رياضيات فصل ثاني

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 136

صحَّةٌ : في ما يأتي كتلُ 27 مشتركًا في نادٍ رياضيٍّ، مُقرَّبةً إلى أقربِ كيلوغرامٍ: 

a) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

b) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

الحل : 

a) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

كتل المشتركين في النادي الرياضي (m)
التكرار الإشارات الكتلة (kg)
3 lll 40  m < 50
6 llll l 50  m < 60
9 llll llll 60  m < 70
7 llll ll 70  m < 80
2 ll 80  m < 90

b) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

معظم كتل المشتركين تتراوح بين 50 كيلو غراو و 80 كيلو عرام  ، وعدد قليل  منهم أقل من ذلك أو أكثر.

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 138

مكتباتٌ : في ما يأتي عددُ الكتبِ المُعارةِ منْ إحدى المكتباتِ العامةِ في 18 يومًا:

a) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

b) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

الحل : 

a) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

عدد الكتب المعارة
التكرار الإشارات عدد الكتب
1 l 20 - 29
6 llll l 30 - 39
5 llll  40 - 49
4 llll 50 - 59
2 ll 60 - 69

 

b) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

معظم الأيام أعير فيها كتبًا يتراوح عددها بين 30 كتاب و 59 كتاب ، وعدد قليل من الأيام أعير فيها أقل من ذلك أو أكثر . 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 141

حلوياتٌ : يُبيِّنُ الجدولُ المجاورُ توزيعًا لكتلِ كعكاتٍ في أحدِ المخابزِ،

مُقرَّبةً إلى أقربِ غرامٍ :

a) أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ للكتلِ.

b) أُقدِّرُ منوالَ الكتلِ.

c) أُقدِّرُ وسيطَ الكتلِ.

الحل : 

a) أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ للكتلِ.

f×x x f الكتل (g)
1400 350 4 300  m < 400
3150 450 7 400  m < 500
3300 550 6 500  m < 600
1950 650 3 600  m < 700
9800   20 المجموع

 

صيغةُ الوسطِ الحسابيِّ μ =(x×f)f
بالتعويضِ      =980020
باستعمالِ الآلةِ الحاسبةِ      = 490

 


b) أُقدِّرُ منوالَ الكتلِ.

لتقديرِ المنوالِ، أبحثُ عنْ مركزِ الفئةِ الأكثرِ تكرارًا. وبالرجوعِ إلى البياناتِ في الجدولِ أعلاهُ، أُلاحِظُ أنَّ الفئةَ : 400  m < 500  

تُقابِلُ أعلى تكرارٍ ، وهوَ 7 . وبذلكَ، فإنَّ المنوالَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا. إذنْ، منوالُ كتل الكعكات هوَ 450 تقريبًا.


c) أُقدِّرُ وسيطَ الكتلِ.

التكرار التراكمي الكتل (g)
4 300  m < 400
4+7=11 400  m < 500
4+7+6=17 500  m < 600
4+7+6+3=20 600  m < 700

 

رتبةُ الوسيطِ هيَ : n+12 = 20+12 = 10.5

بما أنَّ رتبةَ الوسيطِ هيَ 10.5 ، فإنَّ وسيطَ كتل الكعكات يقعُ في الفترةِ : 400  m < 500 ؛ لأنَّ التكرارَ التراكميَّ لهذهِ الفترةِ

هوَ أوَّلُ تكرارٍ تراكميٍّ أكبرَ منْ أوْ يساوي 10.5 وبذلكَ، فإنَّ الوسيطَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا.

إذنْ، وسيطُ كتل الكعكات هوَ 450  تقريبًا.

 


 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أوراقٌ : في ما يأتي أطوالُ مجموعةٍ منْ أوراقِ الشجرِ بالسنتيمترِ : 

1) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

2) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

الحل : 

1) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

أطوال أوراق الشجر  (d)
التكرار الإشارات الطول (cm)
1 l 3  d < 6
9 llll llll 6  d < 9
8 llll lll 9  d < 12
4 llll 12  d < 15
2 ll 15  d < 18

 

2) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

معظم أطوال الأوراق أكبر من أو يساوي 6 وأقل من  15 ، وعدد قليل منهطوله أكثر من ذلك أو أقل.

 


 

مقالاتٌ : في ما يأتي عددُ الكلماتِ في مقالاتٍ كتبَها الطلبةُ المُتقدِّمونَ لمسابقةِ المقالةِ القصيرةِ : 

3) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

4) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

الحل : 

3) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

عدد كلمات مقالات الطلبة 
التكرار الإشارات عدد الكلمات
2 ll 480-489
5 llll 490-499
5 llll 500-509
3 lll 510-519
2 ll 520-529
1 l 530-539

 

4) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

ثلثي المقالات تقريبًا تتضمن كلمات من 490 كلمة إلى 510 كلمة ، وأنّ عددًا قليلًا من المقالات تتضمن كلمات عددها أقل من ذلك أو أكثر.


