الرياضيات فصل ثاني

التوجيهي أدبي

icon

الدرس الأول: التكامل غير المحدود : صفحة (8-14)

 

مسألة اليوم صفحة 8:

يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران f(x) ، هل يمكنني تحديد قاعدة الاقتران              

إذا علمت أن مشتقته هي: f َx = 3 x2 - 4x

                                                                

الـحـل :

نعم، بإيجاد تكامل المشتقة  f َ x dx = f(x) ، حيث:

 

                3x2 - 4x dx = 3x2 dx - 4x dx                               = 3 x2 dx - 4x dx                              =3 13x3  - 412x2+C                              =x3 - 2x2 + C

 

يمكن تحديد جذور الاقتران f(x) من الشكل ، وهي: (0, 0) , ( 2, 0) 

ويمكن تعويض الجذور بالاقتران f(x)  لإيجاد قيمة الثابت C

                             f(x)=x3 - 2x2 + Cf(0) = 0 - 2(0) + C     0 =  C

 

إذن قاعدة الاقتران هي:  f(x)=x3 - 2x2 


أتحقق من فهمي صفحة 9:

أجد اقترانًا أصليًا لكل من الاقترانين الآتيين:

                                  a) f(x) = 5x4 b) f(x)= -9 x-10

 

الـحـل :

a) الاقتران الأصلي للاقتران f(x) = 5x4  هو: F(x) = x5 + C ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

f(x) = 5x4  مشتقة الاقتران الأصلي
F(x) = x5  بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x

 في مشتقة اقتران القوة.

حيث مشتقة x5 هي  5x4 

F(x) = x5 + C أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) الاقتران الأصلي للاقتران f(x)= -9 x-10 هو:F(x)=  x-9 + C  ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

f(x)= -9x-10 مشتقة الاقتران الأصلي
F(x)=  x-9 بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x

 في مشتقة اقتران القوة.

حيث مشتقة x-9  هي -9x-10

F(x)=  x-9 + C أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


     

أتحقق من فهمي صفحة 11:

أجد كلًا من التكاملات الآتية:

                  6 dx a)                 
b)  x8 dx
c)   x3  dx 

d) 1x5 dx

الـحـل :

 

الاقتران التكامل
a) 6 dx  6 dx =6x + C
b) x8 dx x8 dx == 19 x9 +C
c)  x3 dx   x3 dx = x13 dx              =113+1x13+1 +C            = 34 x43 + C           =34 x43 + C
d)  1x5dx   1x5dx =x-5 dx               =1-5+1 x-5+1  +C               = 1-4 x-4  +C             = - 14 x4   +C 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 12:

أجد كلًا من التكاملين الآتيين:

      a)   x3 -2 x53 dx b)  (3x2-6x5) dx 

الـحـل :

a) تكامل الاقتران  x3 -2 x53 هو:

x3 -2 x53 dx = x3 dx -  2x53 dx قاعدة تكامل الفرق
                                                                     = x3 dx - 2 x53 dx قاعدة تكامل الاقتران المضروب في ثابت
                                                                      = (14x4)  - 2(183x83) + C قاعدة تكامل اقتران القوة
                                                              = 14x4  - 2(38 x83) + C بكتابة الصورة الجذرية والتبسيط
                                                              = 14x4  - 34 x83 + C بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) تكامل الاقتران (3x2-6x5) هو:

(3x2-6x5) dx =  3x2 dx - 6x15 dx

قاعدة تكامل الفرق وتحويل

الصورة الجذرية إلى أسية

                                                                       =3  x2 dx - 6 x-15 dx

قاعدة تكامل الاقتران المضروب في ثابت

وتعريف الأس السالب

                                                                         =3 (13x3 ) - 6(145x45 ) + C قاعدة تكامل اقتران القوة
                                                                       = x3  - 6(54x45 ) + C= x3  - 3(52x45 ) + C بالتبسيط و كتابة الصورة الجذرية
                                                                     = x3  -152x45  + C بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 13:

