أستعد لدراسة وحدة

الإحصاء والاحتمالات

 

تعلمت سابقًا إيجاد التوافيق، حيث إن توافيق $n$ من الأشياء مأخوذة $r$ في كل مرة هي:

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

وتعلمت سابقًا أن:  

$0!=1 , 1!=1$

$\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)=1 , \left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)=n$

 

مثال 1: أجد  $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$

الحل:

$$\begin{gathered} \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\frac{5!}{3!(5-3)!} \\ =\frac{5!}{3!2!}=\frac{5\times 4\times 3!}{3!2!} \\ =\frac{5\times 4}{2\times 1}=10 \end{gathered}$$

 

مثال 2: أجد $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$

الحل:  

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)=\frac{6!}{4!(6-4)!} \\ =\frac{6\times 5\times 4!}{4!2!}=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=\frac{3!}{2!(3-2)!} \\ =\frac{3!}{2!1!}=\frac{3\times 2!}{2!}=3 , 1! =1 \end{gathered}$$

إذًا 

$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=15+3=18$

 

 

مثال 3: أجد  $\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)}$

الحل: 

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)=\frac{8!}{5!(8-5)!}=\frac{8!}{5!3!} \\ =\frac{8\times 7\times 6\times 5!}{5!(3\times 2\times 1)} \\ =\frac{8\times 7\times 6}{6}=8\times 7=56 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\frac{6!}{2!(6-2)!} \\ =\frac{6!}{2!4!}=\frac{6\times 5\times 4!}{2!4!} \\ =\frac{6\times 5}{2\times 1}=\frac{30}{2}=15 \end{gathered}$$

إذًا

 $\frac{\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)}=\frac{56}{15}$

 

مثال 4: أجد كلاً مما يأتي: 

1)        $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}12\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$

2)               $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)$

الحل:

1) $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\end{array}\right)=1 , \left(\begin{array}{c}12\\ 0\end{array}\right)=1 , \left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)=1$

2)  $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=6 , \left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)=8 , \left(\begin{array}{c}15\\ 1\end{array}\right)=15$

 

المُتغيِّر العشوائي، وتوزيعه الاحتمالي

المُتغيِّر العشوائي: هو متغير يدل على عدد مرات نجاح التجربة إذا كررت التجربة عدة مرات.

ويُرمز للمتغير العشوائي بالرمز $X$ ، ويُرمز لقيم المتغير العشوائي بالرمز $x$

 

مثال1: في تجربة إلقاء قطعتي نقد متمايزتين، إذا دل المُتغيِّر  العشوائي $X$  على عدد مرات ظهور الصورة، أجد قيم المُتغيِّر العشوائي .

الحل:

قيم المُتغيِّر العشوائي $X$  هي $x$ : $0,1,2$

 

ويمكن إيجاد قيم المُتغيِّر العشوائي من خلال إيجاد الفضاء العيني للتجربة:

$$\begin{gathered} \Omega =\{\left(T,T\right),\left(T,H\right),\left(H,T\right),\left(H,H\right)\} \\ \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \\ 0 1 1 2 \end{gathered}$$ قيم المُتغيِّر العشوائي $X$ هي$x$ : $0,1,2$ 

$H$ : ظهور الصورة  ، $T$: ظهور  الكتابة.

 

مثال 2: في تجربة إلقاء حجري نرد متمايزين، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على مجموع الوجهين الظاهرين، أجد قيم المُتغيِّر العشوائي.

الحل:

قيم المُتغيِّر العشوائي $X$ هي $x$  : $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ 

 

مثال 3:أجريت ثلاث عمليات جراحية في إحدى المستشفيات، وكان احتمال نجاح العملية $70\%$، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي $X$ على عدد العمليات الناجحة. أكتب قيم المُتغيِّر العشوائي الممكنة.

