الرياضيات 12 فصل ثاني

تجربة بيرنولي

تجربة بيرنولي: هي تجربة عشوائية لها أحد ناتجين فقط ، نُعبّر عن أحدهما بالنجاح  وعن الآخر بالفشل.

ومن الأمثلة عليها:

*  تجربة إلقاء  قطعة نقد مرة واحدة وملاحظة الوجه الظاهر،  إما صورة وإما كتابة ، ويمكن اعتبار أحدهما نجاح والآخر فشل.

* الإجابة عشوائيًا على سؤال (اختيار من متعدد) ،  إما إجابة صحيحة أو إجابة خاطئة ،  ويمكن التعبير عن الإجابة الصحيحة بالنجاح.

* إلقاء حجر نرد أو جهة مرقمة بالأرقام  $\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$ ،  والمطلوب أن يكون الوجه العلوي عليه عدد أكبر من 4 ، حيث نعتبر النجاح (ظهور عدد أكبر من 4) والفشل (ظهور أي عدد آخر)

الحادثان المستقلان

نقول أن الحادثين A و B مستقلان إذا كان وقوع أحدهما (أو عدم وقوعه) لايؤثر على احتمال وقوع الآخر (أو عدم وقوع الآخر).

فمثلًا: عند إلقاء قطعة نقد ، ثم حجر نرد منتظم ، وملاحظة الوجهين العلويين الظاهرين ،

إذا كان: A: ظهور الصورة على قطعة النقد ، B: ظهور العدد 5 على حجر النرد. 

فإن الحادثين A و B مستقلان.

---

التجربة الاحتمالية الهندسية

هي تكرار تجربة بيرنولي عددًا من المرات المستقلة حتى التوصل إلى أول نجاح ويجب أن يتوفر فيها الشروط الأربعة التالية معًا:

*  اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومتكررة.

*   فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح و فشل (تجربة بيرنولي).

*   ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.

*  التوقف عند أول نجاح.

---

مثال 1

أي من التجارب التالية تمثل تجربة احتمالية هندسية؟

a) إجابة سامي على مجموعة أسئلة بشكل عشوائي من نوع (صح أو خطأ) والتوقف عند أول إجابة صحيحة.

الحل:

بإختبار الشروط:

أولاً :  المحاولات متكررة (الإجابة على أسئلة) ، ومستقلة (إجابة كل سؤال لا تؤثر على إجابة السؤال الآخر لأن الإجابات بشكل عشوائي)

ثانياً : في كل محاولة النتائج الممكنة هي: نجاح (إجابة صحيحة) أو فشل (إجابة خطأ) .

ثالثاً : ثبات احتمال النجاح في كل محاولة وهو هنا  0.5.

رابعاً : التوقف عند أول نجاح

إذن: هذه التجربة هي تجربة احتمالية هندسية.

b) سحب هالة 6 كرات على التوالي عشوائيًا مع الإرجاع من صندوق فيه 4 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء وتسجيل عدد الكرات الزرقاء المسحوبة.

الحل:

بإختبار الشروط:

أولاً: تتضمن التجربة محاولات متكررة (سحب 6 كرات) ومستقلة (لأن السحب مع الإرجاع قكون الكرة المسحوبة حمراء (أو زرقاء) لا يؤثر على الاحتمال للكرات الأخرى)

ثانياً: في كل محاولة ، النتائج هي: نجاح (كرة زرقاء) أو فشل(حمراء)

ثالثاً: ثبات احتمال النجاح في كل مرة فاحتمال سحب كرة زرقاء هو 3/7 .

رابعاً: لا نتوقف عند أول نجاح لأن هنا نسجل عدد الكرات المسحوبة زرقاء ولا نتوقف عند سحب أول كرة زرقاء.

إذن: هذه التجربة ليست تجربة احتمالية هندسية.

---

المتغير العشوائي الهندسي وتوزيعه الاحتمالي

المتغير العشوائي $\left(x\right)$ هو اقتران يربط كل قيمة للمتغير العشوائي$\left(x\right)$ باحتمال وقوعها.

نرمز للمتغير العشوائي الهندسي بالرمز: $X~Geo\left(p\right)$

حيث p احتمال النجاح الثابت في كل مرة والمتغير العشوائي$\left(x\right)$  يأخذ القيم: $x=1,2,3,4,5\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em}$

ويعطى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي $\left(x\right)$ بالقاعدة: $P\left(X=x\right)=p{\left(1-p\right)}^{x-1}$

حيث x : عدد المحاولات وصولًا إلى أول نجاح

           p: احتمال النجاح في كل محاولة

               فيكون $\left(p-1\right)$ احتمال الفشل في كل محاولة .

