رياضيات8 فصل أول

أتحقق من فهمي (1)

1) أكتبُ معادلةَ المستقيمِ المارِّ بالنقطةِ $( 8, -4)$ وميله $\frac{2}{3}$ بصيغة الميل والنقطة

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-(-4)=\frac{2}{3}(x-8)$

$y+4=\frac{2}{3} (x-8)$

 

2) أكتبُ معادلةَ المستقيمِ المارِّ بالنقطتينِ $(7, 2) , (1, -8)$ بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ.

1) الميل

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-8-2}{1-7}=\frac{-10}{-6}=\frac{5}{3}$

 

2) معادلة المستقيم نعوض النقطة $(1, -8)$

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-(-8)=\frac{5}{3} (x-1)$

$y+8=\frac{5}{3} (x-1)$

 

أتحقق من فهمي (2)

1) $y+7=-\frac{4}{5}(x-4)$

 

2) $y-5=-3(x+1)$ 

 

3) $y-4=2(x-3)$

 

أتحقق من فهمي (3)

أكتبُ معادلةَ المستقيمِ المُمَثَّلِ بيانيًّا في كلٍّ ممّا يأتي بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ:

1)

  نجد الميل: 

 

 

 

 

 

 

 

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-4}{2-(-1)}=\frac{-1}{3}$

معادلة المستقيم نعوض النقطة $\left(2, 3\right)$

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-3=-\frac{1}{3} (x-2)$

 

2)

نجد الميل: 

 

 

 

 

 

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-(-1)}{1-(-2)}=\frac{4}{3}$

معادلة المستقيم نعوض النقطة $\left(1, 3\right)$

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-3=\frac{4}{3} (x-1)$

 

 

أتحقق من فهمي (4)

منطادٌ: يبيّنُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ ارتفاعِ منطادِ هواءٍ ساخنٍ والزمنِ.

1) أُبيّنُ أنَّ العلاقةَ بينَ ارتفاعِ المنطادِ والزمنِ خطيّةٌ.

 

 

 

 

 

$\frac{-50}{20}=-2.5 ,\frac{-100}{40}=-2.5 ,\frac{-50}{20}=-2.5$

إذنْ، العلاقةُ بينَ ارتفاع المنطاد والزمن خطيّةٌ (عكسية)، ومعدّلُ التغيُّرِ هو $-2.5 m$ لكلِّ ثانية.

 

2) أكتبُ معادلةً خطّيةً بمتغيرينِ بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ يمكنُ استعمالُها لإيجادِ ارتفاعِ المنطادِ عندَ أيِّ لحظةٍ.

$y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y-640=-2.5(x-10)$

 

 

أتدرب وأحل المسائل

أكتبُ معادلةَ المستقيمِ المارِّ بالنقطةِ المُعْطاةِ والمعلومِ ميلُه m في كلٍّ ممّا يأتي بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ: 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y+3= \frac{3}{4}\left(x-4\right)$

 

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y+7=-5\left(x+2\right)$

 

أكتبُ معادلةَ المستقيمِ المارِّ بكلِّ نقطتينِ ممّا يأتي بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ:

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{)}$

$m=\frac{5-7}{-3-3}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-7= \frac{1}{3}\left(x-3\right)$

 

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{)}$

$m=\frac{-6-8}{9-(-1)}=\frac{-14}{10}=-1.4$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-8=-1.4\left(x+1\right)$

 

 

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{)}$

$m=\frac{10-6}{-3-(-1)}=\frac{4}{-2}=-2$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-6= -2\left(x+1\right)$

 

أمثّلُ كلَّ معادلةٍ ممّا يأتي بيانيًّا باستعمالِ الميلِ ونقطةٍ:

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}$

 

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}$

 

$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}\left(x-3\right)$

 

أكتبُ بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ معادلةَ المستقيمِ الممثَّلِ بيانيَّا في كلٍّ ممّا يأتي:

9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$(2, 7), (1,4)$

$m=\frac{4-7}{1-2}=3$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-7=3(x-2)$

 

 

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$(1, -1), (2,1)$

$m=\frac{1--1}{2-1}=2$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y+1=2(x-1)$

