• مبدأ العد الأساسي: 

- حيث يستعمل مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد الطرائق الممكنة لإجراء التجربة وذلك بضرب عدد الطرائق الممكنة في كل مرحلة من المراحل بعضها في بعض . - (مفهوم) للتجربة العشوائية التي يُمكن إجراؤها في n مرحلة ، إذا كان عدد الطرائق الممكنة لإجراء المرحلة الأولى هو $K_1$ ، وعدد الطرائق الممكنة لإجراء المرحلة الثانية هو $K_2$ ، ...... ، وعد الطرائق الممكنة لإجراء المرحلة $n$ هو $K_n$ ، فإن العدد الكلي للطرائق الممكنة لإجراء التجربة هو :  $K_1\times K_2\times \dots \dots .\times K_n$

مثال (1) :

بكم طريقة يمكن تكوين عدد فردي يتألف من 4 أرقام مختلفة باستعمال الأرقام : 1,2,3,4,5 ؟ 

الحل:

باستعمال مبدأ العد الأساسي : $2\times 3\times 4\times 3=72$
اذن ، يمكن تكوين هذا العدد بـ 72 طريقة .

---

- تدريب: بكم طريقة يمكن تكوين عدد زوجي يتألف من 3 أرقام مختلفة باستعمال الأرقام : $1,2,4,6,7,9$ ؟

---

♦ التباديل:

هي الطرائق الممكنة لاختيار  مجموعة أشياء ، بما في ذلك ترتيب اختيار هذه الاشياء ( ملاحظة : ترتيب العناصر مهم في التباديل ) 

 

مثلاً : توجد 6 تباديل ممكنة لترتيب الأحرف: $A,B,C$

$ABC ACB BAC BCA CAB CBA$

---

مثال (2): 
a) كم كلمة (ليس شرطاً أن يكون لها معنى) يُمكن تكوينها من جميع أحرف كلمة (HOUSE) من دون تكرار أي حرف فيها ؟ 

$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

b) كم كلمة تتألف من 3 أحرف (ليس شرطاً أن يكون لها معنى) يمكن تكوينها من أحرف كلمة (HOUSE) من دون تكرار أي حرف فيها ؟ 
$5\times 4\times 3=60$ 

---

تدريب: كم كلمة تتألف من 3 أحرف (ليس شرطاً أن يكون لها معنى) يُمكن تكوينها من أحرف كلمة (JORDAN) من دون تكرار أي حرف فيها ؟ 
 

---

-  يمكن استعمال إحدى الصيغتين الآتيتين لإيجاد عدد التباديل :

مفهوم أساسي: التباديل عدد تباديل $n$ من العناصر المختلفة، أُخِذ منها $n$ كل مرَّة: بالكلمات: عدد تباديل $n$ من العناصر المختلفة، أُخِذ منها $n$ كل مرَّة، هو: $n{P}_n = n!$ حيث $n$ عدد صحيح موجب. مثال: عدد تباديل 5 عناصر مختلفة، أُخِذ منها 5 كل مرَّة، هو: $5P_5=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

عدد تباديل n من العناصر المختلفة، أُخِذ منها $r$ كل مرَّة: بالكلمات: عدد تباديل $n$ من العناصر المختلفة، أُخِذ منها r كل مرَّة، هو: ${}_n{P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ حيث: $n, r$ عددان صحيحان موجبان، و   $r \le n$ مثال: عدد تباديل 5 عناصرمختلفة، أُخِذ منها 3 كل مرَّة، هو: ${}_5{P}_3 = \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3\times \cancel{2!}}{ \cancel{2!} }= 60$

---

مثال (3):

اشتركت 10 خيول في منافسة لسباق للخيل . بكم طريقة يمكن للخيول إنهاء السباق في المراكز الثلاثة الأولى ؟

الحل:

$$\begin{gathered} {}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}{ \\ }_{10}{P}_3=\frac{10!}{7!}=\frac{10\times 9\times 8\times \cancel{7!}}{\cancel{7!}}=720 \end{gathered}$$

---

مثال (4):

تمكن 4 طلبة من بلوغ المرحلة قبل النهائية لمسابقة الرياضيات الذهنية . بكم طريقة لهؤلاء الطلبة الوقوف متجاورين لالتقاط صورة معاً ؟ 

الحل:

${}_4{P}_4=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

---

♦ التوافيق:

هي الطرائق الممكنة لاختيار مجموعة أشياء من دون الاهتمام بالترتيب.

مفهوم أساسي: التوافيق بالكلمات: عدد توافيق n من العناصر المختلفة، أُخِذ منها r كل مرَّة، هو: ${}_n{C}_r= \frac{{}_n{P}_r}{r!}=\frac{ n!}{r!(n - r)!}$ حيث: n و r عددان صحيحان موجبان، و $r \le n$. مثال: عدد توافيق 10 عناصر مختلفة، أُخِذ منها 7 كل مرَّة، هو:  ${}_{10}{C}_7= \frac{{}_{10}{P}_7}{7!}=\frac{ 10!}{7!(10 - 7)!}=120$

مثال (5):

بكم طريقة يمكن اختيار فريق كرة سلة يضم 5 لاعبين من بين 8 لاعبين؟

الحل:

${}_8{C}_5= \frac{{}_8{P}_5}{5!}=\frac{ 8!}{5!(8 - 5)!}=\frac{8\times 7\times 6\times \cancel{5!}}{\cancel{5!}\left(3\right)!}=56$

---

الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق: 
تعلَّمْتُ سابقًا كيفية إيجاد عدد الطرائق الممكنة لإجراء تجربة عشوائية باستعمال مبدأ العد الأساسي، والتوافيق، والتباديل. والآن سأوظف ذلك كله في حساب احتمال وقوع حادث معين ضمن التجربة العشوائية.

تذكر : يستعمل الرمز $n\left(\Omega \right)$ للتعبير عن عدد عناصر الفضاء العيني .

مثال (6):

رتبت البطاقات الآتية عشوائياً في صف واحد . ما احتمال أن يكون حرف السين وحرف الميم في الترتيب المختار متجاوريين؟ 

الحل:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 2}{7!}=\frac{5}{21}$

---

تدريب: صندوق فيه 16 كرة متماثلة ، كل منها حمل عدداً من بين الأعداد 1 الى 16 ، إذا سحبت كرتان معاً بصورة عشوائية ، فما احتمال أن تحمل الكرتان المسحوبتان عددين زوجيين؟

---

مثال (7):

يراد تشكيل فريق عمل مكون من 7 موظفين في إحدى الشركات يختارون عشوائياً من بين 9 مبرمجين و 5 محاسبين :
1) ما احتمال أن يتألف الفريق من 4 مبرمجين و 3 محاسبين ؟
2) ما احتمال أن يضم الفريق 4 مبرمجين ، و 3 محاسبين من بينهم رئيس الفريق ونائبه.

الحل:

1) $n\left(A\right)={}_{9}C_4\times {}_{5}C_3$

$P\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \frac{9!}{4! 5!}}\times {\displaystyle \frac{5!}{3! 2!}}}{{\displaystyle \frac{14!}{7! 7!}}}\approx 0.37$

2) $P\left(A\right)=\frac{{}_{9}P_2\times {}_{7}C_1\times {}_{5}C_4}{{}_{14}C_7}\approx 0.73$

---