مدرسة جواكاديمي

هنا يمكنك تصفح مدرسة جو اكاديمي، المنهاج، اسئلة، شروحات، والكثير أيضاً

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

رياضيات - الصف التوجيهي علمي

نكمل في هذا الدرس كيفية إيجاد مشتقة اقترانات محددة، و حسب النظريات التالية :

1. مشتقة ضرب اقترانين :

الاقتران الأول X مشتقة الاقتران الثاني + الاقتران الثاني X مشتقة الاقتران الأول

                                    f·g'(x) = f(x).g'(x) + f'(x). g(x)  

بشرط أن يكون كلاً من الاقترانين f ،g قابلاً للاشتقاق.

مثال:

جد مشتقة الاقتران   f(x)=(2x3-x2)(x2-1)

 Solution:  f'(x)=ddx(2x3-x2)(x2-1)+(2x3-x2)ddx(x2-1)         =(6x2-2x)(x2-1)+(2x3-x2)(2x)           =6x4-6x2-2x3+2x+4x4-2x3           =10x4-4x3-6x2+2x        

مثال:

جد مشتقة الاقتران   f(x)=lnx3 sinx

 Solution: f(x)=lnx3 sinx f(x)=3lnx sinx f'(x)=3×1xsinx +3lnx cosx f'(x)=sinxx +3lnx cosx    

2 . مشتقة قسمة اقترانين :  (fg)'(x)=g(x).f'(x)-f(x).g'(x)(g(x))2

بشرط أن يكون كلاً من الاقترانين f ، g قابلاً للاشتقاق و المقام لا يساوي صفر.

مثال:

جد مشتقة الاقتران  f(x)=x-1x+1 

Solution: f'(x)=ddx(x-1)(x+1)-(x-1)ddx(x+1)(x+1)2 f'(x)=(1)(x+1)-(x-1)(1)(x+1)2=2(x+1)2          

مثال:

جد مشتقة الاقتران  f(x)=excosx

Solution: f'(x)=ddxex(cosx)-exddx(cosx)(cosx)2       =ex(cosx)+ex(sinx)(cosx)2=ex(cosx+sinx)(cosx)2      

و نستنتج من هذه النظرية: 

3. مشتقة مقلوب اقتران:  (1g(x))'(x) = -g'(x)g(x)2

مثال:

جد مشتقة الاقتران f(x)=11-x3

         Solution: f'(x)=-ddx(1-x3)(1-x3)2          = 3x2(1-x3)2          

بشرط أن يكون الاقتران g قابلاً للاشتقاق ، و المقام لا يساوي صفر.

            مثال:

إذا كان hx=gx3x2+1 ، فجد g'1 ، إذا علمت أن h'1= 0  ,  h1 = 8 . 

Solution:gx=hx3x2+1g'x=h'x3x2+1−hx6x3x2+12g'1=h'14−h1642=04−8642=−3                     ∴ g'1= −3              

مثال:

إذا كان hx+gx=3 ، وكان g'2=2  , g2=1 ، فما قيمة : ddx4x−h2x2 ؟

Solution:ddx4x−h2x=−4x2−2hx h'xddx4x−h2x2=−422−2h2 h'2                                             =−1−23−g2g'2                                             =−1−23−12                        ∴ddx4x−h2x2=−9          

مثال:

 إذا كانت y=exln1xln x  ،  فما قيمة : dxdy عند  y=−2 ؟     

Solution:y=exln1xln x=−exlnxln x=− exwhen  y=−2   then  −2=−  ex           ∴  x= ln2dydx​ x=ln2 =−  ex=− eln2=−2         ∴dxdy =−12                

مثال:

إذا كان h(x)=x−24−x2 ،  فما قيمة : h'1 ؟

Solution:when  x=1      ,   h(x)=x−24−x2=x−22−x2+x=−1x+2h'x= 1x+22       when  x=1h'1= 11+22=19              ∴h'1=19