رياضيات 11 فصل ثاني

أتحقق من فهمي

ص: 125

بكم طريقة يمكن تكوين عدد فردي يتألف من 4 أرقام مختلفة باستعمال الأرقام: 1,2,3,4,5 ؟

$2\times 3\times 4\times 3=72$

أتحقق من فهمي

ص: 126

a) كم كلمة (ليس شرطا أن يكون لها معنى) يمكن تكوينها من جميع أحرف كلمة (HOUSE) من دون تكرار أي حرف فيها؟

$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

b) كم كلمة تتألف من 3 أحرف (ليس شرطا أن يكون لها معنى) يمكن تكوينها من أحرف كلمة (HOUSE) من دون تكرار أي حرف فيها؟

$5\times 4\times 3=60$

أتحقق من فهمي

ص: 128

a) اشتركت 10 خيول في منافسة لسباق للخيل. بكم طريقة يمكن للخيول إنهاء السباق في المراكز الثلاثة الأولى؟

${}_{10}P_3=10\times 9\times 8 =720$

b) تمكن 4 طلبة من بلوغ المرحلة قبل النهائية لمسابقة الرياضيات الذهنية. بكم طريقة يمكن لهؤلاء الطلبة الوقوف متجاورين لالتقاط صورة معا؟

${}_{4}P_4=4! =4\times 3\times 2\times 1 =24$

أتحقق من فهمي

ص: 130

أجد عدد الطرائق الممكنة لترتيب أحرف كل كلمة مما يأتي:

$a) PALESTINE$

$\frac{9!}{2!}=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2!}{2!}=181440$

$b) PETRA$

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

أتحقق من فهمي

ص: 131

ألعاب: بكم طريقة يمكن اختيار فريق كرة سلة يضم 5 لاعبين من بين 8 لاعبين؟

${}_{8}C_5=\frac{8\times 7\times \cancel{ 6}\times \cancel{5}\times \cancel{4}}{\cancel{5}\times \cancel{4}\times \cancel{3}\times \cancel{2}\times 1}= 56$

أتحقق من فهمي

ص: 133

a) رتبت البطاقات الآتية عشوائيا في صف واحد. ما احتمال اختيار ترتيب يبدأ بحرف صحيح، وينتهي بحرف علة؟

$P\left(A\right)=\frac{5\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 2}{7!}=\frac{5}{21}$

b) صندوق فيه 16 كرة متماثلة، كل منها تحمل رقما من بين الأعداد 1 إلى 16، إذا سحبت كرتان معا بصورة عشوائية، فما احتمال أن تحمل الكرتان المسحوبتان عددين زوجيين؟

$P\left(A\right)=\frac{{}_{8}C_2}{{}_{16}C_2}=\frac{\frac{8!}{2! 6!}}{\frac{16!}{2! 14!}}=\frac{7}{30}$

أتحقق من فهمي

ص: 135

يراد تشكيل فريق مكون من 7 لاعبي تنس يختارون عشوائيا من بين 9 لاعبي تنس و 5 لاعبات تنس:

a) ما احتمال أن يتألف الفريق من 4 لاعبين و3 لاعبات؟

$P\left(A\right)=\frac{{}_{9}C_{4 }\times {}_{5}C_3}{{}_{14}C_7}=\frac{\frac{9!}{4! 5!}\times \frac{5!}{3! 2!}}{\frac{14!}{7! 7!}}\approx 0.37$

b) ما احتمال أن يكون رئيس الفريق من اللاعبات؟

$P\left(A\right)=\frac{5}{14}\approx 0.36$

أتدرب وأحل المسائل

أجد قيمة كل مما يأتي:

$1) 8!$

$8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320$

$2) 9!-2\times 7!$

$$\begin{gathered} 9\times 8\times 7!-2\times 7! \\ =7!(72-2) \\ =352800 \end{gathered}$$

$3) \frac{6!}{2!\times 3!}$

$\frac{6\times 5\times 4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}\times 2!}=60$

$4) \frac{{}_{6}p_{3+}{}_{7}p_4}{{}_{5}p_3}$

$\frac{(6\times 5\times 4)+(7\times 6\times 5\times 4)}{(5\times 4\times 3)}=\frac{960}{60}=16$

$5) {}_{8}C_3\times {}_{11}C_6$

$\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}\times \frac{11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=25872$

