ\right)}^2 = {\left(DC\right)}^2 + {\left(CZ\right)}^2 \\ {\left(15\right)}^2 = {\left(9\right)}^2 + {\left(CZ\right)}^2 \\ 225= 81+ {\left(CZ\right)}^2 \\ {\left(CZ\right)}^2 = 144 \\ CZ = 12 \end{gathered}$$

---

12) $YZ$

نظرية فيثاغورس في المثلث$DZB$ :

$$\begin{gathered} {\left(DZ\right)}^2 = {\left(DB\right)}^2 + {\left(BZ\right)}^2 \\ {\left(15\right)}^2 = {\left(9\right)}^2 + {\left(BZ\right)}^2 \\ 225= 81+ {\left(DZ\right)}^2 \\ {\left(DZ\right)}^2 = 144 \\ DZ = 12 \end{gathered}$$

إذن  :  

$YZ = 2BZ= 2\left(12\right) = 24$

---

 

13) إذا كانَتِ النقطةُ P هيَ مركزَ الدائرةِ الخارجيةِ لـ  $△XYZ$ ، فأستعملُ المعلومةَ المعطاةَ تاليًا لإيجادِ  $PX = 4x + 3$ $PZ = 6x -11$

الحل : 

بحسب نظرية المُنصفات العمودية  لأضلاع مثلث : تلتقي المُنصِّفاتُ العموديةُ لأضلاعِ مُثلَّثٍ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ رؤوسِ المُثلَّثِ.

أي : 

$PX\hspace{0.17em}= PZ = PY$

أجد قيمة x 

$$\begin{gathered} PX = PZ \\ 4x + 3 = 6x -11 \\ \Rightarrow x = 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} PX = 4x + 3 \\ PX = 4\left(7\right)+ 3 \\ PX = 31 \\ PZ = PX = 31 \end{gathered}$$

---

أُثبِتُ كُلًّ منَ النظريتينِ الآتيتينِ:

14) نظريةُ المُنصِّفاتِ العموديةِ للمُثلَّثِ.

الحل : 

نصّ النظرية :  تلتقي المُنصِّفاتُ العموديةُ لأضلاعِ مُثلَّثٍ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ رؤوسِ المُثلَّثِ.

الخطوةُ 1 : أرسم المثلث وأُحدِّدُ المعطياتِ والمطلوبَ. المعطياتُ : $\overline{PK}\hspace{0.17em}, \overline{PJ} , \overline{PL}$ هي المُنصفات العمودية لـ  $△ABC$ والنقطة $P$ هي نقطة تلاقيها.    المطلوبُ : إثباتُ أنَّ $PA = PB = PC$

 

الخطوةُ 2 : البرهان 

أبحث في تطابق المثلثين $JPB , JPA$ ، فيهما :

مُعطى	$AJ = JB$
مُشترك	$JP = JP$
مُعطى	$m\angle AJP = m\angle BJP$

إذن ينطبق المثلثان بضلعين وزاوية محصورة بينهما وينتج من التطابق $PA= PB$ 

وبنفس الطريقة أثبت تطابق المثلثين $BPK , CPK$  وينتج من التطابق $PB = PC$ 

إذن : $PA = PB = PC$  

---

 15) نظريةُ مُنصِّفاتِ زوايا المُثلَّثِ.

الحل : 

نصّ النظرية : تلتقي مُنصِّفاتُ زوايا المُثلَّثِ في نقطةٍ لها البُعْدُ نفسُهُ عنْ كلٍّ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ.

الخطوةُ 1 : أرسم المثلث وأُحدِّدُ المعطياتِ والمطلوبَ. المعطياتُ : $\overline{PX} , \overline{PY} , \overline{PZ}$ هيَ مُنصِّفاتِ زوايا $△XYZ$ ، النقطةُ P هيَ نقطةَ تلاقيها، المطلوبُ : إثباتُ أنَّ $PM = PN = PO$

الخطوةُ 2 : البرهان 

أبحث في تطابق المثلثين $NPZ , OPZ$ ، فيهما : 

مُعطى	$m\angle PZN = m\angle PZO$
مُعطى	$m\angle PNZ = m\angle POZ$
مُشترك	$PZ = PZ$

إذن ينطبق المثلثان بزاويتين وضلع مقابل لأحدهما وينتج من التطابق $PN = PO$

وبنفس الطريقة أثبت تطابق المثلثين $NPY , MPY$  وينتج من التطابق $PN = PM$

إذن : $PM = PN = PO$

---

16) اتصالاتٌ: ترغبُ شركةُ اتصالاتٍ في بناءِ بُرْجٍ للبثِّ على أبعادٍ متساويةٍ منْ ثلاثةِ مبانٍ كبيرةٍ. أُوضِّحُ كيفَ يُمكِنُ استعمالُ الشكلِ التالي لتحديدِ موقعِ

البُرْجِ.

