رياضيات أدبي فصل أول

الأول ثانوي أدبي

icon

التوافيق

قد لا يكون مهمًّا ترتيب العناصر المختارة عشوائيًّا في بعض المواقف. فمثلًا ، اختيار شخصين a و b لتشكيل لجنة من مجموعة فيها n من الأشخاص،لا يتطلَّب اهتمامًا بالترتيب؛ لأنَّ الترتيب ab هو نفسه الترتيب ba ضمن اللجنة.          

لكي أجد عدد طرائق الاختيار المُمكِنة في هذه الحالة ؛ أَقسِم   P2n على ! 2 ، مُهمِلًا التكرار ، فيما يُعرَف بالتوافيق  

مفهوم أساسي (التوافيق)

بالكلمات: عدد توافيق n من العناصر ، أُخِذ منها r كل مرَّة، هو :

Crn =  n!r! (n-r)!   

 حيث: n , r : عددان صحيحان موجبان ، و r  n

مثال : عدد توافيق 7 عناصر ، أُخِذ منها 3 عناصر كل مرَّة ، هو : 

 C37 =  7!3! (7-3)! = 35   


حالات خاصة للتوافيق  : 

  • C0n = 1     
  • C1n = n
  • Cnn = 1     

 

ورقة التقييم النهائي 

1) يتكوَّن مجلس الطلبة في إحدى المدارس من 4 أعضاء، بينهم سعيد ورامي. ما احتمال اختيار سعيد رئيسًا للمجلس ، واختيار رامي نائبًا له إذا كانت عملية الاختيار عشوائية؟

a)  16                    b)   112                     c) 12                     d) 35

 

الحل :

أفرض أنَّ A يعني اختيار سعيد رئيسًا، ورامي نائبًا له ، يوجد حالة واحدة ليكون سعيد رئيسًا ورامي نائبًا له  ، إذن : n(A) = 1

أجد عدد عناصر Ω ،  الترتيب مهم في هذه الحالة ؛ لذا فإنَّ :n(Ω) = P24 = 12

أجد الاحتمال  P(A) = n(A)n(Ω) = 112  

 


 2) يعمل في مؤسسة  5 موظفين و 4 موظفات، ويريد مدير المؤسسة تكوين فريق يضم 4 منهم عشوائيًّا لحضور ندوة عن تسويق المُنتَجات. ما احتمال أن تكون الموظفة نبراس رئيسًا للفريق، والموظفة رهام نائبًا للرئيس، وبقية الفريق من الذكور. 

الحل :

 أفرض أنَّ الحادث A يعني اختيار الموظفة نبراس رئيسًا للفريق ، والموظفة رهام نائبًا للرئيس، وبقية الفريق من الذكور 

n(A) = P24 × C25= 12 ×10 = 120

أجد عدد عناصر Ω : n(Ω) = C49 = 126

أجد الاحتمال P(A) = n(A)n(Ω) = 120126 =2021 


  3) رُتبت الأرقام :  2 ، 3 ، 5 عشوائيًا ، ما احتمال الحصول على عدد  فردي ، إذا لم يُسمح بالتكرار: 

a)  12                    b) 13                     c) 23                     d) 14

الحل :

هناك 4 حالات لظهور عدد فردي : (325 ، 253 ، 325 ، 235)  ، إذن  n(A) = 4 

عدد غناصر Ω : n(Ω) = 3! = 6 

P(A) = 46  = 23


 

4) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 5 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 1 إلى 5، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 5

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 5 :

المجاميع المُمكِنة للعدد 5 باستعمال البطاقات :1 + 4 =5  ,  4 + 1 =5  ,  2+ 3 = 5   , 3 + 2 = 5 

إذن عناصر الحادث :  {(2 ,3) , (3,2) , (4 , 1) , (1 ,4)}  = A 

 


5) في تجربة سحب كرتين عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي كرتين حمراء (R) ، و كرتين زرقاء  (B)، و كرتين خضراء (G) ، جميعها مُتماثِلة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الزرقاء في السحبة ، فأنّ الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 1 هو :

a) {(R,B),(R,G)}                          b) {(B,R),(B,G),(R,B),(G,B)}                     c) {(R,G),(B,G),(B,R)}               d) {(R,B),(R,G),(B,R),(G,R)}    

 

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، (والسحب مع الإرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي إحدى أحداثياتها B  ، إذن عناصر الحادث A هي : A= {(B,R),(B,G),(R,B),(G,B)}   


 

6) في تجربة إلقاء 3 قطع نقد معدنية عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة، فإنّ مجموعة قيم  X. 

a) {0 , 1 . 2}                    b) {1 , 2 , 3}                     c) {0 , 1 , 2 , 3}                     d) {1 , 2 , 3 , 4}   

 

الحل :  

أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك،  فإنَّ : 