$6) \frac{{}_{12}C_4+{}_{10}C_6}{{}_{6}C_2}$

$\frac{\frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}\times \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\frac{6\times 5}{2\times 1}}=47$

كم عددا مؤلفا من 4 أرقام يمكن تكوينه باستعمال الأرقام: 1,2,3,4,5:

7) إذا سمح بالتكرار ؟

$5\times 5\times 5\times 5=625$

8) إذا لم يسمح بالتكرار ؟

$5\times 4\times 3\times 2=120$

أجد عدد طرائق الممكنة لترتيب أحرف كل كلمة مما يأتي:

$9) TAFILA$

$\frac{6!}{2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2!}{2!}=360$

$10) IRBID$

$\frac{5!}{2!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2!}{2!}=60$

$11) AMMAN$

$\frac{5!}{2! 2!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2!}{2!\times 2\times 1}=30$

12) كم عددا يحوي 6 أرقام مختلفة، ويقبل القسمة على 5، يمكن تكوينه باستعمال الأرقام: 0,1,2,3,4,5؟

$2\times 4\times 4!=192$

13) كم عددا زوجيا أقل من 900 يمكن تكوينه باستعمال الأرقام: 5,6,7,8,9 ؛ شرط عدم استعمال الرقم أكثر من مرة واحدة في أي عدد؟

$2\times (4\times 3\times 2)=48$

14) طعام: بكم طريقة مختلفة يمكن لشخص اختيار وجبة غداء تحوي طبقا رئيسا واحدا، وطبق حساء، وطبق سلطة، من قائمة الطعام المجاورة في أحد المطاعم؟

$3\times 3\times 4=36$

هدايا: لدى هيثم 6 أقراص مدمجة تحوي موضوعات تعليمية متنوعة، و4 أقراص أخرى تحوي مقاطع رياضية متعددة. يرغب هيثم في إهداء 4 من هذه الأقراص إلى صديقه علاء:

15) ما عدد طرائق اختيار الهدية؟

${}_{10}C_4=210$

16) ما عدد طرائق اختيار الهدية إذا ضمنها هيثم قرص واحد على الأقل من كل نوع؟

${}_{6}C_1\times {}_{4}C_3+{}_{6}C_2\times {}_{4}C_2+{}_{6}C_3\times {}_{4}C_1=194$

أجد قيمة n في كل مما يأتي:

$17) n!=720$

$$\begin{gathered} 720=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=6! \\ n=6 \end{gathered}$$

$18) {}_{n}p_2=42$

$$\begin{gathered} \frac{n!}{(n-2)!}=42 \\ n(n-1)=42 \\ {n}^2-n-42=0 \\ (n-7)(n+6) \\ n=7 ,n=-6 \\ n=7 \end{gathered}$$

$19) {}_{n}p_3=10\times {}_{n}p_2$

$$\begin{gathered} \frac{\cancel{n!}}{\cancel{(n-3)!}}=10\times \frac{\cancel{n!}}{(n-2)\cancel{(n-3)!}} \\ 10= n-2 \\ n=12 \end{gathered}$$

$20) {}_{n}C_3=26n$

$$\begin{gathered} \frac{n!}{(n-3)! 3!}=26n \\ \frac{n(n-1)(n-2)}{6}=26n \\ {n}^3-3n^2+2n-156n=0 \\ {n}^3-3n^2-154n=0 \\ n(n-14)(n+11)=0 \\ n=14, n=-11, n=0 \\ n=14 \end{gathered}$$

$21) {}_{n}C_5={}_{n}C_7$

$$\begin{gathered} \frac{n!}{(n-5)! 5!}=\frac{n!}{(n-7)! 7!} \\ (n-5)(n-6)=42 \\ {n}^2-11n-12=0 \\ n=12 \end{gathered}$$

$22) {}_{n}C_3-{}_{(n-2)}C_3=64$

$$\begin{gathered} \frac{n!}{(n-3)! 3!}-\frac{(n-2)!}{(n-5)! 3!}=64 \\ n=10 \end{gathered}$$

23) مستشفيات: دخل في أحد المستشفيات 5 مرضه  في الوقت نفسه، وقد قرر طبيب الطوارئ توزيعهم على 5 غرف فردية. بكم طريقة يمكن للطبيب توزيع هؤلاء المرضة؟

