رياضيات فصل أول

البرهان الإحداثي

أولًا : تمثيلُ المُضَلَّع في المُستوى الإحداثِيِّ وَتَسمِيَتُهُ

لتمثيلِ مُضَلَّعٍ في المُستوى الإحداثِيِّ، يُفَضَّلُ رسمُ أحدِ أضلاعِهِ على محورٍ إحداثِيٍّ أوْ أحدِ رؤوسِهِ على نقطةِ الأصلِ؛ وذلكَ لتسهيلِ تحديدِ إحداثياتِ بقيَّةِ رؤوسِهِ اعتمادًا على خصائصِهِ.

 

ثانيًا : إيجادُ الإحداثياتِ المجهولةِ

يمكن تحديد إحداثيات مجهولة لرؤوس مُضَلَّع مُمَثَّل في المُستوى الإحداثِيّ، وذلك باستعمال خصائص المُضَلَّع والإحداثيات الأُخرى المعلومة.

 

ثالثًا : البرهانُ الإحداثِيُّ

البرهانُ الإحداثيّ : هُو أحد أنواع البراهين، تُستعمل فيه أشكال هندسيَّة مرسومة في المُستوى الإحداثِيّ لإثبات صحَّة نظريات هندسيَّة، ويتضمَّن

أيضًا استعمالَ مُتَغَيِّرات تُمَثِّل إحداثيات رؤوس الشكل أو قياسات زواياه أوْ أضلاعهِ ؛ لضمان أنَّ النتيجةَ التي يجري برهانُها صحيحةٌ لجميعِ

الأشكال منَ النوع نفسه بغض النظر عن إحداثيات رؤوسه.

 

تصنيفُ الأشكالِ الرُّباعيَّةِ باستعمالِ الهندسةِ الإحداثِيَّةِ

حالاتٌ خاصَّةٌ مِنْ مُتوازي الأضلاعِ

المُستطيلُ مُتوازي أضلاعٍ زواياهُ الأربعُ قوائمُ وَقُطراهُ مُتطابقانِ.

• المعين مُتوازي أضلاعٍ أضلاعُهُ مُتطابقةٌ وَقُطراهُ مُتعامدانِ.

• المُرَبَّعُ مُتوازي أضلاعٍ أضلاعُهُ مُتطابقةٌ وزواياهُ الأربعُ قوائمُ وأقطارُهُ مُتعامِدَةٌ وَمُتَطابِقَةٌ.

---

 

 

 

ورقة عمل درس البرهان الإحداثي

1) إحداثِيّا النقطة B في الشكل الآتي ، هما :  

 

$a) (a , 0) b) (2a , 0) c) (-a , 0) d(-2a , 0)$

 

---

2) إحداثِيّا النقطة C في الشكل الآتي ، هما :  

$a) (b , c) b) (2b , c) c) (a+b , c) d(a-b , c)$

 

---

 

3) نقطة تقاطع قُطري مُربع طول ضلعهِ u ورأساه ( 0 , 0) وَ ( u , u ) ، هي : 

$a) (\frac{u}{2} , \frac{u}{2}) b) (2u , 0) c) (2u , 2u) d(0 , \frac{u}{2})$

الحل : 

$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{0+u}{2}, \frac{0+u}{2}) = (\frac{u}{2},\frac{u}{2})$ 

---

 

4) إذا كانَ $▱ABCD$ ، الذي إحداثياتُ رُؤوسِهِ $A(5,0) , B(8,-11) , C(-3,-14) , D(-6,-3)$ ، فإنّ الشكل :  

a) معين 

b) مُستطيل

c) مُربع 

الحل : 

$MK = \sqrt{{(8+6)}^2+ {(-11 + 3)}^2} = 2\sqrt{65} \mathbf{ }JL = \sqrt{{(5 +3)}^2+ {(0 + 14)}^2} = 2\sqrt{65} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$

ميل MK  : $m = \frac{-11 +3}{8 + 6} =- \frac{14}{14} = -1$

ميل JL  : $m = \frac{0 +14}{5 + 3} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

إذن القطران متطابقان وغير متعامدان ؛ إذن الشكل مستطيل.