الحل : 

مواقع المباني الثلاثة تُمثل رؤوس مثلث ، ونحتاج لنقطة تبعد نفس البعد عن رؤوس المثلث ، لذا نقيم منصفات عمودية لأضلاع المثلث ونقطة  تلاقي هذه المنصفات العمودية تكون مركز الدائرة الخارجية التي ستمر برؤوس المثلث ، أي مركز الدائرة هو موقع البرج للبثِّ على أبعادٍ متساويةٍ منْ هذه المباني الثلاثة .  

---

 

17) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : يظهرُ في الصورةِ المُجاوِرةِ جزءٌ منْ جسرِ كمالِ الشاعرِ في العاصمةِ عمّانَ.  إذا كانَتْ حافةُ الجسرِ عموديةً على الدعامةِ $\overline{BD}$   وكانَ $\overline{AD} = \overline{CD}$ ، فما العلاقةُ بينَ $\overline{AB}$ و $\overline{CB}$

الإجابة :

بما أنّ  $\overline{BD} \perp \overline{AB} , \overline{AD} = \overline{CD}$ ، إذن $\overline{BD}$ مُنصف عمودي لـ $\overline{AC}$  ، وبحسب نظرية المنصف العمودي فإن كلُّ نقطةٍ على المُنصِّفِ العموديِّ لقطعةٍ مستقيمةٍ تكونُ على بُعْدينِ متساويينِ منْ طرفيِ القطعةِ المستقيمةِ.

أي: $\overline{CB} = \overline{AB}$

 

18) يريدُ فنّانٌ أن يضع قطعةً دائرية من الزجاج المُلوَّن داخل إطار على شكل مثلّث أبعادُهُ مُبيَّنة في الشكل المُجاوِر ، وأنْ يجعلَ الزجاج يُلامِس كُلّ من جوانب الإطار. أجدُ طول قُطر قطعة الزجاج الدائرية لأقرب جزء من عشرة.

 

الحل : 

باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم  $APM$  $$\begin{gathered} {\left(AM\right)}^2 = {\left(AP\right)}^2 + {\left(PM\right)}^2 \\ {\left(9\right)}^2 = {\left(8\right)}^2 + {\left(PM\right)}^2 \\ 81 = 64 + {\left(PM\right)}^2 \\ {\left(PM\right)}^2 = 17 \\ PM = \sqrt{17} \end{gathered}$$ طول نصف قطر الدائرة الداخلية التي ستلامس جوانب الإطار يساوي $\sqrt{17}$ إذن طول القطر  يساوي $2\sqrt{17} \approx 8.2 CM$

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

19) أكتشفُ الخطأَ : قالَتْ أحلامُ : ” قيمةُ x في الشكلِ الآتي هيَ 6 بحسبِ نظريةِ مُنصِّفِ الزاويةِ“. أكتشفُ الخطأَ في قولِ أحلامَ، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة : 

خطأ أحلام أنها لم تلاحظ أن الزاوية $CBP$ ليست قائمة ، أي المستقيم$BP$ليس عموديًا على الضلع $CB$ ، فهو لا يُمثل بُعد النقطة $P$ عن الضلع $CB$

وبحسب نظريةُ مُنصِّفِ الزاويةِ : كلُّ نقطةٍ على مُنصِّفِ الزاويةِ تكونُ على بُعْدينِ متساويينِ منْ ضلعيْها، إذن : $x \ne 6$

---

 

إذا كانَتِ النقاطُ: D، و E، و F هيَ مُنصِّفاتِ أضلاعِ ΔABC في الشكلِ المُجاوِرِ، فأستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ للإجابةِ عنِ الأسئلةِ الآتيةِ، مُبرِّرًا إجابتي :  20) أيُّ نقاطِ الشكلِ هيَ مركزُ الدائرةِ المارَّةِ بالنقاطِ : A ، و B ، و C ؟ 21) أيُّ نقاطِ الشكلِ هيَ مركزُ دائرةٍ تمسُّ كلَّ ضلعٍ منْ أضلاعِ $△ABC$؟ 22) إذا كانَ $TA = 8.2$ ، فما طولُ $TC$ ؟

الحل : 

20) النقطة $T$ ، لأنها نقطة تلاقي منصفات أضلاع المثلث فهي مركز الدائرة الخارجية التي تمر برؤوس المثلث .

