التوافيق
قد لا يكون مهمًّا ترتيب العناصر المختارة عشوائيًّا في بعض المواقف. فمثلًا ، اختيار شخصين a و b لتشكيل لجنة من مجموعة فيها n من الأشخاص،لا يتطلَّب اهتمامًا بالترتيب؛ لأنَّ الترتيب ab هو نفسه الترتيب ba ضمن اللجنة.
لكي أجد عدد طرائق الاختيار المُمكِنة في هذه الحالة ؛ أَقسِم على ! 2 ، مُهمِلًا التكرار ، فيما يُعرَف بالتوافيق
مفهوم أساسي (التوافيق)
بالكلمات: عدد توافيق n من العناصر ، أُخِذ منها r كل مرَّة، هو :
حيث: n , r : عددان صحيحان موجبان ، و
مثال : عدد توافيق 7 عناصر ، أُخِذ منها 3 عناصر كل مرَّة ، هو :
حالات خاصة للتوافيق :
ورقة التقييم النهائي
1) يتكوَّن مجلس الطلبة في إحدى المدارس من 4 أعضاء، بينهم سعيد ورامي. ما احتمال اختيار سعيد رئيسًا للمجلس ، واختيار رامي نائبًا له إذا كانت عملية الاختيار عشوائية؟
الحل :
أفرض أنَّ A يعني اختيار سعيد رئيسًا، ورامي نائبًا له ، يوجد حالة واحدة ليكون سعيد رئيسًا ورامي نائبًا له ، إذن :
أجد عدد عناصر Ω ، الترتيب مهم في هذه الحالة ؛ لذا فإنَّ :
أجد الاحتمال
2) يعمل في مؤسسة 5 موظفين و 4 موظفات، ويريد مدير المؤسسة تكوين فريق يضم 4 منهم عشوائيًّا لحضور ندوة عن تسويق المُنتَجات. ما احتمال أن تكون الموظفة نبراس رئيسًا للفريق، والموظفة رهام نائبًا للرئيس، وبقية الفريق من الذكور.
الحل :
أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار الموظفة نبراس رئيسًا للفريق ، والموظفة رهام نائبًا للرئيس، وبقية الفريق من الذكور
أجد عدد عناصر Ω :
أجد الاحتمال
3) رُتبت الأرقام : 2 ، 3 ، 5 عشوائيًا ، ما احتمال الحصول على عدد فردي ، إذا لم يُسمح بالتكرار:
الحل :
هناك 4 حالات لظهور عدد فردي : (325 ، 253 ، 325 ، 235) ، إذن
عدد غناصر Ω :
4) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 5 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 1 إلى 5، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 5
الحل :
أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 5 :
المجاميع المُمكِنة للعدد 5 باستعمال البطاقات :
إذن عناصر الحادث : {(2 ,3) , (3,2) , (4 , 1) , (1 ,4)} = A
5) في تجربة سحب كرتين عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي كرتين حمراء (R) ، و كرتين زرقاء (B)، و كرتين خضراء (G) ، جميعها مُتماثِلة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الزرقاء في السحبة ، فأنّ الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 1 هو :
الحل :
أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، (والسحب مع الإرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي إحدى أحداثياتها B ، إذن عناصر الحادث A هي :
6) في تجربة إلقاء 3 قطع نقد معدنية عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة، فإنّ مجموعة قيم X.
الحل :
أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك، فإنَّ :
عدد عناصر فضاء العيِّنة للتجربة :
العنصر (3صورة) ، والعنصر ( 3 كتابة)
ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0 و 3 إذن مجموعة قيم x هي :
7) في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X مُعرَّفًا على النحو الآتي: ، ما قيمة K ؟
8) في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي:
3 | 2 | 1 | 0 | x |
0.1 | 0.4 | 0.2 | 0.3 | P(x) |
فإنّ قيمة
الحل :
9) في تجربة سحب كرتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من كيس فيه 4 كرات حمراء، و 4 كرات زرقاء، جميعها مُتماثِلة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الزرقاء في السحبة، فأُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x.
الحل :
قِيَم المتغير العشوائي
أجد احتمالات قِيَم المتغير العشوائي.