 الحل:

قيم المُتغيِّر العشوائي $X$ هي$x$  : $0, 1, 2, 3$

 

توقّع المُتغيِّر العشوائي، وتباينه، وانحرافه المعياري

أتذكر أن توقع  المُتغيِّر  العشوائي $X$  هو: 

$E\left(X\right)=\sum _{}x . P(X=x)$

أتذكر أن تباين المُتغيِّر العشوائي  $X$  هو:

${\sigma }^2=\sum _{}(x^2. p\left(x\right))-{\left(E\left(X\right)\right)}^2$

تذكر أن الانحراف المعياري للمُتغيِّر العشوائي  $X$  هو الجذر التربيعي للتباين ؛ أي إن: 

$$\begin{gathered} \sqrt{{\sigma }^2} = \mathrm{المعياري} \mathrm{لانحراف}ا \\ \sigma = \end{gathered}$$ 

 

مثال 1: في تجربة إلقاء قطعتي نقد متمايزتين، إذا دل المُتغيِّرالعشوائي $X$ على عدد الصور الظاهرة. أجد:

1) مجموعة قيم المُتغيِّر العشوائي $X$ .

2) جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي  $X$ . 

3) توقع المُتغيِّر العشوائي $X$ .

4) تباين المُتغيِّر العشوائي $X$ .

5)الانحراف المعياري للمتغير العشوائي $X$ .

الحل:

1) مجموعة قيم المُتغيِّر العشوائي $X$ هي: $x\in \{0,1,2\}$

2) جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي $X$ هو: 

$2$	$1$	$0$	$x$
$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{4}$	$P(X=x)$

   3) توقع المُتغيِّرالعشوائي $X$  هو:

$E\left(X\right)=\sum _{}x . P(X=x)$    

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=(0\times \frac{1}{4})+(1\times \frac{2}{4})+(2\times \frac{1}{4}) \\ =0 + \frac{2}{4} +\frac{2}{4}=\frac{4}{4}=1 \end{gathered}$$    

4) تباين المُتغيِّر العشوائي $X$ هو: 

${\sigma }^2=\sum _{}(x^2. P\left(x\right))-\left(E(X\right){)}^2$$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\sum _{}(x^2. P\left(x\right))-\left(E(X\right){)}^2 \\ {\sigma }^2=({\left(0\right)}^2\times \frac{1}{4}+{\left(1\right)}^2\times \frac{2}{4}+{\left(2\right)}^2\times \frac{1}{4})-{\left(1\right)}^2 \\ = (0+\frac{2}{4}+1)-1 \\ =\frac{2}{4}+1-1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

5) الانحراف المعياري للمُتغيِّر العشوائي $X$  هو:

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

مثال 2: إذا كان للمُتغيِّر العشوائي $X$  التوزيع الاحتمالي الآتي:

$3$	$2$	$1$	$0$	$x$
$0.1$	$0.3$	$0.4$	$0.2$	$P(X=x)$

أجد:

1) توقع المُتغيِّر العشوائي $X$.

2) تباين المُتغيِّرالعشوائي $X$.

3) الانحراف المعياري للمُتغيِّر العشوائي  $X$.

الحل:

1) توقع المُتغيِّر العشوائي $X$ هو:

$E\left(X\right)=\sum _{}x . P(X=x)$   

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=(0\times 0.2)+(1\times 0.4)+(2\times 0.3)+(3\times 0.1) \\ = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.3 \\ =1.3 \end{gathered}$$   

2) تباين المُتغيِّر العشوائي هو:

 

$$\begin{gathered} {\sigma }^2=\underset{}{\sum (x^2. P\left(x\right))-{\left(E\left(X\right)\right)}^2} \\ {\sigma }^2={\left(0\right)}^2\times 0.2 +{\left(1\right)}^2\times 0.4 +{\left(2\right)}^2\times 0.3 + {\left(3\right)}^2\times 0.1-{(1.3)}^2 \\ =0\times 0.2 +1\times 0.4 + 4\times 0.3 + 9\times 0.1-1.69 \\ =0 + 0.4 + 1.2 + 0.9-1.69 \\ =2.5-1.69 \\ =0.81 \end{gathered}$$

3) الانحراف المعياري للمُتغيِّر العشوائي $X$ هو: 

$\sigma =\sqrt{\mathrm{التباين}}$

$\sigma =\sqrt{0.81}=0.9$