رياضيات أدبي فصل أول

الأول ثانوي أدبي

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 26

أجد إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل الاقتران : Q = 50x + 40y أكبر ما يُمكن ضمن القيود الآتية :  x + y ≤ 8   ,   2x + y ≤ 10    ,    x ≥ 0   ,    y ≥ 0    

الحل :

الخطوة 1 : تمثيل القيود بيانيًّا.
أُمثِّل نظام المتباينات الخطية (القيود) بيانيًّا، ثم أُحدّد منطقة الحلول المُمكنة كما في الشكل الآتي : 


 

الخطوة 2 : تحديد رؤوس منطقة الحلول المُمكنة 

أُعيّن إحداثيي كلٍّ من نقاط رؤوس منطقة الحلول المُمكنة ، وهي: A, B, C, D ، ثم أضعها في جدول أحسب فيه قيمة الاقتران الهدف عند كلٍّ منها.

 Q = 50x + 40y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
 Q = 50(0) + 40(0) = 0    A (0 , 0)  
 Q = 50(5) + 40(0) =  250    B (5 , 0)
 Q = 50(2) + 40(6) = 340    C (2 , 6)
 Q = 50(0) + 40(8) = 320    D (0 , 8)

الخطوة 3 : تحديد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

أُلاحظ أنّ أكبر قيمة للاقتران Q  هي 340 ، وأنّها تتحقق عندما  x = 2 ,  y = 6

 


                       

أتحقق من فهمي صفحة 28

يُنتِج مشغل للصناعات اليدوية معاطف وحقائب جلدية ، ويتوافر لديه أسبوعيًّا  40 m2  على الأكثر من الجلد الخام. يتطلَّب صنع المعطف الواحد استعمال 2 m2   من الجلد الخام، ويستغرق ذلك ساعتي عمل، ويُحقق ربحًا مقداره 5 دنانير، ويتطلب صنع الحقيبة الواحدة استعمال 1 m2 من الجلد الخام ، ويستغرق ذلك 3 ساعات عمل، ويُحقق ربحًا مقداره 4 دنانير. إذا كان عدد ساعات العمل في المشغل لا يزيد على 60 ساعة أسبوعيًّا، فما عدد كلٍّ من المعاطف والحقائب التي يتعيَّن صنعها أسبوعيًّا لتحقيق أكبر ربح مُمكن؟ (أفترض أنَّ المشغل يبيع إنتاجه كاملًا).

الحل : 

الخطوة 1 : صياغة الفرضيات 

يُمكن تنظيم المعلومات الواردة في السؤال في جدول لتسهيل صياغة الفرضيات :

  المعطف الحقيبة 
كمية الجلد المستخدمة  2 1
عدد ساعات العمل اللازمة  2 3
الربح المتوقع  5 4

 

 

 

 

أفرض عدد المعاطف = x  ، وعدد الحقائب  = y 

متباينة كمية الجلد  :                     2x + y  40

متباينة عدد ساعات العمل  :     2x + 3y  60

إذا افترضتُ أنّ المشغل سيبيع كل إنتاجه من المعاطف والحقائب ، فإنَّ الربح المُتوقَّع هو : P = 5x + 4y    ضمن القيود الآتية :  

       2x + y   402x + 3y  60x 0 ,  y  0 

الخطوة 2 : تمثيل القيود بيانيًّا 
أمثل نظام المتباينات الخطية ، ثم أظلل منطقة الحلول المُمكنة كما في الشكل الآتي : 

الخطوة 3 : تحديد رؤوس منطقة الحلول المُمكنة.

أُعيّن إحداثيي كلٍّ من نقاط رؤوس منطقة الحلول المُمكنة ، وهي : A , B , C , D ، ثم أضعها في جدول أحسب فيه قيمة الاقتران الهدف عند كلٍّ منها.

 P = 5 x + 4 y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
P = 5 (0) + 4 (0) = 0      A (0 , 0)  
P = 5 (20) + 4 (0) = 100        B (20 , 0)
P = 5 (15) + 4 (10) =  115       C (15 , 10)
P = 5 (0) + 4 (20) = 80       D (0 , 20)

 

الخطوة 4 : تحديد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى 

أُلاحظ من الجدول أنَّ أكبر ربح مُمكن هو 115 دينارًا ، وأنَّه يتحقق عند صناعة  15 معطف و 10 حقائب .  


