رياضيات 8 فصل ثاني

الثامن

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

أتحقق من فهمي (1):

يبين الجدول المجاور عدد النقاط التي سجلها فريق كرة سلة في أحد المواسم:

1) أجد المدى

أولاً: نرتب القيم تصاعدياً

56 57 58 59 60 61 62 64 67 71

المدى $R = 71 - 56 = 15$

2) أجد المدى الربيعي:

$Q_{1} = 58, Q_{2} = \frac{60 + 61}{2} = 60.5, Q_{3} = 64$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 64 - 58 = 6$

3) استعمل المدى والمدى الربيعي لوصف البيانات

مدى هذه البيانات 15 ، سجّل الفريق 58 نقطة أو أقل في ربع مبارياته، وسجّل 64 نقطة أو أكثر في ربع
مبارياته. يتراوح عدد النقاط التي سجلها الفريق في النصف الأوسط من مبارياته بين 58 نقطة وَ 64 نقطة ولا
يتجاوز الفرق بين عدد نقاطها 6 نقاط.

أتحقق من فهمي (2):

أجد القيم المتطرفة (إن وجدت) للبيانات الممثلة بمخطط الساق والورقة المجاور

أولاً: نجد الربيعيات:

$Q_{1} = \frac{(65 + 68)}{2} = 66.5, Q_{3} = \frac{(84 + 88)}{2} = 86$

ثانياً: نجد المدى الربيعي:

$Q_{1} - 1.5 (I Q R) = 66.5 - 1.5 (19.5) = 37.25$

$Q_{3} + 1.5 (I Q R) = 86 + 1.5 (19.5) = 115.25$

نلاحظ أنه لا يوجد قيم متطرفة القيم المتطرفة تقل عن 37.25 أو تزيد عن 115.25

أتحقق من فهمي (3):

استعمل الصُّندوقَ ذا العارضتَينِ لتمثيلِ البياناتِ الآتيةِ الّتي تمثّلُ أعمارَ المعلّمينَ في إحدى المدارسِ:

30, 52, 26, 35, 45, 22, 49, 32, 28, 50, 42, 35

أولاً: نرتب البيانات تصاعدياً وأجد الوسيط والربيعيات والقيمتين العظمى والصغرى:

22, 26, 28, 30, 32, 35, 35, 42, 45, 49, 50, 52

الوسيط: $Q_{2} = 35$ ، الربيع الأدنى: $Q_{1} = \frac{28 + 30}{2} = 29$ ، الربيع الأعلى: $Q_{3} = \frac{45 + 49}{2} = 47$

القيمة العظمى = 52 ، القيمة الصغرى = 22

ثانياً: أرسم خط أعداد وأقسمه تقسيماً مناسباً ثم أحدد كلاً من الوسيط والربيعين الأعلى والأدنى والقيمتين العظمى والصغرى

ثالثاً: أرسمُ صُندوقًا باستعمالِ الرُّبَيعِيّاتِ، ثُمَّ أرسمُ خطًّا رأسيًّا داخلَ الصُّندوقِ يمرُّ بالوسيطِ، ثُمَّ أرسمُالعارضتَينِ مِنَ الصُّندوقِ إلى القيمتَينِ: العُظمى، والصُّغرى

أتحقق من فهمي (4):
يبيُّن تمثيلُ الصُّندوقِ ذي العارضتَينِ المجاورُ أسعارَ الساعاتِ في أحدِ المحالِّ.

1)أصفُ توزيعَ البياناتِ.

بِما أنَّ كلَّ عارضةٍ تمثّلُ رُبعَ البياناتِ، ويمثّلُ الصُّندوقُ نصفَ البياناتِ، إذنْ:

تتراوح أسعار ربع الساعات بين 16 وَ 31.

تتراوح أسعار النصف الأوسط من الساعات بين 31 وَ 71.

تتراوح أسعار ربع الساعات بين 71 وَ 120

2) أجدُ المَدى الرُّبَيعِيَّ للبياناتِ.

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 71 - 31 = 40$
المدى الربيعي للبيانات 30 وهذا يعني أنه لا تتجاوز الفروق بين أسعار النصف الأوسط من الساعات 30

3) هَلِ البياناتُ أكثرُ تشتّتًا أسفلَ الرُّبَيعِ الأدنى أَمْ فوقَ الرُّبَيعِ الأعلى؟ أبرّرُ إجابتي.

