يستخدم الاشتقاق الضمني في إيجاد مشتقة علاقات مكتوبة بصورة ضمنية
بحيث لا يُمكن ( أو يصعب) كتابتها بصورة صريحة، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
(بشرط أن يكون المتغير y قابلاً للاشتقاق بالنسبة إلى المتغير x)
1. اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير .
مستخدماً قواعد الاشتقاق وقاعدة السلسلة، حيث تكوت مشتقة y هي
2. ترتيب حدود المعادلة الناتجة .
بحيث تكون جميع الحدود المحتوية على في الطرف الأيسر من المعادلة.
3. إخراج عاملاً مشتركاً من الطرف الأيسر من المعادلة.
4. القسمة على معامل لجعل موضوعاً للقانون.
مثال:
إذا كان ، فما قيمة
مثال:
إذا كان ، فما قيمة
يوظف الاشتقاق الضمني فيما يأتي:
1. إيجاد ميل المماس، ومعادلة المماس عند نقطة معطاة على منحنى علاقة ضمنية.
عن طريق إيجاد بالاشتقاق الضمني، ثم تعويض قيم في لإيجاد ميل المماس
عند هذه النقطة ، ومن ثم معادلة المماس،
تُستخدم صيغة الميل والنقطة لمعادلة المستقيم
2. إيجاد المشتقة الثانية للعلاقات الضمنية:
بعد إجراء الاشتقاق للمرة الأولى، نحصل على علاقة جديدة تحتوي على
ويمكن اشتقاق المعادلة الناتجة مرة ثانية باستخدام الاشتقاق الضمني وقواعد الاشتقاق،
معتمدين على أن مشتقة y هي ، ومشتقة هي .
وبتعويض التي حصلنا عليها في الاشتقاق الأول مرة، نكون قد حصلنا على .
3. إيجاد المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية:
تعلمت في الدرس السابق إن إذا كان h, g اقترانين قابلان للاشتقاق،
وكان فإن:
وبالاشتقاق، ينتج:
4. الاشتقاق اللوغاريتمي:
يعتمد هذا الأسلوب على أخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين
لتبسيط العلاقة باستخدام قوانين اللوغاريتمات قبل إجراء عملية الاشتقاق،
ثم إجراء الاشتقاق الضمني بالنسبة للمتغير x،
ثم حل المعادلة الناتجة بوصفه موضوعاً للقانون واستبدال