أجد كلًا من التكاملات الآتية:

a)   x4 -8 x3x2 dx b)  (3x+2)x-1 dx c)  x(x3-7) dx    

   

الـحـل :

a) تكامل الاقتران x4 -8 x3x2 هو: 

 x4 -8 x3x2 dx = (x4 x2-8 x3x2) dx بقسمة كل حد في البسط على المقام
                                                                 = (x2-8x) dx بالتبسيط
                                                                 = x2 dx- 8x dx تكامل الفرق
                                                                  = x33-8x22+C=13x3 - 4x2 +C تكامل اقتران القوة المضروب بثابت

  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) تكامل الاقتران (3x+2)(x-1) هو: 

(3x+2)(x-1) dx =(3x2-3x+2x-2) dx بضرب المقدارين الجبريين
                                                                            =(3x2-x-2) dx بالتبسيط
                                                                               =3x2 dx-xdx-2dx  تكامل الفرق
                                                                             =3x33 -x22-2x + C تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
                                                                               =x3 -12x2-2x +C بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) تكامل الاقتران x(x3-7)  هو:

x(x3-7) dx=x4-7x dx   بتوزيع الضرب على الجمع
                                                      =x4 dx-7x dx        تكامل الفرق
                                                         =x55-7x22+C=15x5 -72x2 +C تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتدرب وأحل المسائل صفحة 14:

 

أجد اقترانًا أصليًا لكل من الاقترانات الآتية:

                                     1) f(x) = x72) f(x) =-2 x6 3) f(x) =-10 4) f(x) =8x 

 

الـحـل :

 

1) الاقتران الأصلي للاقتران f(x) = x7  هو:F(x) =18 x8 + C ، وذلك باتباع الخطوات الآتية: 

f(x) = x7 مشتقة الاقتران الأصلي
F(x) = x8

بجعل أس  x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة.
 

F(x) =18 x8

بضرب الاقتران بـــ 18 لأن 

 مشتقة x8 هي 8 x7

والعدد 8 غير مُعطى بمشتقة الاقتران بالسؤال ؛ فيجب التخلص من العدد 8 بالضرب بمقلوبه.

F(x) =18 x8 + C أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) الاقتران الأصلي للاقتران f(x) =-2 x6 هو:F(x) =-27 x7 + C ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

f(x) =-2 x6 مشتقة الاقتران الأصلي
F(x) =-2 x7 بجعل أس x في الاقتران الأصلي أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة.

F(x) =-27 x7
 

بضرب الاقتران بـــ (17) لأن مشتقة x7 هي (7 x6) ، والعدد 7 غير مُعطى بمشتقة الاقتران بالسؤال ؛ فيجب التخلص من العدد 7 بالضرب بمقلوبه، مع الإبقاء على (2-)كما هي.
F(x) =-27 x7 + C أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) الاقتران الأصلي للاقتران f(x) =-10  هو:F(x) = -10 x + C ،  وذلك باتباع الخطوات الآتية:

 

f(x) =-10  مشتقة الاقتران الأصلي
F(x) = -10 x1

بجعل أس x في الاقتران الأصلي f(x) = -10 x0

أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة.

حيث مشتقة -10 x هي -10

F(x) = -10 x + C أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) الاقتران الأصلي للاقتران f(x) =8x  هو:F(x) =4x2 + C ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:

f(x) =8x  مشتقة الاقتران الأصلي
F(x) =8x2  بجعل أس x في الاقتران الأصلي 

أكثر بـــ 1 من أس x في المشتقة.

