الرياضيات 12 فصل ثاني

التكامل بالكسور الجزئية

تعلمت سابقاً أن الاقتران النسبي على الصورة ، $u\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ حيث أن كلاً من g , f كثيرات حدود . $g\left(x\right)\ne 0$.

وقد نواجه في ايجاد التكامل مثل تلك الحالة ومن الأمثلة على ذلك:  $\int \frac{x+3}{x^2-1}dx, \int \frac{x^2+1}{x^2-3x}dx,...$

و من الجدير بالذكر وجوب الانتباه إلى تلك الحالة التي يكون فيها البسط يساوي مشتقة المقام أو أحد مضاعفاته .

و هنا لا حاجة لاستخدام الكسور الجزئية بل الحل بالقانون:  $\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=ln \left|f\right(x\left)\right|+C$

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x}{x^2-1}dx$

$Solution:$

$\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2-1}dx=\frac{1}{2} \ln (x^2-1)+c$

$because:\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\ln \left|f\right(x\left)\right|+C$

والان كيف نستخدم الكسور الجزئية كطريقة في حل التكامل؟ 

تعلمنا سابقاً أنه يمكن تجزئة الاقتران النسبي إلى ناتج جمع اقترانين نسبيين أو أكثر.

ومثال ذلك:$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}$

حيث إن تحليل المقام  : $x^2-4=(x+2)(x-2)$

ولايجاد قيمة كل من   a , bسنقوم بتوحيد المقام ليصبح الكسر كما يلي: 

$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a(x+2)+b(x-2)}{x^2-4}$

ومنه فإن:  $3=a(x+2)+b(x-2)$

وعندما : $x+2=0\Rightarrow x=-2$  وبتعويض  $x=-2$ سنجد أن:   $3=-4b\Rightarrow b=-\frac{3}{4}$

وعندما : $x-2=0\Rightarrow x=2$ وبتعويض $x=2$ سنجد أن: $3=4a\Rightarrow a=\frac{3}{4}$

ليصبح الكسر:

$\frac{3}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{x-2}-\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{x+2}$

ويمكننا الان إجراء التكامل على النحو التالي: 

$\int \frac{3}{x^2-4}dx=\frac{3}{4}\int \frac{1}{x-2}dx-\frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}$

و المقام خطي و مشتقته موجودة في البسط

$\int \frac{3}{x^2-4}dx=\frac{3}{4}\int \frac{1}{x-2}dx-\frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}$

$\int \frac{3}{x^2-4}dx=\frac{3}{4}\ln |x-2|-\frac{3}{4}\ln \hspace{0.17em}|x+2|+c=\frac{3}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+c$

$because:lnx-lny=ln\left|\frac{x}{y}\right|$

ومن الحالات التي سنناقشها في هذا الدرس تجزئة الكسور كما يلي:

أولاً:عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة .

كما في المثال السابق.و من الامثلة عليها:

$1) \frac{1}{x^2-2x}=\frac{1}{x(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}$

$2)\frac{1}{ x^2-3x+2}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$

$3) \frac{1}{x^3-4x}=\frac{1}{ x(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}$

لاحظ أن كافة العوامل كثيرات حدود خطية مختلفة.

ثانياً: عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدهما مكرر

مثال ذلك:

$\frac{1}{x{(x+1)}^2}=\frac{1}{x(x+1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{{(x+1)}^2}$

لاحظ تكرار العامل $\left(x+1\right)$

ثالثاً: عوامل المقام كثيرات حدود أحدهما تربيعي غير قابل للتحليل( مميزه سالب) وغير مكرر.

ومثال ذلك: 

 $\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

لاحظ العامل  $\left(x^2+1\right)$  ( مميزه سالب) غير قابل للتحليل و غير مكرر.

وسنعرض الان مجموعة من الامثلة التوضيحية لكل من الحالات السابقة. 

أولاً :عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة .

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x+2}{x^2-3x}dx$

لاحظ بداية أن البسط ليس مشتقة المقام و المقام عبارة تربيعية قابلة للتحليل فيكون كتابة الكسر على النحو التالي: 

$Solution:$

$\frac{x+2}{x^2-3x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-3}=\frac{a(x-3)+bx}{x^2-3x}$

$x+2=a(x-3)+bx$

$now to solve a and b:$

$when x=0 : 2=-3a\Rightarrow a=-\frac{2}{3}$

$when x=3 : 5=3b\Rightarrow b=\frac{5}{3}$

$\therefore \int \frac{x+2}{x^2-3x}dx=\frac{-2}{3}\int \frac{1}{x}dx + \frac{5}{3}\int \frac{1}{x-3 }=\frac{-2}{3}\ln \left|x\right|+\frac{5}{3}\ln |x-3|+c$

 

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx$

لاحظ أن درجة البسط تساوي درجة المقام فلا يمكن تجزئة الكسر حتى تصبح درجة المقام أقل من درجة البسط .