---

 

 

 

 

ورقة التقييم النهائي

 

 

1) يُعبر عن المجموعة { x | x = 5k, k ∈ W, 0 < x < 4} = P ، بطريقة سرد العناصر :

$a) \{5,10\} b) \left\{5\right\} c) \varnothing d) \{5,10,15,...\}$

الحل : 

تمثل P مجموعة مُضاعفات العدد 5 ، التي تقل عن 4. وبما أنه لا توجد أعداد تحقق هذه
القاعدة ، فالمجموعة P خالية، ويُرمز لها بالرمز ∅  

---

2)  مجموعة حل المتباينة $10-7x < 17 or 2x -9 > 1$

$a) (-1 , 5) b) (5 , \infty ) c) (-1 ,\infty ) d) (-\infty ,-1)\cup (5 ,\infty )$

 

الحل : 

$10-7x < 17 or 2x -9 > 1-7x< 7 or 2x > 10x >-1 or x > 5$

مجموعة حل المُتباينة هي اتحاد المُتباينتين ، إذن الاجابة الصحيحة (c) 

 

---

3) مجموعة حل المتباينة $5-|2x + 4| > 1$ 

$a) (-4 , 0) b) [-4 , 0] c) (-\infty ,-4)\cup (0,\infty ) d) (-\infty ,-4]\cup [0,\infty )$

الحل : 

$5-|2x + 4| > 1-|2x + 4| > -4|2x + 4| < 4 -4< 2x+4<4-8<2x< 0-4<x< 0$

الاجابة الصحيحة (a)

---

 

4) الزوج المرتب الذي يمثل حلًا للمتباينة الخطية $3x - 2y > 6$

$a) (2 , 0) b)(0 , 2) c) (3 , 0) d)(0 , -3)$

 

الحل : 

$3x - 2y > 63\left(3\right) - 2\left(0\right) = 9 > 6 ✔$

إذن الاجابة الصحيحة (c)

---

5) المتباينة التي لها التمثيل البياني الآتي ، هي : 

$a) y > 5x-1 b) y-5x >1 c) 5y-x \ge 1 d) y < 5x-1$

الحل : 

أجد ميل المستقيم الحدودي  $m = \frac{-1-4}{0 - 1} = 5$

أجد معادلة المستقيم الحدودي 

$y = mx + by = 5x - 1$

أختبر نقطة لا تقع على المستقيم وأعوضها في معادلة المستقيم الحدودي 

$y = 5x - 1 0 \stackrel{?}{=} 5\left(0\right) - 10 \stackrel{?}{=} -1 0 > -1$

إذن المتباينة هي $y > 5x - 1$  ويوضع رمز المتباينة بدون مساواة لأن المستقيم الحدودي متقطعًا . 

---

 

6) أحد العلاقات الآتية تمثل اقترانًا : 

$a) \{(1,2) , (2,2) , (3,0) , (1,0)\} b) \left\{\right(0,4) , (3,2) , (3,3) , (1,4\left)\right\} c) \{(1,1) , (2,1) , (3,1) , (4,1)\} d) \left\{\right(4,2) , (2,4) , (4,3) , (2,3\left)\right\}$

الحل : 

الاجابة الصحيحة (c)  ارتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد في المدى. إذن، تمثل هذه العلاقة اقترانًا.

---

7) مدى الاقتران الممثل في الرسم الآتي : 

 

$a) [-4 , 2] b) (-4 , 2) c) [3 , 6] d) [2 , 6]$

الحل : 

من الرسم البياني ألاحظ أنّ قيم y تبدأ من العدد 2  وتنتهي بالعدد 6  ، حيث 2 ، 6 من ضمن الفترة ، إذن الإجابة الصحيحة (d)

---

8) إذا كان $g\left(x\right) = x^3-2x+9$  ، فإنّ قيمة $4g\left(0\right)-g\left(1\right)+2$

$a) 30 b) 28 c) 44 d) 46$

 

الحل : 

$4g\left(0\right)-g\left(1\right)+24(0^3-2(0)+9) - (1^3-2(1)+9) + 236 - 8 + 2 = 30$

---

9) يبيّنُ مُنحنى التحويل المجاور العلاقة بين وحدتي قياس درجات الحرارة الفهرنهايتِ والسلسيوس. أستعمل المنحنى المجاور
لتحويل $15° C$ إلى وَحدة الفهرنهايت. 

