نظرية فيثاغورس

مفاهيم أساسية :

1-المثلث القائم الزاويةِ هُوَ مثلثٌ إحدى زواياهُ قائمةٌ.

2- يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمةِ : الوَتر. 

3- الوتر هو الضلع الأطول في المثلث.

4- يسمى الضلعان الآخران الساقين.

5- تصف فيثاغورس : العلاقة بين طولي ضلعي القائمة ، وطول الوتر في المثلث قائم الزاوية .

6- في المثلث القائم الزاوية : مربع طول الوترِ يساوي مجموعَ مربعَيْ طولَيْ ساقَيْهِ. 

بالرموز : ${\mathit{c}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}$

 

 

 

 

---

مثال 1 : أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي (أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ إذا لزمَ الأمرُ) :

1)

   لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

$$\begin{gathered} {\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{c}}^{\mathbf{2}} \\ {\mathbf{5}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{12}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathit{c}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{25}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{144}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{c}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{169}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{c}}^{\mathbf{2}} \\ \mathit{c}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pm }\sqrt{\mathbf{169}} \\ \mathit{c}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{13} \\ \mathit{c}\mathbf{=}\mathbf{13} \end{gathered}$$

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

 

(2

  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

$$\begin{gathered} {\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{c}}^{\mathbf{2}} \\ {\mathbf{8}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}{\mathbf{24}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{64}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{576} \\ {\mathit{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{576}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{64} \\ {\mathit{b}}^{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{512} \\ \mathit{b}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pm }\sqrt{\mathbf{512}} \\ \mathit{b}\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{\pm }\mathbf{22}\mathbf{.}\mathbf{6} \\ \mathit{b}\mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{22}\mathbf{.}\mathbf{6} \end{gathered}$$

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

---

مفهوم أساسي :

إذا كانَ مربع طول الضلع الأطول في مثلث يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعَين الآخَرَينِ ، فإنَّ المثلث قائم الزاوية.

(وهذا يمثل عكس نظرية فيثاغورس)

بالرموز : إذا كان ${\mathit{c}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathit{b}}^{\mathbf{2}}$ ، فإن المثلث قائم الزاوية .

---

مثال 2 : أحددُ ما إذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاوية أَمْ لا:

1) 12 , 9 , 15

  ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين . وعليه فإن 15  هو الوتر .

  الآن :  نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

  $$\begin{gathered} {\mathit{c}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{b}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{ }{\mathbf{15}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathbf{9}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{12}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{ }\mathbf{225}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{81}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{144} \\ \mathbf{225}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{225}\mathbf{ } \end{gathered}$$

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية .

2) 3 ، 5 ، 6

 

 

ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين . وعليه فإن 6  هو الوتر .

  الآن :  نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$$\begin{gathered} {\mathit{c}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{b}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{ }{\mathbf{6}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{5}}^{\mathbf{2}} \\ \mathbf{36}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{25} \\ \mathbf{ }\mathbf{36}\mathbf{ }\mathbf{\ne }\mathbf{ }\mathbf{34}\mathbf{ } \end{gathered}$$

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث  غير قائم الزاوية .

---

مثال 3 : (من الحياة) 

رادار : رصدَ رادارٌ طائرةً مروحيةً على بُعد 11.28km منه مثلما يظهر في الشكل المجاور ، أجدُ ارتفاعَ الطائرةِ عَنْ سطحِ الأرضِ لأقربِ جزءٍ مِن الكيلومتر .

الحل :

افرض أن a  هِيَ ارتفاعُ الطائرةِ عَنْ سطحِ الأرضِ، ولإيجادِ قيمةِ a  استعمل نظريةَ فيثاغورس كالتالي :

$$\begin{gathered} {c}^2 = a^2 + b^2 \\ 11.{28}^2 = a^2+{11}^2 \\ 127.2384 = a^2+121 \\ a^2=6.2384 \\ a = \pm \sqrt{6.2384} \\ a \approx \pm 2.5 \\ a\approx 2.5 \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

إذن ، ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض 2.5Km تقريباً.

---