ولحل هذه الإشكالية سنلجأ إلى واحدة مما يلي:

1) الإضافة و الطرح

2) القسمة الطويلة

$\frac{x^2+1}{x^2+3x-4} = \frac{x^2+3x-4}{x^2+3x-4}+ \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}$

ولتحقق من ذلك يمكن جمع البسط ليصبح  $x^2+1$

$=1+\frac{-3x+5}{x^2+3x-4}$

الان يمكن القيام بالتجزئة:

$\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx$

$Solution:$

$\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx=\int 1 dx+\int \frac{-3x+5}{x^2+3x-4}dx$

$\frac{-3x+5}{x^2+3x-4}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-1}$

$\frac{-3x+5}{x^2+3x-4}=\frac{a(x-1) + b(x+4)}{x^2+3x-4}$

$-3x+5=a(x-1)+b(x+4)$

$now to solve a and b:$

$when x=-4 :17=-5a\Rightarrow a=\frac{-17}{5}$

$when x=1 :2=5b\Rightarrow b=\frac{2}{5}$

$\int \frac{x^2+1}{x^2+3x-4}dx =\int 1dx - \frac{17}{5}\int \frac{1}{x+4}dx + \frac{2}{5}\int \frac{1}{x-1}dx$

$=x -\frac{17}{5}\ln |x+4|+\frac{2}{5}\ln |x-1|+c$

 

ثانياً: عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدهما مكرر:

مثال: 

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}dx$

$Solution:$

$\frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{(x+2)}+\frac{c}{{(x+2)}^2}$

$To solve a, b and c$

$\frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}=\frac{a{(x+2)}^2+bx(x+2)+cx}{x{(x+2)}^2}$

$x^2+1=a{(x+2)}^2+bx(x+2)+cx$

$to solve a ,band c:$

$when x=-2 : 5=-2c\Rightarrow c=\frac{-5}{2}$

$when x=0 :1=4a\Rightarrow a=\frac{1}{4}$

$let x=-1: 2=\frac{1}{4}\left(1\right)+-b+\frac{5}{2}\Rightarrow b=\frac{3}{4}$

$\int \frac{x^2+1}{x{(x+2)}^2}dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{4}\int \frac{1}{x+2}dx-\frac{5}{2}\int \frac{1}{{(x+2)}^2}dx$

$=\frac{1}{4}\ln \left|x\right|+\frac{3}{4}\ln |x+2|+\frac{5}{2(x+2)}+c$

مثال: 

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{x-1}{3x^3+6x^2+3x}dx$

$Solution:$

$\frac{x-1}{3x{(x+1)}^2}=\frac{1}{3}\frac{x-1}{x{(x+1)}^2}=\frac{1}{3}(\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{{(x+1)}^2})$

$x-1=a{(x+1)}^2+bx(x+1)+c\left(x\right)$

$to solve a ,b and c:$

$when x=-1:-2=-c\Rightarrow c=2$

$when x=0 :-1=a\Rightarrow a=-1$

$let x=1: 0=-4+2b+2 \Rightarrow b=1$

$\int \frac{x-1}{3x{(x+1)}^2}dx=\frac{-1}{3}\int \frac{1}{x}dx+\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}dx+\frac{2}{3}\int \frac{1}{{(x+1)}^2}dx$

$=\frac{-1}{3}\ln \left|x\right|+\frac{1}{3}\ln |x+1|-\frac{2}{3(x+1)}+c$

ثالثاً: عوامل المقام كثيرات حدود أحدهما تربيعي غير قابل للتحليل( مميزه سالب) و غير مكرر.