عدد عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : 23 = 8

العنصر (3صورة) ، والعنصر ( 3 كتابة) 

Ω ={(H,H,H), ... ,(T,T,T)}                                  X =        0      , ... ,    3

ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0  و 3  إذن مجموعة قيم x هي :{0 , 1 , 2 , 3} 


7) في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X مُعرَّفًا على النحو الآتي: {(0 , k) , (1 , 0.5k) , (2 , 2k) , (3 , k)} ، ما قيمة K ؟

a) 19                     b) 29                    c) 13                       d) 23  

 k + 0.5k + 2k + k = 14.5k = 1 k =  29


8) في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي:

3 2 1 0 x
0.1 0.4 0.2 0.3 P(x)

 

 

فإنّ قيمة P( 0<x  2) 

a) 0.4                    b) 0.5                    c) 0.6                      d) 0.7  

الحل : 

P( 0<x  2) = P(x=1) + P(x=2)                       = 0.2 + 0.4                        =0.6


9) في تجربة سحب كرتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من كيس فيه 4 كرات حمراء، و 4 كرات زرقاء، جميعها مُتماثِلة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الزرقاء في السحبة، فأُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x.

الحل :

قِيَم المتغير العشوائي  X = { 0 , 1 , 2 }

أجد احتمالات قِيَم المتغير العشوائي.

0 كرة خضراء ، و كرتان حمراء    P (x = 0) =  C04 × C24 C28 = 314

1 كرة خضراء ، و  1 كرة حمراء   P (x = 1) =  C14 × C14 C28 = 814

2 كرة خضراء ، و 0 كرة حمراء   P (x =2) =  C24 × C04    C28 = 314

جدول التوزيع الاحتمالي 

2 1 0 x
314 814 314 P(x)

 

 

 

 


10) معتمدًا التمثيل الاحتمالي في الرسم الآتي : 

ما قيمة P(x2) ؟

a) 23                   b) 13                     c)  12                    d) 49  

الحل :

P(x2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)            = 19+29+39             = 69 = 23


 

11) إذا كان جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x كما في الجدول الآتي : 

4 3 2 1 0 x
0.18 0.1 0.31 0.19 0.22 P(x)

 

 

فما قيمة التوقع E(x) ؟

a) 2.52                   b) 1.5                     c)  1.83                    d) 2.3  

 

الحل :

E(x) = x . P(x)         = 0× 0.22 + 1 × 0.19 + 2× 0.31 + 3 × 0.1  + 4 × 0.18         =  0.19 + 0.62 + 0.3 + 0.72         = 1.83


 

12) يُبيِّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي x

3 2 1 x
0.25 0.35 0.4 P(x)

 

 

فما قيمة التباين  σ2 ؟

a) 2.4                   b) 2.2                     c)  1.94                    d) 1.49

الحل :

E(x) = x . P(x)         = 1× 0.4 + 2 × 0.35 +3× 0.25            =  0.4+ 0.7 + 0.5           = 1.6

σ2 = (x2. P(x)) - (E(x))2     =(12× 0.4 + 22×0.35 + 32× 0.25) - (1.6)2           = 4.05 - 2.56     =  1.49


13) إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي : 

3 2 1 0 x
0.1 b a 0.2 P(x)

 

 

 

وكان التوقُّع E(x) = 1.5 ، فأجد قيمة كلٍّ من : ( P(x = 2 و ( P(x = 1.

الحل : 

التوقع = 1.5

E(x) = x . P(x) 1.5   = 0× 0.2 + 1× a +2× b + 3×0.1    1.5   =  a+2b +0.3             a+2b = 1.2   .... (1)             

مجموع الاحتمالات = 1 

0.2 + a + b +0.1 = 1 a + b + 0.3 = 1 a + b  = 0.7   ... (2) 

 

بطرح المعادلة 2 من المعادلة 1 ينتح : b = 0.5 

بتعويض قيمة b في المعادلة الثانية 

a + b  = 0.7a + 0.5 = 0.7    a = 0.2

إذن :   0.5 = ( P(x = 2  و    0.2  = ( P(x = 1.