 

أتحقق من فهمي صفحة 30

حمية غذائية: يشترط نظام للحمية الغذائية توافر ما لا يقل عن 300 سعرة حرارية، و 36 وحدة من فيتامين A، و 90 وحدة من فيتامين C، ضمن الجزء السائل من الوجبة الغذائية. يُبيِّن الجدول أعلاه تكلفة العلبة الواحدة من نوعين مختلفين من الألبان، وعدد السعرات الحرارية، ووحدات فيتامين A وفيتامين C التي تحويها العلبة الواحدة. كم علبة من كل نوع يُمكِن أنْ يستهلكها يوميًّا شخص يتَّبِع نظام الحمية الغذائية، ويريد تحقيق شروطها بأقل تكلفة مالية مُمكنة؟

الحل : 

  •  أفرض عدد العلب من النوع 1  =  x  ، وعدد العلب من النوع 2  =  y 

اقتران الهدف :  P = 0.25 x + 0.3 y  أقل ما يُمكن ضمن القيود الآتية :

متباينة عدد السعرات الحرارية : 60x + 60y  300 

متباينة عدد وحدات فيتامين A : 12x + 6y  36

متباينة عدد وحدات فيتامين C : 10x + 30y  90

قيود عدم السالبية : x 0  ,   y  0

  • أمثل نظام المتباينات الخطية ، ثم أظلل منطقة الحلول المُمكنة كما في الشكل الآتي : 

  •  أُعيّن إحداثيي كلٍّ من نقاط رؤوس منطقة الحلول المُمكنة ، وهي : A , B , C , D ، ثم أضعها في جدول أحسب فيه قيمة الاقتران الهدف عند كلٍّ منها.
 P = 0.25 x + 0.3 y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
P = 0.25 (0) + 0.3 (6) = 1.8      A (0 , 6)  
P = 0.25 (1) + 0.3 (4) = 1.45       B (1 , 4)
P = 0.25 (3) + 0.3 (2) =1.35       C (3 , 2)
P = 0.25 (9) + 0.3 (0) = 2.25       D (9 , 0)
  • تحديد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى 

أُلاحظ من الجدول أنَّ أقل تكلفة مُمكنة هي 1.35 دينارًا ، وأنَّه يتحقق عند استهلاك  3 علب من النوع الأول ، و 2 علبة من النوع الثاني . 


 

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجد إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل اقتران الهدف أكبر ما يُمكن ضمن القيود المعطاة في كلٍّ ممّا يأتي :

1) P = 4x + 3y

x + 2y ≤ 4

x – y ≤ 1

x ≥ 0 , y ≥ 0

2) R = 10x + 7y

0 ≤ x ≤ 60

0 ≤ y ≤ 60

5x + 6y ≤ 420

3) Z = 1.5x + y

x + 3y ≤ 15

4x + y ≤ 16

x ≥ 0 , y ≥ 0

الحل : 

1) P = 4x + 3y

x + 2y ≤ 4    ,  x – y ≤ 1  ,   x ≥ 0 , y ≥ 0

P = 4 x + 3 y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
P = 4(0) + 3(0) = 0      A (0 , 0)  
P = 4(1) + 3(0) = 4       B (1 , 0)
P = 4(2) + 3(1) = 11       C (2 , 1)
P = 4(0) + 3(2) = 6      D (0 , 2)

أُلاحظ من الجدول أنَّ أكبر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 11 ، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 2 ، y = 1   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) R = 10x + 7y

0 ≤ x ≤ 60   ,  0 ≤ y ≤ 60  ,  5x + 6y ≤ 420

R = 10x + 7y   رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
R = 10 (0) + 7(0) = 0      A (0 , 0)  
R = 10 (60) + 7(0) = 600       B (60 , 0)
R = 10 (60) + 7(20) = 740        C (60 , 20)
R = 10 (12) + 7(60) = 540     D (12 , 60)
R = 10 (0) + 7(60) = 420      E (0 , 60)
أُلاحظ من الجدول أنَّ أكبر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 740، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 60 ، y = 20   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Z = 1.5x + y

x + 3y ≤ 15   ,  4x + y ≤ 16   ,  x ≥ 0 , y ≥ 0

 

