الدرس الأول: التكامل غير المحدود : صفحة (8-14)
مسألة اليوم صفحة 8:
يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران ، هل يمكنني تحديد قاعدة الاقتران
إذا علمت أن مشتقته هي:
الـحـل :
نعم، بإيجاد تكامل المشتقة ، حيث:
يمكن تحديد جذور الاقتران من الشكل ، وهي:
ويمكن تعويض الجذور بالاقتران لإيجاد قيمة الثابت C
إذن قاعدة الاقتران هي:
أتحقق من فهمي صفحة 9:
أجد اقترانًا أصليًا لكل من الاقترانين الآتيين:
الـحـل :
a) الاقتران الأصلي للاقتران هو: ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x
في مشتقة اقتران القوة. حيث مشتقة هي |
|
أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي |
b) الاقتران الأصلي للاقتران هو: ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x
في مشتقة اقتران القوة. حيث مشتقة هي |
|
أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي |
أتحقق من فهمي صفحة 11:
أجد كلًا من التكاملات الآتية:
الـحـل :
الاقتران | التكامل |
أتحقق من فهمي صفحة 12:
أجد كلًا من التكاملين الآتيين:
الـحـل :
a) تكامل الاقتران هو:
قاعدة تكامل الفرق | |
قاعدة تكامل الاقتران المضروب في ثابت | |
قاعدة تكامل اقتران القوة | |
بكتابة الصورة الجذرية والتبسيط | |
بالتبسيط |
b) تكامل الاقتران هو:
قاعدة تكامل الفرق وتحويل الصورة الجذرية إلى أسية |
|
قاعدة تكامل الاقتران المضروب في ثابت وتعريف الأس السالب |
|
قاعدة تكامل اقتران القوة | |
بالتبسيط و كتابة الصورة الجذرية | |
بالتبسيط |
أتحقق من فهمي صفحة 13:
أجد كلًا من التكاملات الآتية:
الـحـل :
a) تكامل الاقتران هو:
بقسمة كل حد في البسط على المقام | |
بالتبسيط | |
تكامل الفرق | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت |
b) تكامل الاقتران هو:
بضرب المقدارين الجبريين | |
بالتبسيط | |
تكامل الفرق | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت | |
بالتبسيط |
c) تكامل الاقتران هو:
بتوزيع الضرب على الجمع | |
تكامل الفرق | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
أتدرب وأحل المسائل صفحة 14:
أجد اقترانًا أصليًا لكل من الاقترانات الآتية:
الـحـل :
1) الاقتران الأصلي للاقتران هو: ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس في المشتقة. |
|
بضرب الاقتران بـــ لأن مشتقة هي والعدد 8 غير مُعطى بمشتقة الاقتران بالسؤال ؛ فيجب التخلص من العدد 8 بالضرب بمقلوبه. |
|
أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي |
2) الاقتران الأصلي للاقتران هو: ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة. | |
|
بضرب الاقتران بـــ لأن مشتقة هي ، والعدد 7 غير مُعطى بمشتقة الاقتران بالسؤال ؛ فيجب التخلص من العدد 7 بالضرب بمقلوبه، مع الإبقاء على (2-)كما هي. |
أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي |
3) الاقتران الأصلي للاقتران هو: ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة. حيث مشتقة هي |
|
أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي |
4) الاقتران الأصلي للاقتران هو: ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
مشتقة الاقتران الأصلي | |
بجعل أس x في الاقتران الأصلي
أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة. حيث مشتقة هي |
|
بضرب الاقتران بـــ | |
أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي |
أجد كلًا من التكاملات الآتية:
الســــــــــــــــــؤال | التكاملات |
أجد كلًا من التكاملات الآتية:
الســــــــــــــــــؤال | التكاملات |
مهارات التفكير العليا:
20) أكتشف الخطأ: أوجدت رنيم التكامل: ، وكان حلها على النحو الآتي:
![]() |
أكتشف الخطأ في حل رنيم، ثم أصححه.
الحل:
الخطأ : التكامل لا يمكن توزيعه على عملية الضرب ، وإنما يجب إيجاد حاصل ضرب المقدارين أولًا ثم إيجاد التكامل.
الحل الصحيح:
بضرب المقدارين الجبريين | |
تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت |
تحدٍّ: أجد كل تكامل مما يأتي:
الحل:
21) لإيجاد تكامل الاقتران ، عليك اتباع الخطوات الآتية:
قسمة كل حد في البسط على المقام | |
إيجاد مربع مجموع المقدارين
|
|
تعريف الأس السالب، تكامل المجموع | |
تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت | |
تعريف الأس السالب |
22) لإيجاد تكامل حاصل ضرب الاقترانات ، عليك ضربها أولًا ثم إيجاد التكامل كما يأتي:
بضرب المقادير الجبرية | |
حاصل ضرب المقادير الجبرية تكامل المجموع والفرق تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت
|
23)تبرير: إذا كان: ، فأجد قيمة كل من الثابت ، والثابت ، مبررًا إجابتي.
الحل:
لإيجاد الثوابت P , Q يمكنك البدء بالطرف الأيسر و إيجاد التكامل باتباع الخطوات الآتية:
تعريف الأس السالب | |
تكامل المجموع، تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت |
|
من المعطيات |
|
بما أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر ، فإن كل حد يساوي الحد المقابل له، ومعاملات المتغيرات متساوية |
ملاحظة: يمكن البدء بالطرف الأيمن واستخدام المشتقة لإيجاد الثوابت.
كتاب التمارين صفحة 9:
أجد كلًا من التكاملات الآتية:
الســــــــــــــــــؤال | التكاملات |
أجد كلًا من التكاملات الآتية:
الســــــــــــــــــؤال | التكاملات |