$a) 30 F b) 40 F c) 50 F d) 60 F$

الحل : 

---

10) إحداثيا رأس الاقتران التربيعي : $f\left(x\right) = 5x^2-2x - 1$

$a) (0.2 , -1.2) b) (0.2 ,1.2) c) (-0.2 ,1.2) d)(-0.2 ,-1.2)$

الحل : 

$x = -\frac{b}{2a} =- \frac{-2}{2\times 5} = 0.2f(0.2) = 5{(0.2)}^2-2(0.2) -1f(0.2) =-1.2$

إذن رأس الاقتران التربيعي (1.2- ، 0.2)

---

 

11) يمثل الاقتران $h\left(t\right) = -0.5t^2+4t+5$ ارتفاعَ كرةِ ركلها سامي حيث t الزمن بالثواني ، h الارتفاع بالأمتار ، ما أقصى ارتفاع يمكن أن تصل إليه

الكرة؟

$a) 11m b)13m c)14m d) 9m$

الحل

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-0.5) }= 4h\left(4\right) = -0.5{\left(4\right)}^2 +4\left(4\right) + 5 = 13$

إذن أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة هو  13 متر .

---

12) إذا كان $g\left(x\right) =-2x^2+4$ ، فإنّ التحويل الهندسي الذي أثّر على الاقتران الرئيس f(x) هو : 

a) انعكاسٌ حولَ المحور x ، ثمَّ تضييقٌ رأسيٌّ بمعامل مقداره 2 وانسحاب إلى الأعلى 4 وحدات .

b) انعكاسٌ حولَ المحور x ، ثمَّ تضييقٌ رأسيٌّ بمعامل مقداره 2 وانسحاب إلى الأسفل 4 وحدات .

c) انعكاسٌ حولَ المحور x ، ثمَّ توسيع رأسيٌّ بمعامل مقداره 2 وانسحاب إلى الأسفل 4 وحدات .

d) انعكاسٌ حولَ المحور x ، ثمَّ توسيع رأسيٌّ بمعامل مقداره 2 وانسحاب إلى الأعلى 4 وحدات . 

---

13) إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنِ انعكاسِ مُنحنى الاقترانِ الرئيسِ f(x) = x² حولَ المحور x، ثمَّ تضييق رأسيٍّ بِمِعامل مقدارُه $\frac{1}{2}$ ، ثمَّ انسحاب إلى اليسار بمقدار 3 وحدات، ثمَّ انسحاب إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات، فإن قاعدة الاقتران ياستخدام صيغة الرأس :

 $a) g(x) = -2(x-3)+4 b)-\frac{1}{2}(x-3)+4 c) g(x) = -\frac{1}{2}(x+3)-4 d) g\left(x\right) = -\frac{1}{2}(x+3)+4$
 

الحل

بما أنَّ الانعكاس حول المحور x، ومعامل التضييق الرأسيِّ $\frac{1}{2}$ ، فإنَّ : $a = -\frac{1}{2}$ 
بما أنَّ الانسحاب الأفقيَّ إلى اليسار بِمِقدار 3 ، فإنَّ : h = -3
بما أنَّ الانسحاب الرأسيَّ إلى الأعلى بِمِقدار 4 ، فإنَّ : k =  4

صيغةُ الرأس للاقتران التربيعيِّ  g(x) = a(x - h)² + k

بالتعويض في صيغة الرأس  $g\left(x\right) = -\frac{1}{2}(x -(- 3\left)\right) + 4$  

بالتبسيط  :  $g\left(x\right) = -\frac{1}{2}(x+3)+4$

---

14) حل المعادلة 16 = ²(x - 3) 

$a) 4 , -4 b) 7 , 1 c) 7 , -1 d) -7 , 1$

الحل : 

${(x- 3)}^2 = 16 x - 3 = \pm 4 x = 3 \pm 4x = 7 or x = -1$

---

15) حل المعادلة $2x^2+x - 1 = 0$

$a) -\frac{1}{2}, -1 b) \frac{1}{2} , 1 c) \frac{1}{2},-1 d) -\frac{1}{2}, 1$

الحل :

$x =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x =\frac{-1\pm \sqrt{{\left(1\right)}^2-4\left(2\right)(-1) }}{4}x = \frac{-1\pm \sqrt{9 }}{4}x = \frac{-1\pm 3}{4}x = \frac{1}{2} or x = -1$

---

16) مستطيل طوله $(2x+1) cm$ وعرضه $\left(x\right) cm$ ، إذا كانت مساحته $78 c{m}^2$ ، فإنّ طول المستطيل يساوي : 