حيث مشتقة x2 هي 2 x

F(x) =12(8x2) =4x2 بضرب الاقتران بـــ (12)
F(x) =4x2 + C أضف الثابت C للحصول على الاقتران الأصلي

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

أجد كلًا من التكاملات الآتية:

الســــــــــــــــــؤال التكاملات
5)  6x dx  6x dx =6 x22+ C               = 3 x2 + C
6)  7x-5 dx    (7x-5) dx =  7x dx-5 dx                       =72 x2  - 5x +C
7)  (3 -4x) dx   (3 -4x) dx=3 dx - 4x dx                        = 3x -4 x22 +C                       = 3x -2x2  +C
8) 10xdx    10xdx= 10 (x)-12 dx               = 10 ( 112 x12) +C              = 20 x +C
9)  2 x32 dx    2 x32 dx = 2 (152 x52)+C                    = 45 x52 +C                     =45x5 +C
10)  (2 x4 - 5 x + 10) dx       (2 x4 - 5 x + 10) dx =2 x4 dx  - 5x dx +  10 dx                                       =2 x55   - 5 x22  +  10 x + C                                        =25 x5   - 52 x2  +  10 x + C 
11)  (2 x3 - 2 x ) dx       (2 x3 - 2 x ) dx = 2x3 dx - 2x dx                                 = 2 x44 - 2 x22 + C                              = 12 x4 - x2 + C
12)   (3x3-x3) dx        (3x3-x3) dx = 3x3dx -  x3 dx                                 = 3  x-13 dx-  x32 dx                                = 3 123 x23 - 152 x52 + C                              = 92 x23 - 25 x5  + C
13)  1x2- 1x3 dx      1x2- 1x3 dx = 1x2 dx - 1x3 dx                             =  x-2 dx -  x-3 dx                             = x-1-1 - x-2-2+C                             = -1x+ 12x2 +C 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أجد كلًا من التكاملات الآتية:

الســــــــــــــــــؤال التكاملات
14)  4x3 -2 x3 dx    4x3 -2 x3 dx= 4x3x3dx -2x3 dx                         =  4 dx - 2 x-3 dx                         = 4x - 2 (x-2-2) + C                         = 4x + x-2 + C                         = 4x + 1x2 + C
15)   2x +8x dx      2x +8x dx =2xxdx + 8xdx                        =  2xx-12 dx +  8 x-12 dx                        =2  x12 dx + 8  x-12 dx                        = 2 132x32 + 8 112x12 + C                       = 43x3 +16 x + C
16)   (x-1)2 dx         (x-1)2 dx =  x2-2x +1 dx                       =  x2 dx -2x dx + 1 dx                        = x33-2x22+x +C                       = 13x3-x2+x +C        
17)  x3+8 x+2dx       x3+8 x+2dx=  x+2x2-2x+4x+2dx                   =  x2-2x+4 dx                   = x2 dx - 2x dx +  4 dx                    = x33- 2x22+ 4x + C                    =13x3 - x2+ 4x + C 
18)   x(x-1) dx        x(x-1) dx = x12(x-1) dx                        =  (x32- x12) dx                        =  x32 dx -  x12 dx                        = 152x52 - 132x32 +C                       = 25x5 - 23x3 +C
19)  (2x-3)(3x-1) dx     (2x-3)(3x-1) dx =  6x2-11x +3dx                                     = 6x2 dx-11x dx +3dx                                   = 6x33- 11x22+3x +C                                   = 2x3-112x2 +3x +C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


مهارات التفكير العليا:

20) أكتشف الخطأ: أوجدت رنيم التكامل: 2x + 1 x-1 dx ، وكان حلها على النحو الآتي: 

         

 (2x + 1) (x-1) dx = (2x + 1) dx × (x-1) dx                                      = x2+x12x2 -x+C                  

أكتشف الخطأ في حل رنيم، ثم أصححه.

 

 الحل:

الخطأ : التكامل لا يمكن توزيعه على عملية الضرب ، وإنما يجب إيجاد حاصل ضرب المقدارين أولًا ثم إيجاد التكامل.

