رياضيات فصل ثاني

مفاهيم أساسية 

التقسيمُ التناسُبِيُّ: هوَ تقسيمُ كمّيةٍ أَوْ شيءٍ بِنِسَبٍ معلومةٍ، مثلُ تقسيمِ مبلغٍ مِنَ المالِ على وَرَثةٍ، أَوْ تقسيمِ أرباحِ تجارةٍ على شُركاءَ حسبَ مساهمةِ كلِّ واحدٍ منهُمْ.

 

مثال 1: قسمَ عُمَرُ وَسامي قطعةَ أرضٍ مساحتُها 1600m² بينهما بِنسبةِ 2:3 أجَِدُ مساحةَ الجزءِ الّذي سيحصلُ عليْهِ كلٌّ منهُما، وأتحققُ مِنْ صحةِ الحلِّ.

$2+3=5$                     أَجِدُ عددَ الأجزاءِ جميعِها 

$\frac{1600}{5}=320{\mathrm{m}}^2$        أَجِدُ قيمةَ الجزءِ الواحدِ بالقسمةِ على عددِ الأجزاءِ 

ولإيجادِ مساحةِ الجزءِ الّذي سيحصلُ عليْهِ كلٌّ مِنْ عُمَرَ وَسامي؛ أَضربُ النسبةَ الخاصةَ بكلٍّ منهُما في مساحةِ الجزءِ الواحدِ:

$2\times 320=640{\mathrm{m}}^2$     مساحةُ الجزءِ الخاصِّ بِعُمرَ مِنْ قطعةِ الأرضِ 

$3\times 320=960{\mathrm{m}}^2$       مساحةُ الجزءِ الخاصِّ بسامي مِنْ قطعةِ الأرضِ 

أتحققُ مِنْ صحةِ الحلِّ:

$640{\mathrm{m}}^2+ 960{\mathrm{m}}^2=1600{\mathrm{m}}^2$    أجمعُ المساحتَينِ

$1600{\mathrm{m}}^2=1600{\mathrm{m}}^2$                   الطرفانِ متساويانِ، إذنْ، الحلُّ صحيحٌ

مثال2:اشتركَ ثلاثةُ أشخاصٍ في تجارةٍ، دفعَ الأولُ 18000JD في رأسِ المالِ، وَدفعَ الثاني 9000JD وَدفعَ الثالثُ 15000 وفي نهايةِ العامِ كانَ صافي الأرباحِ 7000JD إذا وُزِّعَتِ الأرباحُ حسبَ مساهمةِ كلٍّ منهُمْ في رأسِ مالِ التجارةِ، أَجِدُ نصيبَ كلِّ واحدٍ منهُمْ مِنَ الأرباحِ، وأتحققُ مِنْ صحةِ الحلِّ

:لإيجادِ نصيبِ كلٍّ منهُمْ مِنْ أرباحِ التجارةِ، أتّبعُ الخطواتِ الآتيةَ

الْخُطْوَةُ 1 أجدُ عددَ أجزاءِ الربحِ الَّتي يحصلُ عليها كلُّ شخصٍ

18000 : 9000 : الأولُ إلى الثاني إلى الثالثِ 15000

6 : 3 : أقسمُ على القاسم المشترك الأكبر للمبالغِ وَهُوَ 5    3000

إذنْ، نصيبُ الشخصِ الأولِ 6 أجزاءٍ مِنَ الأرباحِ، وَالشخصِ الثاني 3 أجزاءٍ، وَالشخصِ الثالثِ 5 أجزاءٍ.

الْخُطْوَةُ 2 أَجِدُ مقدارَ الجزءِ الواحدِ مِنَ الربحِ.

$6+3+5=14$          أَجِدُ عددَ الأجزاءِ جميعِها 

$\frac{7000}{14}=500$           أقسمُ الربحَ على عددِ الأجزاءِ

إذنْ، قيمةُ الجزءِ الواحدِ مِنَ الربحِ تساوي 500JD

الْخُطْوَةُ 3 أَجِدُ نصيبَ كلِّ واحدٍ مِنَ الأشخاصِ الثلاثةِ، بضربِ عددِ أجزائِهِ في قيمةِ الجزءِ الواحدِ:
$6\times 500=3000\mathrm{JD}$        نصيبُ الأولِ مِنَ الأرباحِ 3000
$3\times 500=1500\mathrm{JD}$        نصيبُ الثاني مِنَ الأرباحِ 1500
$5\times 500=2500\mathrm{JD}$        نصيبُ الثالثِ مِنَ الأرباحِ 2500
 