 14) يُبيِّن الجدول الآتي نتائج مسحٍ شمل 200 من طلبة إحدى الجامعات لمعرفة عدد المواد التي سجَّلها الطلبة في فصل دراسي مُعيَّن، بافتراض أنَّ المتغير العشوائي X يُمثِّل عدد المواد المُسجَّلة، أجد التوقُّع E(x)

5 4 3 2    عدد الطلاب(x) 
28 46 74 52 عدد الطلبة (f)

 

 

 

الحل : 

أقسم كل تكرار على مجموع التكرارات،  وأُنشِئ جدولًا للتوزيع الاحتمالي:

5 4 3 2     (x) 
0.14 0.23 0.37 0.26   (x)P

 

 

 

E(x) = x . P(x)         = 2 ×  0.26 + 3 ×  0.37 + 4×0.23 + 5×0.14           =  3.25 


هدول سؤالين كنت محتفظة فيهم ♥

 15) كم عددًا مُكونًا من ثلاثة منازل يُمكِن تكوينه من الأرقام : 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ؟  

210                         35                      42                      140 

 

 P37 = 7! (7-3)! ×  7×6×5×4! 4! =210  


16) وقفت سارة ومريم وهدى ونسرين في صف واحد أمام الكاميرا لالتقاط صورة ، ما احتمال أن تكون كل من هدى ونسرين على أحد الطرفين : 

الحل

أفرض أن الحادث A  يعني وقوف هدى ونسرين على أحد الطرفين وهناك 4 ترتيبات لذلك : (هدى سارة مريم نسرين )(هدى مريم سارة نسرين)، (نسرين سارة مريم هدى )(نسربن مريم سارة هدى) ، إذن : n(A) = 4 

عدد عناصر Ω : ترتيب 4 عناصر في صف واحد: n ( Ω ) =4! = 24

أجد الاحتمال : P(A) = n(A)n(Ω) = 424 = 16


17)  المتباينة التي يكون الزوج المُرتَّب ( 2- , 2) حَلًّا لها هي : 

a)  x - 2y>2            b) y - x<-4            c) x-y >4              d) 2y -x -6   

الحل

 2(-2) -2 = -6 -6   


18)  الزوج المرتب الذي يُمثل حلّا لنظام المتباينات الآتي هو :  x-y  3   ,   y - x > 3

a) (-3 , 0)               b) (0 , 2)               c) (3 , 0)             d) (-2 , 2)

الحل

x-y  3 -2-2 = -4  3 y - x > 32-(-2) = 4 > 3 


19) نظام المتباينات الذي له التمثيل البياني الآتي ، هو: 

a) x+y>1  ,   y  x                         b) x-y >1  ,  x  y                                               c) x-y< 2  ,  x  1                         d) y-x<1  ,   x  1   

 

الحل

معادلة المستقيم المائل المنقط y = 1 - x   ، إذن  y + x = 1  ، وباختبار نقطة مثل (3 ، 0)  ،  3 + 0  = 3  > 1 

 إذن المتباينة هي  :  y + x  > 1  ويوضع رمز المتباينة بدون مساواة لأن المستقيم متقطع 

معادلة المستقيم المائل المتصل هي  y  = x ، وباختبار نقطة في منطقة الحلل مثل  (2 ، 1)  ، 21    ، إذن المتباينة هي: y  x


20أجد إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل الاقتران: P = 20x +30y أكبر ما يُمكِن ضمن القيود الآتية :

x-y0 x- 2y  1 x + y  4x0 ,  y0

الحل

 P = 20x + 30y رؤوس منطقة الحلول المُمكنة
 P = 20(0) + 30(0) = 0    A (0 , 0)  
 P = 20(1) + 30(0) = 20    B (1 , 0)
 P = 20(3) + 30(1) = 90    C (3 , 1)
 P = 20(2) + 30(2) = 100    D (2 , 2)  

إذن  إحداثيي النقطة ( x, y ) التي تجعل الاقتران:  P = 20x + 30y  أكبر ما يُمكِن هي (2 ، 2) 


21) يريد 3 طلاب الجلوس على 5 مقاعد في صف واحد ، ما عدد الطرائق الممكنة لجلوس هؤلاء الطلبة ؟

a) 24                    b) 48                   c) 60               d)120

الحل

 P35 =  5!(5-3)! = 5×4×3×2!2!= 60


22) إذا كان (5+x)! =120 فما قيمة x ؟

a) 1                 b) 2                   c) 3                 d) 4  

 

الحل

(5 + x)! =120(5 + x)! =  6! 5+x = 6    x = 1


23) ما قيمة C38÷C910

a) 560                 b) 56                  c) 0.56                 d) 5.6  

الحل

C38÷C910 = 8!5!×3!÷10!1!×9!=56 ÷10 = 5.6

 


24) بكم طريقة يُمكن اختيار  5 طلاب عشوائيًا من بين 7 طلاب تقدموا للمشاركة في مسابقة ثقافية ؟

a) 21                b) 42                  c) 60                 d) 84  

الحل 

 C57 = 7!5!×2! = 21


25) صندوق يحتوي على 6 كرات مرقمة بالأرقام من 0 إلى5 ، جميعها متماثلة ، بكم طريقة يُمكِن اختيار 3 كرات عشوائيًّا إذا كان السحب بدون إرجاع؟   

a) 240                b) 210                  c) 120                d) 60  

الحل 

 

 P36  = 6!(6-3)! =6×5×4×3! 3! = 120