 

11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$(0, 5), (3,-1)$

$m=\frac{-1-5}{3-0}=-2$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-5=-2(x-0)$

 

12) جَبْرٌ: إذا كانَ ميلُ المستقيمِ المارِّ بالنقطتينِ $( -1,p),(3p,-5 )$ يساوي 5 فأجدُ قيمةَ الثابتِ $\mathit{p}$

$\frac{-5-p}{3p-(-1)}=5\Rightarrow \frac{-5-p}{3p+1}=5$

$5\times (3p+1)=-5-p$

$15p+5=-5-p\Rightarrow 16p=-10$

$p=\frac{-10}{16}=\frac{-5}{8}$

بَعوضٌ: تمثّلُ المعادلةُ $N-50=2(t-10)$ عددَ البعوضِ N بالآلافِ في مستنقعٍ صغيرٍ بعدَ t يومًا من بدايةِ شهرِ حزيرانَ.

 

13) أمثّلُ المعادلةَ بيانيًّا، حيثُ t ≥ 0

14) بعدَ كمْ يومٍ منْ بدايةِ الشهرِ يكونُ عددُ البعوضِ في المستنقعِ 46000 ؟

$46-50=2(t-10)$

$-4=2(t-10)\Rightarrow -2=t-10\Rightarrow t=8$

بعد 12 يوماً

 

بيئةٌ: التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ للتنبُّؤِ بالعَلاقةِ بينَ زيادةِ ثاني أكسيدِ الكربونِ في الغلافِ الجويِّ بالأجزاءِ منْ مليونِ $\left(ppm\right)$ وارتفاعِ متوسطِ درجةِ الحرارةِ في العالمِ.

 

 

 

15) إذا زادَ $C{O}_2$ بمقدارِ $360 ppm$ ، فما الارتفاعُ المتوقَّعُ في درجةِ الحرارةِ؟

يتوقع ازدياد درجة الحرارة بمقدار 3.6 درجة حسب التمثيل البياني

 

16) ارتفعتْ درجةُ الحرارةِ بينَ عامَيْ 1980 م و 2000 بمقدارِ 0.4 °C أجدُ مقدارَ الزيادةِ في كميّةِ ثاني أكسيدِ الكربونِ.

مقدار الزيادة في كمية ثاني أكسيد الكربون تساوي $40 ppm$ 

 

17) أكتبُ معادلةً خطّيةً بمتغيرينِ يمكنُ استعمالُها لإيجادِ مقدارِ الارتفاعِ في درجةِ الحرارة عند أي ارتفاع في كمية $C{O}_2$ في الغلاف الجوي

$\left(100, 1\right), (200, 2)$

$m=\frac{2-1}{200-100}=0.01$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-1=0.01(x-100)$

 

أشجارٌ: يبيّنُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ محيطِ جذعِ شجرةٍ والزمنِ.

 

18) أبيّنُ أنَّ العلاقةَ بينَ محيطِ جِذْعِ الشجرةِ والزمنِ خطّيةٌ.

$\frac{4-2}{2-1}=2 , \frac{6-4}{3-2}=2 , \frac{8-6}{4-3}=2$

العلاقة بين محيط جذع الشجرة والزمن هي علاقة خطية ومعدل التغير هو $2 cm$ لكل سنة

 

19) أتنبّأُ بمحيطِ جذعِ الشجرةِ بعدَ 10 سنواتٍ.

$20 cm$

20) أكتبُ معادلةً خطّيةً بمتغيرينِ يمكنُ استعمالُها لإيجاِد محيطِ جذعِ الشجرةِ في أيِّ سنةٍ.

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-2=2\left(x-1\right)$

 

21) تبريرٌ: أوجَدَ كلٌّ منْ باسمٍ ولينَ معادلةَ المستقيمِ المارِّ بالنقطتينِ ( 6 , 1) ,(6-, 2-) على النحوِ الآتي:

هلْ إجابةُ كلٍّ منهُما صحيحةٌ؟ أبرّرُ إجابتِي.