 

عياداتٌ طبيةٌ : في ما يأتي أعمارُ المُراجِعينَ لعيادةٍ في أحدِ المستشفياتِ خلالَ أحدِ الأيامِ :

5) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

6) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

الحل : 

5) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

أعمار المراجعين لعيادة طبية (m)
التكرار الإشارات العمر(سنة)
2 ll 34 m < 42
9 llll llll 42 m < 50
12 llll llll ll 50 m < 58
7 llll ll 58 m < 66

 

6) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

معظم المراجعين أعمارهم أكثر من 42 عام ، والبقية أقل من 42 عام . 

 


 

7 ) أُعيدُ تنظيمَ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ، بحيثُ أختارُ فئاتٍ ذاتَ أطوالٍ تختلفُ عنْ أطوالِ الفئاتِ

في الفرعِ 5، ثمَّ أُحدِّدُ الجدولَ الذي تُعرَضُ فيهِ البياناتُ بصورةٍ أفضلَ.

الحل : 

أعمار المراجعين لعيادة طبية (m)
التكرار الإشارات العمر(سنة)
1 l 36 m < 41
5 llll 41 m < 46
7 llll ll 46 m < 51
9 llll llll 51 m < 56
5 llll  56 m < 61
3 lll 61 m < 66

 

عرض البيانات في هذا الجدول أفضل ، لأنّ أغلب البيانات توزعت على 4 فئات بدلًا من 3 فئات في فرع 5 ، فيكون وصف البيانات في هذا الجدول أكثر دقة .


 

 

أزهارٌ : يُبيِّنُ الجدولُ المجاورُ توزيعًا لأطوالِ مجموعةٍ منْ أزهارِ النرجسِ، مُقرَّبةً إلى أقربِ سنتيمترٍ :

8) أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ لأطوالِ الأزهارِ.

9) أُقدِّرُ منوالَ أطوالِ الأزهارِ.

10) أُقدِّرُ وسيطَ أطوالِ الأزهارِ.

الحل : 

8) أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ لأطوالِ الأزهارِ.

f×x x f الطول (cm)
252 12 21 10  t < 14
912 16 57 14  t < 18
1300 20 65 18  t < 22
1248 24 52 22  t < 26
336 28 12 26  t < 30
4048   207 المجموع

 

μ =(x×f)f   = 4048207    19.6 


9) أُقدِّرُ منوالَ أطوالِ الأزهارِ.

أبحثُ عنْ مركزِ الفئةِ الأكثرِ تكرارًا. وبالرجوعِ إلى البياناتِ في الجدولِ أعلاهُ، أُلاحِظُ أنَّ الفئةَ : 18  t < 22 تُقابِلُ أعلى تكرارٍ ، وهوَ 65 . وبذلكَ، فإنَّ المنوالَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا. إذنْ، منوالُ كتل الكعكات هوَ 20


 

10) أُقدِّرُ وسيطَ أطوالِ الأزهارِ.

التكرار التراكمي  الطول (cm)
21 10  t < 14
21+57 = 78 14  t < 18
21+57+65 = 143 18  t < 22
21+57+65+52 = 195 22  t < 26
21+57+65+52+12 = 207 26  t < 30

 

رتبة الوسيط : n+12 = 207+12 = 104

بما أنَّ رتبةَ الوسيطِ هيَ 104 ، فإنَّ وسيطَ أطوال الأزهار يقعُ في الفترةِ : 18  t < 22 ؛ لأنَّ التكرارَ التراكميَّ لهذهِ الفترةِ

هوَ أوَّلُ تكرارٍ تراكميٍّ أكبرَ منْ أوْ يساوي104 وبذلكَ، فإنَّ الوسيطَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا.

إذنْ، وسيطُ أطوال الأزهار هوَ 20


 

 

كتبٌ: يُبيِّنُ الجدولُ المجاورُ توزيعًا لأعدادِ الكتبِ التي اشتراها 25 شخصًا منْ مكتبةِ زيادٍ في أحدِ الأيامِ :

11) أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ للبياناتِ.

12) أُقدِّرُ منوالَ البياناتِ.

13) أُقدِّرُ وسيطَ البياناتِ.