$5!=120$

24) رياضة: يدير أحد الاتحادات الرياضية مجلسا مكونا من 14 سيدة و 10 رجال. قرر الاتحاد اختيار لجنة مصغرة من المجلس تضم 4 أعضاء بصورة عشوائية، وينتخب منها رئيس للجنة، وأمين للسر، وأمينان للصندوق. ما احتمال أن تتألف اللجنة من 3 سيدات، تتولى إحداهن رئاسة اللجنة، ورجل واحد هو أمين سر اللجنة؟

$$\begin{gathered} {}_{24}P_2\times {}_{22}C_2=127512 \\ {}_{14}P_1\times {}_{10}P_1\times {}_{13}P_2=21840 \\ P\left(A\right)=\frac{21840}{127512}\approx 0.17 \end{gathered}$$

25) زراعة: يضم قسم التطوير في أحدا الشركات الزراعية 7 مهندسين زراعيين، منهم رنا وأحمد. ما احتمال اختيار رنا وأحمد لحضور ندوة عن المنتجات  المعالجة وراثيا إذا كانت عملية الاختيار عشوائية؟

$$\begin{gathered} {}_{7}C_2=21 \\ P\left(A\right)=\frac{1}{21} \end{gathered}$$

عائلة تضم 6 أولاد و 3 بنات. أرادت الأم اختيار أربعة منهم لإعداد وجبة العشاء:

26) ما احتمال اختيار اثنين من الأولاد، واثنتين من البنات للإعداد وجبة العشاء؟

$$\begin{gathered} {}_{6}C_2\times {}_{3}C_2=45, {}_{9}C_4=126, \\ P\left(A\right)=\frac{45}{126}\approx 0.36 \end{gathered}$$

27) ما احتمال اختيار ولد للإعداد الشاي، وولد لطهي الطعام، وبنتين لتجهيز المائدة؟

$$\begin{gathered} {}_{6}P_2\times {}_{3}C_2=90 \\ P\left(A\right)=\frac{90}{126}\approx 0.7 \end{gathered}$$

28) لوحات مركبات: تتألف لوحة مركبة في الأردن من رمز خاص بإدارة ترخيص المركبات، مكون من رقمين يكتبان أعلى اللوحة، ويمثلان رمزا مشتركا لمركبات عدة، ومن 5 أرقام من بين الأرقام 0 إلى 9 لكل مركبة. إذا اختيرت مركبة عشوائيا، وكان رمزها المشترك 24، فما احتمال أن يكون رقمها 45779؟

$P\left(A\right)=\frac{1}{{10}^5-1}$

29) هندسة: إذا اختيرت 3 نقاط عشوائيا من بين النقاط: A, B, C, D, E, F, G, H في الشكل المجاور، فما احتمال أن تكون هذه النقاط على استقامة واحدة؟

$$\begin{gathered} {}_{8}C_3=56 \\ P\left(A\right)=\frac{4}{56} \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا

تحد: تحوي طائرة عمودية 12 مقعدا للركاب مرتبة في 4 صفوف و 3 أعمد كما في المخطط المجاور. أقلعت الطائرة من مدرج المطار، وكان على متنها 10 مسافرين، بينهم طلال وعبير، وبقي مقعدان فارغان وقد يكون أيا من مقاعد الركاب:

30) ما احتمال أن يجلس طلال على مقعد في طرف أحد الصفوف، وتجلس عبير على مقعد في طرف أحد الصفوف أيضا؟

$$\begin{gathered} {}_{12}P_{10}=239500800 \\ 8\times 7\times {}_{10}P_8=101606400 \\ P\left(A\right)=\frac{101606400}{239500800}\approx 0.42 \end{gathered}$$

31) ما احتمال أن يجلس طلال وعبير على مقعدين متجاورين في صف واحد؟

$$\begin{gathered} {}_{12}P_{10}=239500800 \\ 4\times 2\times 2\times {}_{10}P_8=29030400 \\ P\left(A\right)=\frac{29030400}{239500800}\approx 0.12 \end{gathered}$$

32) تبرير: متى يكون ${}_{n}C_r={}_{n}P_r$؟ أبرر إجابتي.

$$\begin{gathered} \frac{n!}{(n-r)! r!}=\frac{n!}{(n-r)!} \\ r!=1 \\ r=0 or r=1 \end{gathered}$$

33) تحد: يراد اختيار أربع مندوبين من بين 8 طلاب و 6 طالبات، بينهم طالب وشقيقته. بكم طريقة يمكن اختيار طالبين وطالبتين، بينهما الأخ أو شقيقته، من دون اختيارهما معا؟

$\frac{175}{1001}\approx 0.17$

34) مسألة مفتوحة: أكتب مسألة تتضمن حادثا احتماله $\frac{1}{{}_{10}C_3}$.