                                                               
 Z = 1.5x + y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
Z  = 1.5(0) + 0 = 0      A (0 , 0)  
Z  = 1.5(4) + 0 = 6       B (4 , 0)
Z  = 1.5(3) + 4 = 8.5       C (3 , 4)
Z  = 1.5(0) + 5 = 5     D (0 , 5)
                                    
أُلاحظ من الجدول أنَّ أكبر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 8.5، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 3 ، y = 4 

 


 

 

أجد إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل اقتران الهدف أصغر ما يُمكِن ضمن القيود المعطاة في كلٍّ ممّا يأتي :

4) Q = 4x + 5y

x + y ≥ 8

3x + 5y ≥ 30

x ≥ 0 , y ≥ 0

 

5) C = 8x + 4y

x + 2y ≥ 4

3x + y ≥ 7

2y – x ≥ 7

x ≥ 0 , y ≥ 0

6) K = 25x + 35y

8x + 9y ≤ 7200

8x + 9y ≥ 3600

x ≥ 0 , y ≥ 0

 

الحل : 

4) Q = 4x + 5y

x + y ≥ 8  ,  3x + 5y ≥ 30  ,  x ≥ 0 , y ≥ 0

                                                         
Q = 4x + 5y   رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
Q = 4(0) + 5(8) = 40       A (0 , 8)  
Q = 4(5) + 5(3) = 35      B (5 , 3)
Q = 4(10) + 5(0) = 40        C (10 , 0)
                               
أُلاحظ من الجدول أنَّ أصغر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 35 ، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 5 ، y = 3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) C = 8x + 4y

x + 2y ≥ 4  ,   3x + y ≥ 7  ,   2y – x ≥ 7  ,   x ≥ 0 , y ≥ 0

       
C = 8x + 4y   رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
C = 8(1) + 4(4) = 24       A (1 , 4)  
C = 8(0) + 4(7) = 28      B (0 , 7)
                                                   
أُلاحظ من الجدول أنَّ أصغر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 24 ، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 1 ، y = 4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

6) K = 25x + 35y

8x + 9y ≤ 7200  ,   8x + 9y ≥ 3600  ,   x ≥ 0  ,  y ≥ 0

                                                                         
K = 25x + 35y  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
K = 25(0) + 35(800) = 28000      A (0 , 800)  
K = 25(0) + 35(400) = 14000    B (0 , 400)
K = 25(450) + 35(0) = 11250    C (450 , 0)
K = 25(900) + 35(0) = 22500    D (900 , 0)
       
أُلاحظ من الجدول أنَّ أصغر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 11250 ، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 450 ، y = 0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) صناعات: يُنتِج أحد المصانع شوكولاتة مُغطّاة بالفستق ، ويجني ربحًا مقداره JD 1.5 عن كل علبة مبيعة، ويُنتِج نوعًا آخر منها مُغطّى بالبندق، ويجني ربحًا مقداره JD 2 عن كل علبة مبيعة. وقد بيَّنت دراسة أجراها قسم التسويق في المصنع بهدف زيادة الربح أنَّ إنتاج كلا النوعين من الشوكولاتة يجب ألّا يزيد على 1200 علبة شهريًّا، وأنَّ الطلب على علب الشوكولاتة المُغطّاة بالبندق لا يزيد على نصف الطلب على علب الشوكولاتة المُغطّاة بالفستق، وأنَّ عدد علب الشوكولاتة المُغطّاة بالفستق يجب أنْ يكون أقل من (أو يساوي) 600 علبة، مضافًا إليها ثلاثة أمثال عدد علب الشوكولاتة المُغطّاة بالبندق شهريًّا. كم علبة شوكولاتة من كل نوع يجب أنْ يُنتِج المصنع شهريًّا لتحقيق أكبر ربح مُمكن ، مُفترِضًا بيع الإنتاج كاملًا كل شهر؟ 

الحل : 

  •  أفرض عدد العلب من الشوكولاتة بالفستق = x ، وعدد العلب من الشوكولاتة بالبندق = y 

يريد المصنع تحقيق أكبر قيمة لاقتران الربح  :  P = 1.5 x + 2y 

في ظل القيود الآتية : 