إجابة كل منهما صحيحة ولكن كلاً منهما استخدم نقطة مختلفة عن الأخر

 

22) تبريرٌ: كيفَ سيتغيّرُ التمثيلُ البيانيُّ للمعادلةِ (y - 12 = 8(x -2 ، إذا تغيّرتْ إشاراتا الطرحِ في المعادلةِ إلى إشاراتي جمعٍ؟ أبرّرُ إجابتي دونَ اللجوءِ إلى تمثيلِ المعادلةِ بيانيًّا.

سيكون لدينا مستقيم أسفل المستقيم الأصلي وموازي له

 

23) تبريرٌ: أجدُ معادلةَ المستقيمِ المارِّ بالنقطتينِ ( 5 , 5) ,( 1 , 9) بصيغةِ الميلِ والمقطعِ، ثمَّ أُبيّنُ أنَّ المقطعَ x يساوي 10 مبرِّرًا إجابتِي.

$m=\frac{5-1}{5-9}=-1$

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Rightarrow y-5=-1\left(x-5\right)$

نعوض $y=0$ لإيجاد المقطع x

$0-5=-x+5\Rightarrow -x=-10\Rightarrow x=10$ 

 

24) أكتبُ: كيفَ أكتبُ معادلةَ مستقيمٍ إذا عُلمَ ميلُهُ ونقطةٌ يمرُّ بِها؟

 

كتاب التمارين

أكتبُ معادلةَ المستقيمِ الممثلةَ بيانيًّا في كلٍّ ممّا يأتي بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ:

$m=\frac{3-2}{1-(-3)}=\frac{1}{4}$

$y-3=\frac{1}{4}(x-1)$

 

 

 

 

 

$m=\frac{1-3}{3-0}=\frac{-2}{3}$

$y-1=\frac{-2}{3}(x-3)$

 

 

 

 

$m=\frac{4-1}{2-1}=3$

$y-1=3(x-1)$

 

 

 

 

يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ المثلثَ القائمَ الزاويةِ : GHF

 

4) أكتبُ معادلةً بصورةِ الميلِ ونقطةٍ تمثلُ المستقيمَ الّذي يحوي $\overline{GH}$

$G(-3, 7), H(4, 1)$

$m=\frac{1-7}{4-(-3)}=\frac{-6}{7}$

$y-7=\frac{-6}{7}(x+3)$

5) أكتبُ معادلةً بصورةِ الميلِ ونقطةٍ تمثلُ المستقيمَ الّذي يحوي $\overline{FH}$

 

$F(-3, 1), H(4, 1)$

$m=\frac{1-1}{4-(-3)}=0$

$y-1=0(x-4)\Rightarrow y=1$

 

 

يبيّنُ الجدولُ المجاورُ عددَ لتراتِ الماءِ y في خزّانٍ بعدَ x ساعةً: 

6) أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بَيْنَ عددِ لتراتِ الماءِ في الخزّانِ والزمنِ خطيةً أَم لا.

 

 

 

$\frac{4570-3320}{3-2}=1250$

$\frac{7070-4570}{5-3}=\frac{2500}{2}=1250$

$\frac{10820-7070}{8-5}=\frac{3750}{3}=1250$

العلاقة بين عدد لترات الماء والزمن خطية ومعدل التغير يساوي $1250$ لتر لكل ساعة

 

7) أكتبُ معادلةً خطيةً بمتغيرَينِ تمثلُ البياناتِ بصيغةِ الميلِ ونقطةٍ.

$y-3320=1250(x-2)$

 

 

8) أكتشفُ الخطأَ: تقولُ مرامُ إنَّ جدولَ القِيَمِ الآتِيَ يمثلُ علاقةً خطيةً بَيْنَ x وَ y

 

معدل التغير ليس ثابت وعليه العلاقة ليست خطية

 

9) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ 5 معادلاتٍ خطيةٍ بمتغيرَينِ تمرُّ بالنقطةِ ( 4 , 1)، ثُمّ أمثلُ كلَّ معادلةٍ مِنْها في المستوى الإحداثيِّ.

$y-4=x-1$

 

$y-4=2(x-1)$

 

$y-4=3(x-1)$

 

$y-4=-1(x-1)$

 

$y-4=-2(x-1)$