اجابة محتملة: يراد اختيار لجنة ثلاثية من بين 10 موظفين في شركة منهم سعيد وأمين وصادق، ما احتمال أن تتكون اللجنة من هؤلاء الزملاء الثلاثة؟

35) تحد: قررت مجموعة مكونة من m رجلا، و n سيدة من هواة المطالعة إنشاء ناد خاص بأعضاء المجوعة، وكذلك اختيار لجنة رباعية من الأعضاء بصورة عشوائية. وقد تبين لهم أن احتمال اختيار رجلين وسيدتين هو 0.9 احتمال اختيار رجل واحد وثلاث سيدات من أعضاء المجموعة. ما أصغر قيمة ممكنة لكل من m، و n؟

$$\begin{gathered} \frac{mC2\times nC2}{(m+n) C4}=0.9\times \frac{mC1\times nC3}{(m+n) C4} \\ (m-1)=\frac{3}{5}(n-2) \\ 5(m-1)=3(n-2) \end{gathered}$$

اذن أقل قيمة ل m و n على ىالترتيب هي:4 و 7.

اجابات اسئلة كتاب التمارين

أجد قيمة كل مما يأتي:

$1) \frac{8!}{4!}$

$=1680$

$2) {}_{7}P_3$

$=210$

$3) {}_{7}C_3$

$=35$

$4) {}_{9}C_0$

$=1$

$5) {}_{5}P_5$

$=120$

$6) \frac{6!\times {}_{4}C_2}{{}_{10}C_3}$

$=36$

7) لدى أحمد 3 ازواج مختلفة من الأحذية، و 4 بناطيل مختلفة، و 4 قمصان مختلفة،و 3 ربطات عنق مختلفة. بكم طريقة مختلفة ممكن أن يظهر أحمد مرتديا زوجا من الاحذية، وبنطالا، وقميصا،مع ربطة عنق، أو من دونها؟

$=192$

8) اجتمع في قاعة 20 شخصا، ثم بادر كلا منهم الى مصافحة جميع الاشخاص الاخرين الموجودين في القاعة. كم مصاحفة شهدتها هذه القاعة؟

${}_{20}C_2=190$

9) في متحف 20 لوحة فنية، منها 8 لوحات لفنان واحد، والبقية لفنانين آخرين. اذا اختار المسؤول عن المتحف 4 لوحات عشوائيا لعرضها في أحد المعارض، فما عدد طرائق اختيار اللوحات الأربع إذا كان بينها لوحتان على الأكثر من لوحات الفنان صاحب اللوحات الثماني؟

${}_{8}C_2\times {}_{12}C_2+{}_{8}C_1\times {}_{12}C_3+{}_{12}C_4=4103$

10) سباق: شارك كل من أحمد، و سلمان، و زياد في سباق 400m مع 7 متسابقين أخرين. ما احتمال أن يفوز هؤلاء الثلاثة بالمراكز الثلاث الاولى من السباق؟

${}_{7}C_3\times {}_{12}C_5+{}_{7}C_4\times {}_{12}C_4+{}_{7}C_5\times {}_{12}C_3=49665$

11) نظر محمد في برنامج توزيع الدروس ليوم الخميس، فوجده يحوي 6 حصص، هي: الرياضيات، واللغة العربية، والفيزياء، واللغة الانجليزية، والتربية الاسلامية، والكيمياء. اذا حدد ترتيب هذه الحصص في البرنامج عشوائيا، فما احتمال أن تكون الحصتان الأوليان هما الفيزياء واللغة الانجليزية بأي ترتيب ممكن؟

$P\left(A\right)=\frac{7}{168}$

رتيب فؤاد 4 كؤوس مختلفة ودرعين مختلفين عشوائيا في صف واحد ضمن خزانة عرض. أجد احتمال كل مما يأتي:

12) أن تكون الكؤوس الاربعة متجاورة.

$P\left(A\right)=\frac{144}{720}=0.2$

13) أن تكون الدرعان في وسط الصف.

$P\left(A\right)=\frac{240}{720}\approx 0.3$