                                                                                                                                                           𝑥 + 𝑦 ≤ 1200    ,    2𝑦 − 𝑥 ≤ 0    ,   𝑥 − 3𝑦 ≤ 600   ,   𝑥 ≥ 0 ,  𝑦 ≥ 0

  • أمثل نظام المتباينات الخطية ، ثم أظلل منطقة الحلول المُمكنة كما في الشكل الآتي : 

P = 1.5 x + 2y  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
P = 1.5 (0) + 2(0) = 0       A (0 , 0)  
P = 1.5 (600) + 2(0) =  900       B (600 , 0)
P = 1.5 (1050) + 2(150) =  1875     C (1050 , 150)
P = 1.5 (800) + 2(400) = 2000     D (800 , 400)

أُلاحظ من الجدول أنَّ أكبر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 2000 ، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 800 ، y = 400 


  

8) دعاية : أراد صلاح طباعة كُتيِّبات ونشرات دعائية لتسويق مُنتَجات مزرعته من العسل الطبيعي، بحيث يحوي الكُتيِّب الواحد 3 صفحات، وتحوي النشرة الواحدة صفحتين. تبلغ تكلفة طباعة الكُتيِّب الواحد 0.2 من الدينار، وتكلفة طباعة النشرة الواحدة 0.1 من الدينار. وقد قرَّر صلاح أنَّه بحاجة إلى طباعة ما لا يزيد على 600 صفحة، مُمثَّلةً في 50 كُتيِّبًا على الأقل ، و 150 نشرة على الأقل. كم كُتيِّبًا ونشرة يجب طباعتها بحيث تكون التكلفة أقل ما يُمكن؟

الحل : 

  • أفرض عددالكُتيبات = x ، وعددالنشرات = y 

يريد صلاح تحقيق أصغر قيمة لاقتران التكلقة  : C = 0.2 x + 0.1 y 

في ظل القيود الآتية : 

                                                                                                                                                                            3x + 2y ≤  600   ,   0 ≥ x ≥ 50  ,   0 ≥ y ≥ 150

  • أمثل نظام المتباينات الخطية ، ثم أظلل منطقة الحلول المُمكنة كما في الشكل الآتي : 

 C = 0.2 x + 0.1 y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
C = 0.2 (0) + 0.1 (0) = 0  A (0 , 0)  
C = 0.2 (50) + 0.1 (0) = 10     B (50 , 0)
C = 0.2 (50) + 0.1 (150) = 25  C (50 , 150)
 C = 0.2 (0) + 0.1 (150) = 15 D (0 , 150)

أُلاحظ من الجدول أنَّ أقل قيمة ممكنة لكي يطبع صلاح كتيبات ونشرات هي 25 وهذه القيمة تتحقق عند طباعة 50 كُتيب و 150 نشرة .  


 

9) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

مسألة اليوم : دخلت سلمى محلًّ لبيع الأشتال ، وأرادت شراء نوعين من
شتلات البندورة ، بما لا يزيد على 4 دنانير ثمنًا لـ 15 شتلة على الأكثر. وقد أظهرت اللوحة المجاورة المُعلَّقة داخل المحلِّ معلومات عن النوعين. كم شتلة ستشتري سلمى من كل نوع لإنتاج أكبر كَمٍّ مُمكن من البندورة؟

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

  • أفرض عددالشتلات من النواع A هو x   ،  وعددالشتلات من النواع B هو y  

تريد سلمى تحقيق أكبر إنتاج ممكن من البندورة : P = 4 x + 5 y 

في ظل القيود الآتية : 

                                                                                                                                                                                                                                           x +  y ≤  15   ,   0.2 x + 0.3 y ≤ 4  ,   𝑥 ≥ 0 ,  𝑦 ≥ 0

P = 4 x + 5 y  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
P = 4 (0) + 5(0) = 0   A (0 , 0)  
P = 4 (15) + 5(0) = 60     B (15 , 0)
P = 4 (5) + 5(10) = 70    C (5 , 10)
P = 4 (0) + 5(13.33)     66.66   D (0 , 13.33)

أُلاحظ من الجدول أنَّ أكبر قيمة ممكنة لاقتران الهدف هي 70 ، وهذه القيمة تتحقق عندما x = 5 ، y = 10 

