التباديل والتوافيق

التباديل والتوافيق

مبدأ العدا الأساسي:

يستعمل مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد الطرائق الممكنة لإجراء التجربة وذلك بضرب عدد الطرائق الممكنة في كل مرحلة من مراحل التجربة بعضها في بعض.

للتجربة العشوائية التي يمكن إجراؤها في n مرحلة، إذا كان عدد الطرائق الممكنة لإجراء المرحلة الأولى هو $k_1$، وعدد الطرائق الممكنة لإجراء المرحلة الثانية هو $k_2$، ......، وعدد الطرائق الممكنة لإجراء المرحلة n هو $k_n$، فإن العدد الكلي للطرائق الممكنة لإجراء التجربة هو: $k_1\times k_2\times ...\times k_n$

مثال:

بكم طريق يمكن تكوين عدد فردي من ثلث أرقام مختلفة باستعمال الأرقام 1,2,3,4,5,6,7؟

الرقم في منزلة الآحاد له أربعة خيارات ممكنة وهي 1,3,5,7

الرقم في منزلة العشرات له ست خيارات ممكنة (لأن أرقام العدد مختلفة)

الرقم في منزلة المئات له خمسة خيارات مختلفة.

باستعمال مبدئ العد الأساسي:

عدد خيارات منزلة المئات                           عدد خيارات منزلة العشرات                  عدد خيارات منزلة الآحاد

                                                     4                           ×                               6                                  ×                              5                                              =  60

التباديل:

هي الطرائق الممكنة لاختيار مجموعة أشياء بما في ذلك الترتيب في اختيار هذه الأشياء (الترتيب ضروري).

مثال:

كم كلمة (ليس بالضرورة أن يكون لها معنى) يمكن تكونها من جميع أحرف كلمة ROMA دون أن يسمح بتكرار أي حرف.

عدد طرائق اختيار الحرف الرابع             عدد طرائق اختيار الحرف الثالث          عدد طرائق اختيار الحرف الثاني          عدد طرائق اختيار الحرف الأول

    24  =                    1                              ×                            2                             ×                           3                             ×                         4                                

مضروب العدد الصحيح الموجب (n):

وهو عبارة عن حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n ويكتب في صورة (!n). حيث:

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times ........\times 1$

ملاحظة: لا يمكن استخدام المضروب في حالة وجود n من العناصر أخذ منها r في كل مرة.

وبصورة عامة يمكننا إيجاد التباديل بإحدى الصيغتين.

عدد تباديل n من العناصر المختلفة، أخذ منها n كل مرة: بالكلمات: عدد تباديل n من العناصر المختلفة، أخذ منها n كل مرة، هو: ${}_{n}P_n=n!$ حيث n عدد صحيح موجب. مثال: عدد تباديل 6 عناصر مختلفة، أخذ منها 6 كل مرة، هو: ${}_{6}P_6=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$

عدد تباديل n من العناصر المختلفة، أخذ منها r كل مرة: بالكلمات: عدد تباديل n من العناصر المختلفة، أخذ منها r كل مرة، هو: ${}_{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ حيث: n, r عددان صحيحان موجبان، و $r\le n$ مثال: عدد تباديل 6 عناصر مختلفة، أخذ منها 3 كل مرة، هو: ${}_{6}P_3=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times \cancel{2!}}{\cancel{2!}}=360$

مثال:

1) بكم طريقة يمكن اختيار رئيس ونائب له من مجموعة مكونة من 7 أشخاص؟

$$\begin{gathered} {}_{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!} \\ {}_{7}P_2=\frac{7!}{(7-2)!}=\frac{7\times 6\times \cancel{5!}}{\cancel{5!}}=42 \end{gathered}$$

2) بكم طريقة يمكن ترتيب 4 كتب على رف يتسع 4 كتب؟

$$\begin{gathered} {}_{n}P_n=n! \\ {}_{4}P_4=4! \\ =4\times 3\times 2\times 1=24 \end{gathered}$$