الحل : 

11) أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ للبياناتِ.

f×x x f عدد الكتب
20 2 10 1-3
40 5 8 4-6
32 8 4 7-9
11 11 1 10-12
26 13 2 13-15
129   25 المجموع

 

μ =(x×f)f   = 12925    5.2 


 

12) أُقدِّرُ منوالَ البياناتِ.

أبحثُ عنْ مركزِ الفئةِ الأكثرِ تكرارًا. وبالرجوعِ إلى البياناتِ في الجدولِ أعلاهُ، أُلاحِظُ أنَّ الفئةَ :  3 - 1 تُقابِلُ أعلى تكرارٍ ، وهوَ 10. وبذلكَ، فإنَّ المنوالَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا. إذنْ، منوالُ عدد الكتب هوَ 2

 


 

13) أُقدِّرُ وسيطَ البياناتِ.

التكرار التراكمي  عدد الكتب
10 1-3
10+8 = 18 4-6
10+8+4 = 22 7-9
10+8+4+1 = 23 10-12
10+8+4+1+2 = 25 13-15

 

رتبة الوسيط : n+12 = 25+12 =13

بما أنَّ رتبةَ الوسيطِ هيَ 13 ، فإنَّ وسيطَ عدد الكتب قعُ في الفترةِ : 6 - 4 ؛ لأنَّ التكرارَ التراكميَّ لهذهِ الفترةِ

هوَ أوَّلُ تكرارٍ تراكميٍّ أكبرَ منْ أوْ يساوي13 وبذلكَ، فإنَّ الوسيطَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا.

إذنْ، وسيطُ أطوال الأزهار هوَ 5

 


 

 

14) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : في ما يأتي الزمنُ(مُقرَّبًا إلى أقربِ دقيقةٍ) الذي استغرقَتْهُ
مجموعةٌ منَ الأطفالِ لإنهاءِ لعبةِ قطعِ التركيبِ:

1) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

2) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

الحل : 

1) أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ.

 الزمن المستغرق لإنهاء لعبة تركيب (t)
التكرار الإشارات الزمن(دقيقة)
5 llll 48  t < 76
9 llll llll 76  t < 104
3 lll 104  t < 132
0   132  t < 160
3 lll 160  t < 188

 

2) أستعملُ الجدولَ التكراريَّ لوصفِ توزيعِ البياناتِ.

معظم الوقت المستغرق في إنهاء اللعبة يقل عن 132 دقيقة ، وقليل منها يزيد عن ذلك . 

 


 

مهاراتُ التفكيرِ العليا

تبريرٌ : اختبرَ قسمُ الجودةِ في مصنعٍ لإنتاجِ المصابيحِ الكهربائيةِ 100 مصباحٍ

لتعرُّفِ إذا كانَ مُتوسِّطُ العمرِ الافتراضيِّ للمصابيحِ أكثرَ منْ 200 ساعةٍ، ثمَّ

نظَّمَ النتائجَ التي توصَّلَ إليْها في الجدولِ المجاورِ : 

15) أُقدِّرُ منوالَ أعمارِ المصابيحِ.

16) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لأعمارِ المصابيحِ.

17) أجدُ النسبةَ المئويةَ للمصابيحِ التي عمرُها الافتراضيُّ أكثرُ منْ أوْ يساوي

200 ساعةٍ، مُبرِّرًا إجابتي.

18) هلْ يُمكِنُ استنتاجُ أنَّ مُتوسِّطَ العمرِ الافتراضيِّ للمصابيحِ هوَ أكثرُ منْ

200 ساعةٍ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

 

الحل : 

15) أُقدِّرُ منوالَ أعمارِ المصابيحِ.

أبحثُ عنْ مركزِ الفئةِ الأكثرِ تكرارًا. وبالرجوعِ إلى البياناتِ في الجدولِ أعلاهُ، أُلاحِظُ أنَّ الفئةَ : 175h<200  تُقابِلُ أعلى تكرارٍ ،

وهوَ 45. وبذلكَ، فإنَّ المنوالَ هوَ مركزُ هذهِ الفئةِ تقريبًا(175+2002=187.5) . إذنْ، منوالُ عدد الكتب هوَ 187.5

 


16) أجدُ الوسطَ الحسابيَّ لأعمارِ المصابيحِ.

f×x x f العمر (h)
3900 162.5 24 150  h < 175
8437.5 187.5 45 175  h< 200
3825 212.5 18 200  h < 225
2375 237.5 10 225  h < 250
787.5 262.5 3 250  h < 275
19325   100 المجموع

 

μ =(x×f)f   = 19325100    193.25 

 


 

17) أجدُ النسبةَ المئويةَ للمصابيحِ التي عمرُها الافتراضيُّ أكثرُ منْ أوْ يساوي 200 ساعةٍ، مُبرِّرًا إجابتي.