$a) 6m b) 6.5m c) 12m d) 13m$

الحل  : 

$x(2x + 1) = 782x^2+ x -78 = 0 x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x =\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\left(2\right)(-78)}}{4}x = \frac{-1\pm \sqrt{625}}{4}x = \frac{-1\pm 25}{4}x = 6 or x = -6.5$

يهمل الحل السالب إذن x = 6  ، إذن الطول  cm 13

---

17) جذرا المعادلة التربيعية $x^2 + 6x = 11$ 

$a) 3\pm \sqrt{20} b) -3\pm \sqrt{20} c)\pm \sqrt{20} d) \pm \sqrt{3}$

الحل : 

$x^2 + 6x = 11x^2 + 6x+9 = 11+9{(x+3)}^2 = 20 x+3 = \pm \sqrt{20}x = -3\pm \sqrt{20}$

---

18) عدد الحلول الحقيقية للمعادلة  $-5x^3+4x^2+x = 0$ يساوي :

 $a) 0 b) 1 c)2 d) 3$

الحل : 

إخراج العامل المشترك 

$-5x^3+4x^2+x = 0x(-5x^2+4x + 1) = 0$

إيجاد مميز المقدار التربيعي 5x² + 4x + 1-

$b^2-4ac = 4^2- 4(-5)\left(1\right) = 36$

إذن للمعادلة 3 حلول حقيقية ، الاجابة الصحيحة (d)

---

19) جذور المعادلة $4x^3 + 12x^2 + 9x + 27 = 0$  

$a) 3 , -3 b) 9,-9 c)-3 d) -9$

الحل : 

$4x^3 + 12x^2 + 9x + 27 = 0 (4x^3+ 12x^2) + (9x + 27) = 0 4x^2(x+3) + 9(x + 3) = 0 (x+3) (4x^2+9) = 0 x + 3 = 0 x = -3$

 المقدار 4x² + 9 لا يحلل لأن مميزه عدد سالب 

---

20) حل المعادلة  $x^6 + 7x^3 = 8$ 

$a) 1 , 2 b) 1,-2 c)-2 ,1 d) -1 ,-2$

 

الحل : 

$x^6 + 7x^3 = 8x^6 + 7x^3 - 8 = 0{\left(x^3\right)}^2+ 7x^3 - 8 = 0 (x^3+8)(x^3-1) = 0x^3+8 = 0 or x^3 - 1 = 0x^3=-8 or x^3 = 1 x = \sqrt[3]{-8} or x =\sqrt[3]{ 1}$

      $x = -2 or x = 1$

---

21) أستخدم الشكل الآتي لإيجاد طول GV

$a) 19 b) 30 c) 29 d) 20$

الحل : 

$13x - 10 = 8x + 55x = 15x = 3 GV = 8x + 5 GV = 8\left(3\right) + 5GV = 29$

---

22) المسافة بين النقطتين $A(4 , -8) , B(2 , 3)$ تساوي : 

$a)\sqrt{29 } b) 5\sqrt{5} c) 2\sqrt{30} d)\sqrt{35}$

الحل : 

$AB = \sqrt{{(x_2-x_1)}^2 +{(y_2-y_1)}^2}AB = \sqrt{{(2-4)}^2 +{(3+8)}^2}AB = \sqrt{125}AB = 5\sqrt{5}$

---

23) إحداثِيّا نقطةِ منتصَفِ $\overline{ST}$ حيث S(-7 , 1) ، T(5 , -4) 

$a) (6 , 2.5) b) (1 ,1.5) c) (-1 ,-1.5) d)(-1 , 1.5)$

الحل : 

$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{-7+5}{2},\frac{1+(-4)}{2}) =(-1 , -1.5)$

---

24) بُعد النقطة (1 ، 3) عن المستقيم 2x + 5y = 3

$a) \frac{8}{\sqrt{29}} b) \frac{14}{\sqrt{29}} c) \frac{8}{\sqrt{10}} d) \frac{14}{\sqrt{10}}$

الحل : 

 0 = 2x + 5y - 3

$d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}}d = \frac{| 2(3)+5(1) -3 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(5\right)}^2}}d = \frac{8}{\sqrt{29}} \mathbf{ }$

---

25) إحداثيا النقطة C في الشكل الآتي ، هي : 

$a) (b , c) b) (2b , c) c) (b-a , c) d)(a+b , c)$

---