رياضيات أدبي فصل أول

التباديل

التباديل : هي عدد الطرائق المُمكِنة لاختيار مجموعة من الأشياء، ومراعاة ترتيب اختيار هذه الأشياء.

مفهوم أساسي (التباديل) 

بالكلمات : عدد تباديل n من العناصر ، أُخِذ منها r كل مرَّة، هو :

                                                      ${}_{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

حيث: r , n : عددان صحيحان موجبان ، وَ $r \le n$

فمثلاً، عدد تباديل 5 عناصر، أُخِذ منها 3 عناصر كل مرَّة، هو : 

                                   ${}_{5}P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 60$

 

• رموز رياضية :  يُمكِن استعمال أيٍّ من الرموز الآتية للتعبير عن تباديل n من العناصر التي أُخِذ منها r كل مرَّة  : ${}_{n}P_r , P (n , r)$

 

---

 

 

ورقة التقييم الثاني :

ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي : 

1)  ناتج $\frac{5!}{4! + 1!}$ = 

$a) 1 b) 4.8 c) 5 d) 5.2$

الحل : 

$\frac{5!}{4! + 1!}= \frac{120}{24 + 1}= \frac{120}{25} = 4.8$

---

2) ما عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب حروف كلمة  (Pretty) ؟

$a) 720 b) 630 c) 504 d) 360$ 

 

الحل : 

 $\frac{6!}{2! }= \frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2!}{2! }=360$

---

3) يريد 5 طلاب الجلوس على 5 مقاعد في صف واحد ، ما عدد الطرائق الممكنة لجلوس هؤلاء الطلبة ؟

$a)120 b) 60 c) 25 d)16$

الحل : 

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
 

---

4) ما قيمة${}_{20}P_2$  ؟ 

$a)190 b) 380 c) 400 d) 420$

 الحل : 

${}_{20}P_2 = \frac{20!}{(20 - 2)!}=\frac{20\times 19\times \cancel{18!}}{\cancel{18!}}=380$

---

5) إذا كان $(7 - r)! = 24$ ،  فإنّ قيمة r تساوي :

$a) 5 b) 2 c) 4 d) 3$

 

 الحل : 

$(7 - r)! = 24(7 - r)! = 4!\Rightarrow 7-r = 4 \Rightarrow r = 3$

---

6) عدد طرق تكوين عدد من ثلاث منازل مختلفة من الأرقام :  2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7  يساوي : 

$a) 120 b) 196 c) 210 d) 240$

 الحل : 

${}_{6 }P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} =\frac{6\times 5\times 4\times \cancel{3!}}{ \cancel{3!}} = 120$

---

 

7) صندوق يحتوي على 7 كرات مرقمة بالأرقام من 1 إلى 7 ، جميعها متماثلة ، بكم طريقة يُمكِن اختيار 3 كرات عشوائيًّا إذا كان السحب بدون إرجاع؟  

$a) 60 b) 120 c) 210 d) 240$

 الحل : 

${}_{7 }P_3 = \frac{7!}{(7-3)!} =\frac{7\times 6\times 5\times \cancel{4!}}{\cancel{ 4!}} = 210$

---

 

8) ما قيمة $\left({}_{9}C_3\right) - \left({}_{10}C_2\right)$    

$a) 414 b) 240 c) 120 d) 48$

الحل : 
 

$\left({}_{9}C_3\right) - \left({}_{10}C_2\right) = \frac{9!}{(9-3)! \times 3!} - \frac{10!}{(10-2)! \times 2!} = 84 - 36 = 48$

---

 

9) ما عدد الطرائق المُمكِنة التي يريد بها سامي شراء 3 أقلام من بين 8 أقلام مختلفة؟ 

$a) 84 b) 56 c) 48 d) 24$

الحل : 

$\left({}_{8}C_3\right) = \frac{8!}{(8-3)! \times 3!}=\frac{8\times 7\times \cancel{6}\times \cancel{5!}}{\cancel{5!} \times \cancel{3!}} = 56$

---

 

10) يحتوي صندوق على 6 كرات حمراء مُرقمة من (6  - 1) ، ما عدد الطرائق المُمكِنة لسحب كرتين حمراوين عشوائيًّا من الصندوق إذا سُحِبتا معًا؟

$a) 42 b) 30 c) 15 d) 12$

الحل : 

سُحِبتا معًا ، إذن ترتيب سحب الكرات ليس مهمًّا 

$\left({}_{6}C_2\right) = \frac{6!}{(6-2)! \times 2!}=\frac{6\times 5\times \cancel{4! }}{\cancel{ 4!} \times 2!} = 15$

---

11) يراد اختيار 3 طلاب من بين 5 طلاب من المرحلة الأساسية، واختيار 4 طلاب من بين 7 طلاب من المرحلة الثانوية؛ للمشاركة في

مسابقة ثقاقية. أجد عدد الطرائق المُمكِنة لاختيار هؤلاء الطلبة.

الحل : 

${}_{5}C_3\times {}_{7}C_4 = \frac{5!}{3!(5-3)!}\times \frac{7!}{4!(7-4)!} =10 \times 35 = 350$

---

12) يراد اختيار فريق طبي يتألف من 5 أعضاء من بين 4 أطباء و 8 ممرضين ، أجد عدد الطرائق المُمكِنة لاختيار أفراد هذا الفريق إذا كان رئيس الفريق ونائبه من الأطباء . 

الحل : 

${}_{4}P_2\times {}_{8}C_3 = \frac{4!}{ (4-2)!}\times \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{24}{2}\times \frac{8\times 7\times \cancel{6}\times \cancel{5!}}{\cancel{3!} \times \cancel{5!}} 12 \times 56 = 672$

---

 

 .