 

الحل الصحيح:  

 (2x + 1) (x-1) dx =  (2x2 -2x +x -1) dx                                      =  (2x2 -x -1) dx بضرب المقدارين الجبريين
                                                                                         =  2x2 dx -x dx -1 dx  = 2x33-x22-x +C=23x3 -12x2 -x +C تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

تحدٍّ: أجد كل تكامل مما يأتي:

           21)   x2 +1x22 dx              22)   x-1 x-3x+5 dx  

الحل:

21) لإيجاد تكامل الاقتران (x2 +1x2)2 ، عليك اتباع الخطوات الآتية: 

 

 (x2 +1x2)2 dx = x2x2 + 1x22 dx                            = 1 + 1x22  dx قسمة كل حد في البسط على المقام
                                                         =  1 +2x2  +1x4  dx

إيجاد مربع مجموع المقدارين

a+b2 = a2 +2ab + b2

                                                          = 1 dx + 2x-2 dx + x-4 dx   تعريف الأس السالب، تكامل المجموع
                                                           = x + 2x-1-1  + x-3 -3+ C   تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت
                                                          = x -2x   -13x3 + C   تعريف الأس السالب

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22) لإيجاد تكامل حاصل ضرب الاقترانات (x-1) (x-3)(x+5) ، عليك ضربها أولًا ثم إيجاد التكامل كما يأتي:

(x-1) (x-3) =x2 -3x -x +3                       =x2 -4x  +3(x2 -4x  +3)(x+5)=x3 +5x2 -4x2 -20x +3x +15                                   =x3 +x2  -17 x +15 بضرب المقادير الجبرية
 (x-1) (x-3)(x+5) dx=x3 +x2  -17 x +15 dx                                        = x3 dx +x2 dx -17 x dx +15 dx                                         = 14x4+13x3-17 2x2 + 15x + C  

حاصل ضرب المقادير الجبرية

تكامل المجموع والفرق

تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


23)تبرير: إذا كان:P2 x2+ Q dx = 2x + 10 x +C ، فأجد قيمة كل من الثابتP ، والثابت Q، مبررًا إجابتي.

الحل:

لإيجاد الثوابت P , Q يمكنك البدء بالطرف الأيسر و إيجاد التكامل باتباع الخطوات الآتية:

 

 (P2 x2+ Q) dx =(P x-22+ Q) dx  تعريف الأس السالب
                                                                         = P2x-1-1 + Q x + C=-P2x + Q x + C                                                 

تكامل المجموع،

تكامل اقتران القوة ، تكامل الثابت

(P2 x2+ Q) dx = 2x + 10 x +C-P2x + Q x + C = 2x + 10 x +C

من المعطيات

-P2x=2x-P2=2P=-4Q x =10 x Q=10

بما أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر ، فإن كل حد يساوي الحد المقابل له، ومعاملات المتغيرات متساوية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ملاحظة: يمكن البدء بالطرف الأيمن واستخدام المشتقة لإيجاد الثوابت.

 


 

كتاب التمارين صفحة 9:

 

أجد كلًا من التكاملات الآتية:

الســــــــــــــــــؤال التكاملات
1)  (4x+2) dx    (4x+2) dx =  4x dx+2 dx                       =  4x22 + 2x +C                       =2x2 + 2x +C
2)  2x-4 dx     2x-4 dx=2 x-3-3+C                 =-23 x-3 +C                =-23x3  +C
3)  6x2 - 4x dx      (6x2 - 4x) dx= 6x33 - 4 x22 + C                               = 2x3 - 2x2 + C
4)  3- x -2x5  dx      (3- x -2x5 ) dx= 3x - x22-2x66 +C                                 = 3x - 12x2- 13x6 +C 
5)  x-2+ x52  dx       (x-2+ x52 ) dx = x-1-1 + 172x72 + C                               = - x-1 + 27x72 + C                               = -1x+27x7 + C 
6)  3x2- 2x2  dx     (3x2- 2x2 ) dx= (3x2-2x-2  ) dx                            = 3x33-2 x-1-1+C                            = x3 + 2 x-1 +C                            = x3 + 2x +C
7)  3x-2+6 x-12 +x -4 dx     (3x-2+6 x-12 +x -4) dx=3x-1-1+6x1212+x22-4x+C                                               = -3x-1 +12 x12  +12x2 -4x +C                                               = -3x+ 12 x +12x2 -4x +C
8)  10x4+8 x-3  dx    (10x4+8 x-3 ) dx = 10 x55+ 8 x-2-2 +C                                 = 2 x5 -4 x-2 +C                                 = 2 x5 -4x2+C
9)  2x3- 3x  dx     (2x3- 3x ) dx =  (2x-3 - 3 x12)dx                              = 2 x-2-2 - 3 x3232 + C                              = - x-2 -2 x32 + C                              = -1x2-2 x3 + C
10)  8x3+6x - 4x   dx       (8x3+6x - 4x  ) dx =  (8x3+6x -4 x-12   ) dx                                        =8 x44 + 6x22 - 4 x1212+ C                                        = 2 x4 + 3 x2 - 8 x + C
11)  7x2+ x43  dx     (7x2+ x43 ) dx =  (7 x-2+x43 ) dx                               = 7 x-1-1 + x7373 + C                             = -7x + 37 x73 + C
12)  x23+ 3x2  dx      (x23+ 3x2 ) dx =  (x23+3 x-2 ) dx                           = 13x33 + 3 x-1-1 + C                           = 19x3 -3x  + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أجد كلًا من التكاملات الآتية:

الســــــــــــــــــؤال التكاملات
13)   4+2xx2 dx     4+2xx2 dx = 4x2 dx+ 2xx2dx                       = 4 x-2  dx+ 2 x-32 dx                       =4 x-1-1 + 2 x-12-12+C                       = - 4x -4x  + C
 14)   4-x22+x dx     4-x22+x dx =  (2-x)(2+x)2+x dx                  =  (2-x) dx                  = 2x - x22 + C                  = 2x -12x2 + C
15)   x2 -1x2 dx     x2 -1x2 dx =x2x2dx -1x2dx                        =  1 dx -  x-2 dx                        = x - x-1-1 + C                       = x + 1x+C
16)    x x dx     x x dx =  x32 dx                   = x5252+ C                   = 25x5  + C
 17)    x2 - 1x-1 dx     x2 - 1x-1 dx = x-1x+1x-1dx                        =  x + 1 dx                         =12x2 + x + C
18)    x2 1-x3 dx      x2 1-x3 dx = x2 dx - x5 dx                           = 13x3- 16x6+C
19)     x+42 dx      (x+4)2 dx =x2 +8x + 16dx                        = x33+ 8x22+16 x + C                        = 13x3 + 4 x2 +16 x + C
20)     5-xx5 dx        5-xx5 dx =5x5dx - xx5dx                     = 5 x-5 dx - x-4 dx                      = 5 x-4-4 - x-3-3+C                     = -54 x4 + 13 x3+ C
21)     x2 + 2x +1x+1 dx       x2 + 2x +1x+1 dx =x+1x+1x+1dx                                  =  x+1dx                                  = 12x2+ x+ C
22)     x x+12 dx        x (x+1)2 dx = xx2 + 2x + 1 dx                            =  x3 + 2x2 + xdx                            = 14x4+2 3x3+12x2+C
 23)      (x+3)2x dx        (x+3)2x dx = x-12 x+32 dx                           = x-12  x2 + 6x + 9 dx                           = x32 dx + 6x12 dx +  9 x-12 dx                            = x5252+ 6 x3232+ 9 x1212+ C                            = 25x5 + 4 x3 +18 x + C
24)     x-5x+5 dx        x-5x+5 dx =x2 - 25dx                                  =  x2 dx - 25 dx                                  = 13x3-25 x+ C