توقع المتغير العشوائي الهندسي

ويعطى توقع المتغير العشوائي الهندسي x  بالقاعدة: $\mu =E\left(X\right)=\frac{1}{p}$

حيث: p: احتمال النجاح في كل محاولة

مثال 2

يقوم خالد بإجراء مقابلات مع مجموعة من الأشخاص البالغين عشوائيًا وسؤالهم عن إصابتهم بمرض السكري والتوقف عند أول شخص مريض.

إذا كان لديه احصائية تشير إلى أن 10% من البالغين مصابون بالسكري.

جد ما يلي:

a) احتمال أن يكون الشخص الخامس هو أول شخص مصاب بالسكري.

الحل:

ليكن  x هو عدد الأشخاص الذي يسألهم خالد للوصول إلى أول شخص مصاب.

x هو متغير عشوائي هندسي فهو يحقق الشروط الأربعة:

* اشتماله على محاولات متكررة ومستقلة

*  فرز النتائج في كل محاولة إلى نجاح (مصاب) أو فشل (غير مصاب)

*  ثبات احتمال النجاح في كل محاولة $\left(p=0.1\right)$ .

*  توقف التجربة عند ظهور أول شخص مصاب

إذن:

$\begin{array}{l}X~Geo\left(0.1\right)\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}x\in \left\{1,2,3,4,...\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}P(X=x)=p\hspace{0.17em}{(1-p)}^{x-1}\end{array}$

$P(X=5)=(0.1)\hspace{0.17em}{(1-0.1)}^{5-1}=(0.1)\hspace{0.17em}{(1-0.1)}^4=0.06561$

  2)  $P\left(x\le 3\right)$    

الحل:

$\begin{array}{l}X~Geo\left(0.1\right),\hspace{0.17em}x\in \left\{1,2,3,4,...\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}P(X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\end{array}$

$=(0.1)+(0.1){(0.9)}^1+(0.1){(0.9)}^2=0.1+0.081+0.09=0.271$

 

   3)  $P\left(x\ge 4\right)$    

الحل:

لذلك نجد احتمال قيمة هذا الحادث وهو ونطرح الناتج من 1 صحيح

$\begin{array}{l}P\left(X\ge 4\right)=P\left(x=4\right)+P\left(x=5\right)+P\left(x=6\right)+...\end{array}$

$=1-P(x=0)-P(x=1)-P(x=2)-P(x=3)$

$=1-P(X<4)=1-P(X\le 3)=1-0.271=0.729$

ويمكن استخدام الصيغة التالية لحل هذا الفرع:

$P(X>x)={(1-p)}^x$

$\therefore P(X\ge 4)=P(X>3)={(1-0.1)}^3={(0.9)}^3=0.729$

 

 

4) كم شخصًا يتوقع أن يسأله خالد حتى يقابل أول مصاب؟

الحل:

حسب صيغة توقع المتغير العشوائي الهندسي: $\mu =E\left(X\right)=\frac{1}{p}$ فإنَّ :$\mu =E\left(X\right)=\frac{1}{0.1}=10$

إذن يتوقع أن يقابل خالد 9 أشخاص قبل أن يقابل أول شخص مصاب وهو الشخص العاشر.

التجربة الاحتمالية ذات الحدين:

وهي تجربة بيرنولي مكررة عددًا من المرات المستقلة بحيث تحقق الشروط الأربعة التالية معًا:

* اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومتكررة 

* فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل

* ثبات احتما النجاح في كل محاولة

* وجود عدد محدد من المحاولات في التجربة

نلاحظ أن الاختلاف عن التجربة الاحتمالية الهندسية فقط في الشرط الرابع (وهو عدد المحاولات).

مثال 3

 أي من التجارب العشوائية التالية تجربة احتمالية ذات حدين؟

a) إلقاء قطعة نقد مع حجر نرد منتظم 10 مرات متتالية, وتسجيل عدد مرات ظهور صورة مع العدد 5.

الحل:

بإختبار الشروط:

1) اشتمال التجربة على محاولات متكررة (20 مرة) ومستقلة (ظهور الصورة مع العدد 5 في أي محاولة.