21) النقطة$P$ ، لأنها نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث فهي مركز الدائرة الداخلية التي تمس أضلاع المثلث .

22) $TC = TA = 8.2$  ، لأنّ$T$ هي مركز الدائرة الخارجية للمثلث التي تمر برؤوسه الثلاث ، أي$TC ، TA ، TB$ هي أنصاف أقطار للدائرة الخارجية . 

---

23) تحدٍّ: أجدُ مركزَ الدائرةِ الخارجيةِ للمُثلَّثِ في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ.

الحل : 

تلتقي المنصفات العمودية لأضلاع لمثلث في النقطة (0 , 0) ، وهي مركز الدائرة الخارجية للمثلث ، حيث أنّ النقطة (0 , 0) لها البعد نفسه عن رؤوس المثلث . 

---

أسئلة كتاب التمارين

أجدُ كُلًّ ممّا يأتي : 

الحل :  $$\begin{gathered} x + 5 = 2x - 7 \\ x =12 \\ JK = x + 5 \\ JK = 12 + 5 \\ JK = 17 \end{gathered}$$
الحل :  $$\begin{gathered} 9x + 1 = 7x +13 \\ x = 6 \\ UW = 7x + 13 \\ UW = 7\left(6\right) + 13 \\ UW = 55 \end{gathered}$$
الحل :  $$\begin{gathered} 7x = 3x + 16 \\ x = 4 \\ m\angle KJL = 7x \\ m\angle KJL = 7\left(4\right) \\ m\angle KJL = 28° \end{gathered}$$
الحل :  النقطة L نقطة تلاقي المنصفات العمودية لأضلاع المثلث ، إذن لها نفس البعد عن رؤوس المثلث ، أي : $LG = LE = LJ$ أستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث LEK $$\begin{gathered} {\left(LE\right)}^2 = {\left(LK\right)}^2 + {\left(EK\right)}^2 \\ {\left(17\right)}^2 = {\left(LK\right)}^2 + {\left(15\right)}^2 \\ 289 = {\left(LK\right)}^2 +225 \\ {\left(LK\right)}^2 = 64 \\ LK = 8 \end{gathered}$$

أستعملُ الشكلَ المُجاوِرَ لإكمالِ الفراغِ في كلٍّ منَ العباراتِ الآتيةِ : 

الحل  : 

$\mathbf{5}\mathbf{)} \overline{DA} \cong \overline{ EF} \mathbf{6}\mathbf{)} \overline{BF} \cong \overline{DE} \cong \overline{FC}$

$\mathbf{7}\mathbf{)} \angle AED \cong \angle ECF \mathbf{8}\mathbf{)} \overline{FE} \cong \overline{BD} \cong \overline{DA}$

---

9) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لإيجادِ قياسِ كلٍّ منْ y ، و x ، و w ، و m ، و k ، و h ، و z .

الحل : 

نظرية (نقطة تلاقي منصفات الزوايا في المثلث لها البعد نفسه عن أضلاع المثلث)	$y = 10$
AD منصف للزاوية $QAP$	$x = 30°$
نظرية (نقطة تلاقي منصفات الزوايا في المثلث لها البعد نفسه عن أضلاع المثلث)	$w = 10$
قياس الزاوية PBD يساوي $23°$ من مجموع زوايا المثلث PDB ، إذن قياس الزاوية ABC يساوي $46°$ في المثلث ABC قياس الزاوية ACB يساوي $74°$ ، إذن $m = 37°$	$m = 37°$
نصف الزاوية $PBC$	$K = 23°$
تطابق المثلثين $APD , AQD$	$h = 13$
باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث PBD $$\begin{gathered} {\left(Z\right)}^2 = {\left(y\right)}^2 + {\left(PB\right)}^2 \\ {\left(Z\right)}^2 = {\left(10\right)}^2 + {\left(24\right)}^2 \\ {\left(Z\right)}^2 =676 \\ Z =26 \end{gathered}$$	$z = 26$