 


10) تبرير : يتحقَّق أحيانًا أكبر ربح مُمكِن عند نقطتين من رؤوس منطقة الحَلِّ.
وفي هذه الحالة يُمكن إيجاد نقاط أُخرى لتحقيق أكبر ربح عندها ، بالرغم من أنَّ قيمة الربح وحيدة. أجد أكبر قيمة مُمكنة للربح P = x + 2y ضمن منطقة الحلول المُمكنة المُمثلة في الشكل المجاور، مُبرِّرًا إجابتي ، ثم أجد
نقاطًا أُخرى ضمن منطقة الحلِّ يتحقق عندها أكبر قيمة مُمكنة للربح.

 

 

 

 

 

 

 

 الحل : 

P = x + 2 y  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
P = 0 + 2 (0) = 0  A (0 , 0)  
P = 0 + 2 (6) = 12     B (0 , 6)
P = 4 + 2 (6) = 16    C (4 , 6)
P = 10 + 2 (3) = 16    D (10 , 3)
P = 10 + 2 (0) = 10  E (10 , 0)

أكبر ربح  P = 16 ، ويتحقق ذلك عند أي من النقاط : (4 , 6) , ( 10 , 3) , (8 , 4)   أو أي نقطة تقع على القطعة المستقيمة التي طرفيها النقطتين C, D ؛ لأن الاقتران
الهدف P يوازي هذه القطعة المستقيمة .


 

 

11) تحدٍّ : أجد الاقتران الهدف الذي صورته : G = a x + b y ، حيث a , b عددان
حقيقيان، وله أكبر قيمة عند النقطة ( 3 , 2)، وهي 18 ، ضمن القيود المجاورة :

x + 2y ≤ 8        

x + y ≤ 5

x ≥ 0 , y ≥ 0

 

 

 

 

 

الحل : 

  G = a x + b y  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
 4b < 18   b < 4.5 G = a(0) + b(4) = 4b  (0 , 4)  
  G = a(2) + b(3) = 2a +3b = 18    (2 , 3)
5a < 18     a <  3.6 G = a(5) + b(0) = 5a    (5 , 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

من المعادلة 2a +3b = 18 أستنتج أنّ a = 3 ، b = 4 ، إذن اقتران الهدف : G = 3 x + 4 y 

 


 

12) تحدٍّ : أجد مجموعة قِيم n (حيث n عدد صحيح موجب) التي تجعل للاقتران الهدف :
                                                                D = 3x + ny
أكبر قيمة مُمكنة عند النقطة ( 4 , 3)، ضمن القيود المجاورة :

x + 3 y ≤ 15

4 x + y ≤ 16

x ≥ 0 , y ≥ 0

 

 

 

 

 

الحل : 

                                                         
 D = 3x + ny  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
D = 3(0) + n(0) = 0    A (0 , 0)  
D = 3(4) + n(0) = 12      B (4 , 0)
D = 3(3) + n(4) =    C (3 , 4)
D = 3(0) + n(5) = 5n   D (0 , 5)
        

 


 

 

 

 

 

 

 

       9 + 4n > 12   n > 349 + 4n > 5n   n < 9 

وحيث n عدد صحيح ، إذن : n  { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } 


 

أسئلة كتاب التمارين 

إذا كان التمثيل البياني للقيود الآتية كما في الشكل المجاور، فأجد إحداثيي
النقطة ( x , y )التي تجعل الاقتران : Q = 4 x + 2 y أصغر ما يُمكن : 

                                       x + y    4 

                                       x + 3y  6

                                                                x   0 , y 0  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

Q = 4 x + 2 y   رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
Q = 4 (0) + 2 (4) = 8   A (0 , 4)  
Q = 4 (3) + 2 (1) = 14   B (3 , 1)
Q = 4 (6) + 2 (0) = 24   C (6 , 0)

الاقتران أصغر ما يمكن عندما x = 0 , y = 4

 


2) أجد إحداثيي النقطة ( x , y ) التي تجعل الاقتران : W = x + 2 y  أكبر ما يُمكن ضمن القيود الآتية : 

                                                                                                x + y 20

                                                                                2x + y 30

                                                                              x 0 , y 0

الحل : 