أتحققُ مِنْ صحةِ الحلِّ:

$3000\mathrm{JD}+1500\mathrm{JD}+2500\mathrm{JD}=7000\mathrm{JD}$    أجمعُ نصيبَ كلٍّ منهُمْ مِنَ الأرباحِ 

 7000JD =  7000JD                                           الطرفانِ متساويانِ، إذنْ، الحلُّ صحيحٌ

 

مثال 3: تُوُفِّيَ رجلٌ وَتركَ 20000JD لورثتِهِ، ولَهُ زوجةٌ وولدانِ وبنتٌ، أحسبُ نصيبَ كلٍّ مِنَ الوَرَثةِ علمًا بأنَّ للزوجةِ 1/8 التَّرِكةِ ،وَللذكرِ مثلُ حظِّ الأُنثيَينِ بعدَ أخذِ حصةِ الزوجةِ.

الْخُطْوَةُ 1 أَجِدُ نصيبَ الزوجةِ مِنَ التَّرِكَةِ: 

$20000\times \frac{1}{8}=2500$                               أضرِبُ المبلغَ في1/8وَأُبَسّطُ

JD إذنْ، نصيبُ الزوجةِ 2500

الْخُطْوَةُ 2 أَجِدُ ما تبقّى مِنَ التَّرِكَةِ بعدَ أنْ أخذَتِ الزوجةُ نصيبَها:

$20000\mathrm{JD}- 2500\mathrm{JD}=17500\mathrm{JD}$     أطرحُ نصيبَ الزوجةِ مِنَ المبلغِ

الْخُطْوَةُ 3 أُوزّعُ ما تبقّى مِنَ التَّرِكَةِ على الولدَيْنِ وَالبنتِ بحيثُ تكونُ النِّسَبُ 2:2:1

$2+2+1=5$                                          أَجِدُ عددَ الأجزاءِ جميعِها

 أَجِدُ قيمةَ الجزءِ الواحدِ بالقسمةِ على عددِ الأجزاءِ                     $17500\mathrm{JD}÷5=3500\mathrm{JD}$

2 أَجِدُ نصيبَ كلِّ ولدٍ بالضربِ في                        $3500\mathrm{JD}\times 2=7000\mathrm{JD}$

.JD ونصيبُ كلِّ ولدٍ 7000 ،JD إذنْ، نصيبُ البنتِ هُوَ الجزءُ الواحدُ 3500

أتحققُ مِنْ صحةِ الحلِّ
$3500\mathrm{JD}+7000\mathrm{JD}+7000\mathrm{JD}+2500\mathrm{JD}\underset{}{\overset{???}{=}}20000\mathrm{JD}$          أجمعُ نصيبَ كلٍّ منهُمْ مِنَ الميراثِ
$20000\mathrm{JD}=20000\mathrm{JD}$                                                                الطرفانِ متساويانِ، إذنْ، الحلُّ صحيحٌ

 

مثال 4 : حضّرَ الطلبةُ في مختبرِ الكيمياءِ محلولً مِنْ مُذيبٍ وَمُذابٍ بنسبةِ 5:1 ، إذا كانَتْ كمّيةُ المحلولِ 216mL فما كمّيةُ كلٍّ مِنَ المُذيبِ والمُذابِ؟

$5+1=6$                   أَجِدُ عددَ الأجزاءِ جميعِها

$216÷6=36$            أَجِدُ مقدارَ الجزءِ الواحدِ بالقسمةِ على 6

$36\times 5=180\mathrm{mL}$       أَجِدُ كمّيةَ المُذيبِ بالضربِ في عددِ أجزائِهِ

إذنْ، كمّيةُ المذيبِ في المحلولِ 180mL  وكمّيةُ المُذابِ 36mL

أتحققُ مِنْ صحةِ الحلِّ:
$180\mathrm{mL}+36\mathrm{mL}=216\mathrm{mL}$           أجمعُ كمّيةَ كلٍّ مِنَ المُذيبِ وَالمُذابِ

$216\mathrm{mL}=216\mathrm{mL}$                         الطرفانِ متساويانِ، إذنْ، الحلُّ صحيحٌ