مثال: 

جد قيمة التكامل الآتي:

 $\int \frac{4x^2+1}{x^3+x}dx$

$Solution:$

$\frac{4x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}=\frac{a(x^2+1)+x(bx+c)}{x(x^2+1)}$

$4x^2+1=a(x^2+1)+x(bx+c)$

$to solve a ,b and c:$

$when x=0: 1=a\Rightarrow a=1$

$let x=-1: 5=2+b-c \Rightarrow 3=b-c ...\left(1\right)$

$let x=1: 5=2+b+c\Rightarrow 3=b+c ...\left(2\right)$

$From \left(1\right) and \left(2\right):$

$6=2b\Rightarrow b=3$

$3=3-c\Rightarrow c=0$

$\int \frac{4x^2+1}{x^3+x}dx=\int \frac{1}{x}dx+3\int \frac{x}{x^2+1}dx=\ln \left|x\right|+\frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx$

$=\ln \left|x\right|+\frac{3}{2}\ln |x^2+1|+c$

---

التكامل بالكسور الجزئية لتكاملات محدودة.

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

 ${\int }_2^3\frac{4x^2+x+1}{x^3-1} dx$

$Solution:$

$\frac{4x^2+x+1}{x^3-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1}$

$4x^2+x+1=a(x^2+x+1)+(x-1)(bx+c)$

$$\begin{gathered} to solve a ,b and c: \\ when x=1: 6=3a\Rightarrow a=2 \end{gathered}$$

$let x=-1: 4=2+2b-2c\Rightarrow 1=b-c ...\left(1\right)$

$let x=0: 1=2-c\Rightarrow c=1$

$From \left(1\right) and \left(2\right):$

$1=b-1 ...\left(1\right)\Rightarrow b=2$

${\int }_2^3\frac{4x^2+x+1}{x^3-1}dx=2{\int }_2^3\frac{1}{x-1}dx+{\int }_2^3\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx$

$=2\ln |x-1|{|}_2^3 +\ln |x^2+x+1|{|}_2^3$

$=2\left(\ln \right|2|-\ln |1\left|\right)+\ln \left|13\right|-\ln \left|7\right|$

$=\ln 4+\ln 13-\ln 7 =\ln \frac{52}{7}$

---

تكامل بالتعويض يؤدي إلى استخدام الكسور الجزئية

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{cos x}{si{n}^{2}x+sin x} dx$

لاحظ أنه لا يمكن أن نفكِّر بتجزئة الكسر كون محتوياته ليست كثيرات حدود لذلك سنفكر في حل آخر هو التعويض

$\int \frac{cos x}{si{n}^{2}x+sin x} dx$

$Solution:$

$let u=sin x\Rightarrow dx=\frac{du}{\cos x}$

$\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+\sin x}dx=\int \frac{\cancel{\cos x}}{u^2+u}\times \frac{du}{\cancel{\cos x}}=\int \frac{1}{u^2+u}du$

$\frac{1}{u^2+u}=\frac{a}{u}+\frac{b}{u+1}$

$1=a(u+1)+bu$

$to solve a,and b:$

$when u=0: 1=a\Rightarrow a=1$

$when u=-1: 1=-b\Rightarrow b=-1$

$\int \frac{1}{u^2+u}du=\int \frac{1}{u}du -\int \frac{1}{u+1}du$

$=\ln \left|u\right|-\ln |u+1|+c=\ln \left|\frac{u}{u+1}\right|+c$

$\int \frac{cos x}{si{n}^{2}x+sin x} dx=ln\left|\frac{sin x}{sin x+1}\right|+c$

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

${\int }_2^4\frac{1}{x{\left(lnx\right)}^2-x}dx$

$Solution:$

$let u=\ln x$

$dx=\frac{du}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}\Rightarrow dx=xdu$

$\int \frac{1}{x({\left(\ln x\right)}^2-1)}dx=\int \frac{1}{x(u^2-1)}xdu$

$\int \frac{1}{u^2-1}du=\int \frac{a}{u-1}du +\int \frac{b}{u+1}du$

$1=a(u+1)+b(u-1)$

$when u=1: 1=2a\Rightarrow a=\frac{1}{2}$

$when u=-1: 1=-2b\Rightarrow b=-\frac{1}{2}$

$\int \frac{1}{u^2-1}du=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u-1}du -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1}du$

$=\frac{1}{2}\ln |u-1|-\frac{1}{2}\ln |u+1|$

${\int }_2^4\frac{1}{x{\left(lnx\right)}^2-x}dx=\frac{1}{2}ln|lnx-1|{|}_2^4 -\frac{1}{2}ln|lnx+1|{|}_2^4$

$=\frac{1}{2}\ln \left|\left(\ln 4\right)-1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|\left(\ln 2\right)-1\right|-\frac{1}{2}\ln \left|\ln \left(4\right)+1\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\ln \left(2\right)+1\right|$

$=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\ln 4-1}{\ln 4+1}\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\ln 2+1}{\ln 2-1}\right|$