إذا تكرر بعض عناصر المجموعة التي يراد الاختيار منها يمكننا إيجاد عدد التباديل باستعمال الصيغة الآتية:

عدد التباديل المختلفة لعناصر عددها n عندما يتكرر عنصر $r_1$ من المرات، وآخر $r_2$ من المرات، وهكذا، ….، هو: $\frac{n!}{r_1!\times r_2!\times ...\times r_k!}$

مثال:

أجد عدد الطرائق الممكنة لترتيب أحرف كل كلمة مما يأتي:

$1) MADABA$

$\frac{6!}{3!}=\frac{6\times 5\times 4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}}=120$

$2) RASHED$

كلمة RASHED لا تحتوي على أحرف متكرر لذلك عدد التباديل المختلفة لهذه الكلمة هو:

$$\begin{gathered} {}_{n}P_n=n! \\ {}_{6}P_6=6! \\ =6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720 \end{gathered}$$

التوافيق:

هي الطرائق الممكنة لاختيار مجموعة أشياء من دون اهتمام بالترتيب.

بالكلمات: عدد توافيق n من العناصر المختلفة، أخذ منها r كل مرة، هو: ${}_{n}C_r=\frac{{}_{n}P_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ حيث: n و r عددان صحيحان موجبان، و $r\le n$. مثال: عدد توافيق 10 عناصر مختلفة، أخذ منها 7 كل مرة، هو: ${}_{10}C_7=\frac{10!}{7!(10-7)!}=120$

مثال:

جد عدد الطرائق التي يمكن بها اختيار 4 أسئلة من بين 8 أسئلة في ورقة اختبارية؟

هنا يكون اختيار الأسئلة عشوائيا دون الاهتمام بالترتيب لذلك نستعمل التوافيق لإيجاد عدد الطرق.

$$\begin{gathered} {}_{n}C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} \\ {}_{8}C_4=\frac{8!}{4!(8-4)!} \\ =\frac{8\times 7\times 6\times 5\times \cancel{4!}}{\cancel{4!}\times 4\times 3\times 2\times 1}=70 \end{gathered}$$

الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق:

مثال:

رتبت 6 بطاقات تحمل الأرقام من 1 إلى 6 في صف واحد عشوائيا ما احتمال أن تكون البطاقة التي تحمل رقم واحد والبطاقة التي تحمل رقم 4 متجاورتان في الترتيب المختار؟

الخطوة (1): نفرض أن الحادث A هو أن البطاقتان 1 و4 متجاورتان.

الخطوة (2): نجد عدد عناصر $\Omega$

$$\begin{gathered} n \left(\Omega \right)={}_{6}P_6=6! \\ =6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720 \end{gathered}$$

الخطوة (3): نجد عدد عناصر الحادث A (أي عدد الطرائق التي تكون فيها البطاقتان متجاورتين وكأنهما عنصر واحد) ويكون ذلك بطريقتين أما طرائق ترتيب المجموعة كاملة فهو ${}_{5}P_5$، وعليه فإن:

$$\begin{gathered} n\left(A\right)=2\times {}_{5}P_5 \\ =2\times 5!=2\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 \\ =240 \end{gathered}$$

الخطوة (4): نجد الاحتمال.

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{240}{720}=0.33$

مثال:

في إحدى المدارس 25 معلما و 9  إداريين أراد مدير المدرسة تشكيل لجنة لنهوض الوطني تضم 6 أعضاء يختارون بصورة عشوائيا.

1) ما احتمال أن تتألف اللجنة من 4 معلمين وإداريين؟

ملاحظة: الترتيب هنا غير مهم.

عدد عناصر $\Omega$ :

$$\begin{gathered} n\left(\Omega \right)={}_{34}C_6 \\ =1344904 \end{gathered}$$

$n\left(A\right)={}_{25}C_4\times {}_{9}C_2=455400$

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{455400}{1344904}\approx 0.34$