 (أو عدم ظهورها) لا يؤثر على احتمال المحاولات الأخرى)

2) نجاح (ظهور صورة مع 5) وفشل (ظهور غير ذلك) في كل محاولة 

3) ثبات احتمال النجاح هنا ، وهو احتمال ظهور الصورة مع العدد 5 هو: $p=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$

4) عدد المحاولات محدد هنا (20 محاولة)

إذن: هذه التجربة هي تجربة احتمالية ذات حدين.

b) سحب كرة عشوائيًا مع الإرجاع من صندوق منه 4 كرات بيضاء وكرتين سوداوين، والتوقف عند أول كرة سوداء تظهر.

الحل:

بإختبار الشروط:

1)  محاولات متكررة ومستقلة (لأن السحب مع الإرجاع)

2)  فرز النتائج: نجاح(الكرة السوداء) وفشل(الكرة البيضاء)

 3) ثبات احتمال النجاح في كل محاولة, هنا, احتمال سحب كرة سوداء في كل محاولة هو:  $\frac{1}{3}$

4) لا يوجد عدد محدد من المحاولات

لذلك: التجربة ليست تجربة احتمالية ذات حدين (هي تجربة احتمالية هندسية)

التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ذي الحدين والتوقع والتباين:

نرمز للمتغير العشوائي ذي الحدين x بالرمز: $X~\hspace{0.17em}B\left(n,p\right)\hspace{0.17em}$

حيث: p,n معاملا المتغير العشوائي x

n: عدد مرات تكرار المحاولة

p: احتمال النجاح في كل محاولة

x: تأخذ القيم:    $\mathit{\text{x=0,1,2,3,4,..\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}n}}$ 

إذا كان: $\mathit{\text{X∼\hspace{0.17em}B}}\mathit{(}\mathit{n}\mathit{,}\mathit{p}\mathit{)}\mathit{\hspace{0.17em}}\mathit{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathit{,}\mathit{\hspace{0.17em}}\mathit{\hspace{0.17em}}x\mathit{=}\mathit{0}\mathit{,}\mathit{1}\mathit{,}\mathit{2}\mathit{,}\mathit{3}\mathit{,}\mathit{4}\mathit{,}\mathit{.}\mathit{.}\hspace{0.17em}\mathit{.}\hspace{0.17em}\mathit{,}\hspace{0.17em}n$ ،

فإن التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X يعطى بالقاعدة:   $P\left(X=r\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ r\end{array}\right)P^r{\left(1-P\right)}^{n-r}$

حيث:

n: عدد المحاولات الكلي في التجربة

p: احتمال النجاح في كل محاولة

r: عدد المحاولات الناجحة من بين r من المحاولات حيث تأخذ r القيم: $\text{r=0,1,2,3,4,..\hspace{0.17em}.\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}n}$

وأن توقع المتغير العشوائي x يعطى بالقاعدة: $\mathit{\text{E}}\mathit{\left(}\mathit{X}\mathit{\right)}\mathit{=}n\hspace{0.17em}p$

وأن تباين المتغير العشوائي x يعطى بالقاعدة:

$Var\left(X\right)={\sigma }^2=n\hspace{0.17em}p(1-p)=E\left(X\right)(1-p)$

مثال 4

نفَّذ لاعب كرة قدم 5 ضربات جزاء فإذا دلَّت الإحصائيات أن احتمال تسجيله الهدف في كل مرة هو 0.7 ،

فأجب عما يلي:

أولاً: ما احتمال تسجيله للهدف في 3 مرات فقط؟

الحل:

هذه التجربة هي تجربة احتمالية ذات حدين حيث : $\mathit{\text{p=0.7\hspace{0.17em}\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}n=5}}$      

 نفرض أن: X هو المتغير العشوائي الذي يدل على عدد الأهداف المسجلة

$\mathit{\text{X∼\hspace{0.17em}B}}\mathit{(}\mathit{5}\mathit{,}\mathit{0}\mathit{.}\mathit{7}\mathit{)}\mathit{,}\mathit{\hspace{0.17em}}x\mathit{=}\mathit{0}\mathit{,}\mathit{1}\mathit{,}\mathit{2}\mathit{,}\mathit{3}\mathit{,}\mathit{4}\mathit{,}\mathit{5}$

والمطلوب: $P\left(x=3\right)$ والحل هو :

$\begin{array}{l}P\left(X=r\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ r\end{array}\right)P^r{\left(1-P\right)}^{n-r}\\ P\left(X=3\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right){\left(0.7\right)}^3{\left(1-0.7\right)}^{5-3}\\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=10{\left(0.7\right)}^3{\left(0.3\right)}^2=0.3087\end{array}$

ثانياً: ما احتمال تسجيله للهدف في 3 مرات على الأقل؟

الحل:

تسجيل الهدف 3 مرات على الأقل تشمل: $P\left(x=3\right)+P\left(x=4\right)+P\left(x=5\right)$

$\begin{array}{l}P\left(x=3\right)+P\left(x=4\right)+P\left(x=5\right)=\\ =\left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right){\left(0.7\right)}^3{\left(1-0.7\right)}^{5-3}+\left(\begin{array}{l}5\\ 4\end{array}\right){\left(0.7\right)}^4{\left(1-0.7\right)}^{5-4}+\left(\begin{array}{l}5\\ 5\end{array}\right){\left(0.7\right)}^5{\left(1-0.7\right)}^{5-5}\\ =10{\left(0.7\right)}^3{\left(0.3\right)}^2+5{\left(0.7\right)}^4{\left(0.3\right)}^1+{\left(0.7\right)}^5\\ =0.3087+0.3615+0.16807=0.83692\end{array}$

ثالثاً: ما احتمال تسجيله لهدف على الأقل؟

الحل: احتمال اصابة الهدف هنا تشمل اصابة الهدف في محاولة أو أثنتين أو ثلاث أو أربع أو خمس محاولات .

فالمطلوب: $P\left(x\ge 1\right)=P\left(x=1\right)+P\left(x=2\right)+P\left(x=3\right)+P\left(x=4\right)+P\left(x=5\right)$

والتي تعني كافة الاحتمالات ما عدا احتمال العدد صفر . أي

$P(x\ge 1)=1-P(x=0)$

$=1-\left(\begin{array}{l}5\\ 0\end{array}\right){(0.7)}^0{(1-0.7)}^5=1-{(0.3)}^5=0.997517\approx 0.9975$

 

رابعاً: ما العدد المتوقع للأهداف التي سيسجلها اللاعب؟

الحل:

$E\left(X\right)=n\hspace{0.17em}p=\hspace{0.17em}5\times 0.7=3.5$

إذن: يتوقع تسجيل 3.5 هدف عند التسديد 5 مرات

(لاحظ أن التوقع هنا عدد غير صحيح فالتوقع هو وسط حسابي لذلك يمكن أن يكون عددًا غير صحيح ، حتى لو كانت القيم الأصلية أعدادًا صحيحة)

خامساً: ما تباين عدد الأهداف التي يسجلها اللاعب؟

الحل:

$Var\left(X\right)={\sigma }^2=n\hspace{0.17em}p(1-p)\hspace{0.17em}=5\times 0.7\times (1-0.7)=3.5\times 0.3=1.05$

 

إذن: تباين عدد الأهداف المسجلة عند التسديد 5 مرات هو1.05

مثال 5

إذا كان x متغيرًا عشوائيًا ذي حدين وكان: $\text{Var}\left(X\right)=1.28\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}E\left(x\right)=6.4$، فما قيمة $P\left(x=1\right)$ ؟

الحل:

باستخدام توزيع ذي الحدين:

$\begin{array}{l}Var\left(X\right)=1.28,\hspace{0.17em}E\left(x\right)=6.4\end{array}$

$\begin{array}{l}P(X=1)=\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)p{\hspace{0.17em}}^1{(1-p)}^{n-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}but\hspace{0.17em}Var\left(X\right)=1.28=n\hspace{0.17em}p(1-p)\hspace{0.17em}...\hspace{0.17em}\left(1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}E\left(x\right)=6.4=n\hspace{0.17em}p...\hspace{0.17em}\left(2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\therefore \frac{1.28}{6.4}=\frac{n\hspace{0.17em}p(1-p)}{n\hspace{0.17em}p}\end{array}$

$\begin{array}{l}0.2=1-p\therefore p=0.8\end{array}$

$and\hspace{0.17em}6.4=n\hspace{0.17em}(0.8)\hspace{0.17em}\therefore n=8$

$P(X=1)=\left(\begin{array}{l}8\\ 1\end{array}\right)(0.8){(0.2)}^7=8.19\times {10}^{-5}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}$

مثال 6

إذا كان المتغير العشوائي $\text{X∼B}\left(4\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}0.6\right)$ ، فما قيمة: $P\left(2<x\le 4\right)$ ؟

الحل:

لأن X متغير عشوائي ذي حدين $\mathit{\text{n=4\hspace{0.17em},\hspace{0.17em}p=0.6}}$ ، فإنَّ المطلوب:

$P(2<x\le 4)=P(x=3)+P(x=4)$

$=\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right){(0.6)}^3(0.4)+\left(\begin{array}{l}4\\ 4\end{array}\right){(0.6)}^4=0.4752$