0 كرة خضراء ، و كرتان حمراء
1 كرة خضراء ، و 1 كرة حمراء
2 كرة خضراء ، و 0 كرة حمراء
جدول التوزيع الاحتمالي
2 | 1 | 0 | x |
P(x) |
10) معتمدًا التمثيل الاحتمالي في الرسم الآتي :
ما قيمة ؟
الحل :
11) إذا كان جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x كما في الجدول الآتي :
4 | 3 | 2 | 1 | 0 | x |
0.18 | 0.1 | 0.31 | 0.19 | 0.22 | P(x) |
فما قيمة التوقع E(x) ؟
الحل :
12) يُبيِّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x
3 | 2 | 1 | x |
0.25 | 0.35 | 0.4 | P(x) |
فما قيمة التباين ؟
الحل :
13) إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي :
3 | 2 | 1 | 0 | x |
0.1 | b | a | 0.2 | P(x) |
وكان التوقُّع E(x) = 1.5 ، فأجد قيمة كلٍّ من : ( P(x = 2 و ( P(x = 1.
الحل :
التوقع = 1.5
مجموع الاحتمالات = 1
بطرح المعادلة 2 من المعادلة 1 ينتح : b = 0.5
بتعويض قيمة b في المعادلة الثانية
إذن : 0.5 = ( P(x = 2 و 0.2 = ( P(x = 1.
14) يُبيِّن الجدول الآتي نتائج مسحٍ شمل 200 من طلبة إحدى الجامعات لمعرفة عدد المواد التي سجَّلها الطلبة في فصل دراسي مُعيَّن، بافتراض أنَّ المتغير العشوائي X يُمثِّل عدد المواد المُسجَّلة، أجد التوقُّع E(x).
5 | 4 | 3 | 2 | عدد الطلاب(x) |
28 | 46 | 74 | 52 | عدد الطلبة (f) |
الحل :
أقسم كل تكرار على مجموع التكرارات، وأُنشِئ جدولًا للتوزيع الاحتمالي:
5 | 4 | 3 | 2 | (x) |
0.14 | 0.23 | 0.37 | 0.26 | (x)P |
هدول سؤالين كنت محتفظة فيهم ♥
15) كم عددًا مُكونًا من ثلاثة منازل يُمكِن تكوينه من الأرقام : 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ؟
210 35 42 140
16) وقفت سارة ومريم وهدى ونسرين في صف واحد أمام الكاميرا لالتقاط صورة ، ما احتمال أن تكون كل من هدى ونسرين على أحد الطرفين :
الحل
أفرض أن الحادث A يعني وقوف هدى ونسرين على أحد الطرفين وهناك 4 ترتيبات لذلك : (هدى سارة مريم نسرين )(هدى مريم سارة نسرين)، (نسرين سارة مريم هدى )(نسربن مريم سارة هدى) ، إذن :
عدد عناصر Ω : ترتيب 4 عناصر في صف واحد:
أجد الاحتمال :
17) المتباينة التي يكون الزوج المُرتَّب ( 2- , 2) حَلًّا لها هي :
الحل
18) الزوج المرتب الذي يُمثل حلّا لنظام المتباينات الآتي هو :
الحل
19) نظام المتباينات الذي له التمثيل البياني الآتي ، هو:
الحل
معادلة المستقيم المائل المنقط y = 1 - x ، إذن y + x = 1 ، وباختبار نقطة مثل (3 ، 0) ،
إذن المتباينة هي : y + x > 1 ويوضع رمز المتباينة بدون مساواة لأن المستقيم متقطع
معادلة المستقيم المائل المتصل هي y = x ، وباختبار نقطة في منطقة الحلل مثل (2 ، 1) ، ، إذن المتباينة هي:
20) أجد إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل الاقتران: P = 20x +30y أكبر ما يُمكِن ضمن القيود الآتية :
الحل
P = 20x + 30y | رؤوس منطقة الحلول المُمكنة |
P = 20(0) + 30(0) = 0 | A (0 , 0) |
P = 20(1) + 30(0) = 20 | B (1 , 0) |
P = 20(3) + 30(1) = 90 | C (3 , 1) |
P = 20(2) + 30(2) = 100 | D (2 , 2) |
إذن إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل الاقتران: P = 20x + 30y أكبر ما يُمكِن هي (2 ، 2)
21) يريد 3 طلاب الجلوس على 5 مقاعد في صف واحد ، ما عدد الطرائق الممكنة لجلوس هؤلاء الطلبة ؟
الحل
22) إذا كان فما قيمة x ؟
الحل
23) ما قيمة
الحل
24) بكم طريقة يُمكن اختيار 5 طلاب عشوائيًا من بين 7 طلاب تقدموا للمشاركة في مسابقة ثقافية ؟
الحل
25) صندوق يحتوي على 6 كرات مرقمة بالأرقام من 0 إلى5 ، جميعها متماثلة ، بكم طريقة يُمكِن اختيار 3 كرات عشوائيًّا إذا كان السحب بدون إرجاع؟
الحل