المصابيح التي عمرها الافتراضي أكثر من أو يساوي 200 يساوي (18+10+3 = 31

النسبة المئوية للمصابيح : عدد المصابيح التي عمرها الافتراضي أكثر من 200 مقسومًا على العدد الكلي للمصابيح 31100= 31%

 


18) هلْ يُمكِنُ استنتاجُ أنَّ مُتوسِّطَ العمرِ الافتراضيِّ للمصابيحِ هوَ أكثرُ منْ 200 ساعةٍ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

لا ؛ لأنّ النسبة المئوية للمصابيح التي متوسط عمرها الافتراضي أكثر من 200 ساعة يساوي 31% وهو أقل من 50%

 


 

19) أكتشفُ الخطأَ: في ما يأتي عددُ الدقائقِ (مُقرَّبةً إلى أقربِ دقيقةٍ)التي استغرقَها بعضُ المُتسابِقينَ لإنهاءِ سباقٍ للجريِ:

  نظَّمَ كلٌّ منْ رامي وفيصلٍ البياناتِ كما هوَ مُبيَّنٌ تاليًا. أيُّهُما نظَّمَ البياناتِ بصورةٍ صحيحةٍ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

الإجابة : 

فيصل نظم البيانات بصورة صحيحة ؛ لأنّ القيم متصلة ، أما جدول رامي فيصلح لتمثيل بيانات قيم منفصلة .

 

20) تبريرٌ : يتدرَّبُ لاعبٌ يوميًّا على سباقٍ طويلِ المسافةِ (الماراثونُ) طولُهُ

21 km . يُبيِّنُ الجدولُ المجاورُ توزيعًا للمسافةِ (إلى أقربِ كيلومترٍ) التي يقطعُها

اللاعبُ كلَّ يومٍ خلالَ شهرٍ كاملٍ. إذا وجدَ اللاعبُ أنَّهُ منَ الأفضلِ أنْ يقطعَ مسافةً

كلَّ يومٍ تُعادِلُ في مُتوسِّطِها ثلثَ مسافةِ السباقِ، فهلْ يعني ذلكَ أنَّهُ تدرَّبَ بصورةٍ

كافيةٍ في هذا الشهرِ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

 

الحل : 

ثلث مسافة السباق : 21÷3 = 7 km 

أجد الوسط الحسابي :

f×x x f المسافة (km)
7.5 2.5 3 0 d < 5
60 7.5 8 5 d < 10
162.5 12.5 13 10 d < 15
87.5 17.5 5 15 d < 20
45 22.5 2 20 d < 25
362.5   31 المجموع

 

μ =(x×f)f   = 362.531    11.7 

تدرب بشكل كافي ؛ لأنّ الوسط الحسابي للتدريب اليومي يساوي  11.7 km ، وهذه المسافة تزيد عن ثلث مسافة السباق (7 km) التي يجب أن يتدربها يوميًا . 


 

أسئلة كتاب التمارين

 

في كلٍّ ممّا يأتي، أُنظِّمُ البياناتِ في جدولٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ متساويةِ الطولِ:

الحل : 

1) 

كتل أكياس اللحم (m)
التكرار الإشارات الكتلة (g)
1 l 25  m < 26
3 lll 26  m < 27
5 llll 27  m < 28
4 llll 28  m < 29
2 ll 29  m < 30

 


2) 

أعداد الطلبة
التكرار الإشارات العدد
3 lll 60 - 64
3 lll 65 - 69
5 llll 70 - 74
5 llll 75 - 79
2 ll 80 - 84

 


 

3)

طلبات التوصيل الأسبوعية
التكرار الإشارات العدد
3 lll 265 - 350
7 llll ll 351 - 436
5 llll 437 - 522
5 llll 523 - 608
4 llll 609 - 694

 


4)

درجة الحرارة (t)
التكرار الإشارات الدرجة (C°)
5 llll 11  t < 17
7 llll ll 17  t < 23
5 llll 23  t < 29
10 llll llll 29  t < 35
1 l 35  t < 41

 


 

أُقدِّرُ الوسطَ الحسابيَّ والمنوالَ والوسيط لكلٍّ منَ البياناتِ الآتيةِ:

الحل : 

5) الوسط الحسابي 29.5   ، المنوال 35  ، الوسيط 35

6) الوسط الحسابي 158.3   ، المنوال 50  ، الوسيط 150

7) الوسط الحسابي 9.4   ، المنوال 7.5  ، الوسيط 7.5

8) الوسط الحسابي 8.4   ، المنوال 8  ، الوسيط 8

9) الوسط الحسابي 34.9   ، المنوال 25.5  ، الوسيط 35.5