 W = x + 2 y  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
W = 0 + 2(0) = 0  A (0 , 0)  
W = 15 + 2(0) = 15   B (15 , 0)
W = 10 + 2(10) = 30 C (10 , 10)
W = 0 + 2(20) = 40  D (0 , 20)

أكبر قيمة للاقتران هي 40 عندما x = 0 ، y = 20 


 

3) درّاجات هوائية: يُنتِج مصنع نوعين من الدرّاجات الهوائية A, B . ويُبيِّن الجدول المجاور عدد الساعات التي يستغرقها إنتاج كلٍّ من النوعين في أقسام المصنع الثلاثة.إذا كان عدد ساعات العمل الأسبوعية في كل قسم لا يزيد على 40 h للتجميع ، و 48 h للدهان ، و 13 h للتغليف ، وكان ربح الدرّاجة الواحدة المبيعة 45 دينارًا للنوع A ، و 30 دينارًا للنوع B ، فكم درّاجة من كل نوع يتعيَّن على المصنع إنتاجها أسبوعيًّا لتحقيق أكبر ربح مُمكن؟

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

  • أفرض عددالدراجات من النواع A هو x   ،  وعددالدراجات من النواع B هو y  

يريد المصنع تحقيق أكبر قيمة لاقتران الربح :  p = 45 x + 30 y   في ظل القيود الآتية : 

                                                                                                                                                                                                                                                                    2x + 2y ≤ 40

                                                                                                                                                                                                4x + y 48

                                                                                                                                                                                                                                                                      x + 0.5y 13

                                                                                                                                                                                                x 0 , y 0

p = 45 x + 30 y   رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
p = 45(0) + 30(0) = 0   A (0 , 0)  
p = 45(12) + 30(0) = 540   B (12 , 0)
p = 45(11) + 30(4) = 615   C (11 , 4)
p = 45(6) + 30(14) = 690    D (6 , 14)
p = 45(0) + 30(20) = 600 E (0 , 20)

أكبر ربح ممكن للمصنع  هو 690 دينارًا ويتحقق ذلك عند انتاج وبيع 6 دراجات من النوع A و 14 دراجة من النوع B أسبوعيًا .


 

4)  صالة زفاف : أرادت فاطمة دعوة 250 شخصًا إلى حفل زفاف، وتعيَّن عليها استئجار طاولات ليجلس حولها المدعوون. عرضت عليها صالة زفاف تأجيرها نوعين من الطاولات : طاولات مستطيلة الشكل تتسع لِـ 6 أشخاص ، وتبلغ تكلفة استئجارها 28 دينارًا. وطاولات دائرية الشكل تتسع لِـ 10 أشخاص، وتبلغ تكلفة استئجارها 52 دينارًا. إذا كانت الصالة تسع 35 طاولة من كلا النوعين على الأكثر ، وكان أكبر عدد يُمكن توفيره من الطاولات المستطيلة الشكل 15 طاولة ، فما عدد الطاولات التي يُمكن لفاطمة استئجارها من كلا النوعين بأقل تكلفة مُمكنة؟

الحل : 

  • أفرض عدد الطاولات المستطيلة هو x   ،  وعدد الطاولات المستديرة هو y  

تريد فاطمة تحقيق أقل قيمة لاقتران التكلفة  : 𝐶 = 28𝑥 + 52𝑦 في ظل القيود الآتية : 

                                                                                                                                                                                               6𝑥+ 10𝑦 ≥ 250

                                                                                                                                                                                                    𝑥 + 𝑦 ≤35

                                                                                                                                                                                                     𝑥 ≤ 15

                                                                                                                                                                                                                                                                         𝑥 ≥ 0 ,  𝑦 ≥ 0

𝐶 = 28𝑥 + 52𝑦  رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
𝐶 = 28(0) + 52(25) = 1300   A (0 , 25)  
𝐶 = 28(15) + 52(16) = 1252    B (15 , 16)
𝐶 = 28(15) + 52(20) = 1460    C (15 , 20)
𝐶 = 28(0) + 52(35) =  1820     D (0 , 35)

أقل تكلفة ممكنة هي 1252 دينارًا  وتتحقق عند استئجار 15 طاولة مستطيلة الشكل و 16 طاولة دائرية الشكل .