بِما أنَّ العارضةَ العليا أطولُ مِنَ العارضةِ السفلى ، فهذا يعني أنَّ البياناتِ فوق الرُّبَيعِ الأعل أكثرُ تشتّتًا مِنَ البياناتِ أسفل الرُّبَيعِ الأدنى

أتحقق من فهمي (5):

يبيّنُ تمثيلُ الصُّندوقِ ذي العارضتَينِ المزدوجِ أدناهُ أسعارَ الهواتفِ النقّالةِ في المحلَّينِ (أ) وَ (ب):

أيُّ المحلَّينِ أسعارُ الهواتفِ فيهِ أكثرُ تشتّتًا؟ أبرّرُ إجابتي.

ألاحظ أن المدى والمدى الربيعي في المحل (أ) أكبر من المدى والمدى الربيعي في المحل (ب)

ومنه فإن أسعار الهواتف النقالة في المحل (أ) أكثر تشتتا

أيُّ المحلَّينِ أسعارُ الهواتفِ فيهِ أعلى؟ أبرّرُ إجابتي.

أسعار الهواتف في المحل (أ) أعلى لأن أسعار ثلاثة أرباع الأجهزة فيه 400 فأكثر، بينما أسعار نصف الأجهزة في المحل (ب) 400 فأكثر

أتدرب وأحل المسائل

أجدُ المَدى والرُّبَيعِيّاتِ والمَدى الرُّبَيعِيَّ لكلِّ مجموعةِ بياناتٍ ممّا يأتي:

1) 85, 77, 58, 69, 62, 73, 55, 82, 67, 77, 59, 92, 75

نرتب القيم تصاعدياً: 92, 85, 82, 77, 77, 75, 73, 69, 67, 62, 59, 58, 55

$R = 92 - 55 = 37, Q_{2} = 73, Q_{1} = \frac{59 + 62}{2} = 60.5$

$Q_{3} = \frac{77 + 82}{2} = 79.5, I Q R = 79.5 - 60.5 = 19$

...............................................................................................................................................................................................................................

2) 28, 42, 37, 31, 34, 29, 44, 28, 38, 40, 39, 42, 30

الترتيب التصاعدي: 44 ,42 ,42 , 40 ,39 ,38 ,37 ,34 ,31 ,30 ,29 ,28 ,28

$R = 44 - 28 = 16, Q_{2} = 37, Q_{1} = \frac{29 + 30}{2} = 29.5$

$Q_{3} = \frac{40 + 42}{2} = 41, I Q R = 41 - 29.5 = 11.5$

أجد القيم المتطرفة (إن وجدت) لكل مجموعة بيانات مما يأتي:

5) 52, 40, 49, 48, 62, 54, 44, 58, 39

الترتيب التصاعدي: 62 , 58 ,54 ,52 ,49 ,48 ,44 ,40 ,39

$Q_{2} = 49, Q_{1} = \frac{40 + 44}{2} = 42, Q_{3} = \frac{54 + 58}{2} = 56$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 56 - 42 = 14$

$Q_{1} - 1.5 (I Q R) = 42 - 1.5 (14) = 21$

$Q_{3} + 1.5 (I Q R) = 56 + 1.5 (14) = 77$

نلاحظ أنه لا يوجد قيم أكبر من 77 أو أقل من 21 وعليه لا يوجد قيم متطرفة

..................................................................................................................................................................................................

6) 133, 117, 152, 127, 168, 146, 174

الترتيب التصاعدي: 174 ,168 ,152 ,146 ,133 ,127 ,117

$Q_{2} = 146, Q_{1} = 127, Q_{3} = 168$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 168 - 127 = 41$

$Q_{1} - 1.5 (I Q R) = 127 - 1.5 (41) = 65.5$

$Q_{3} + 1.5 (I Q R) = 168 + 1.5 (41) = 229.5$

نلاحظ أنه لا يوجد قيم أكبر من 229.5 أو أقل من 65.5 وعليه لا يوجد قيم متطرفة

7) 4.8, 5.5, 4.2, 8.9, 3.4, 7.5, 1.6, 3.8

الترتيب التصاعدي: 8.9 ,7.5 ,5.5 ,4.8 ,4.2 ,3.8 ,3.4 ,1.6

$Q_{2} = \frac{4.2 + 4.8}{2} = 4.5, Q_{1} = \frac{3.4 + 3.8}{2} = 3.6, Q_{3} = \frac{5.5 + 7.5}{2} = 6.5$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 6.5 - 3.6 = 2.9$

$Q_{1} - 1.5 (I Q R) = 3.6 - 1.5 (2.9) = - 0.75$

$Q_{3} + 1.5 (I Q R) = 6.5 + 1.5 (2.9) = 10.85$

نلاحظ أنه لا يوجد قيم أكبر من 10.85 أو أقل من $- 0.75$ وعليه لا يوجد قيم متطرفة

8)يبين الجدول المجاور مدة تحليق عدد من الطائرات الورقية بالدقائق. أجد المدى والمدى الربيعي للبيانات ثم أمثلها بالصندوق ذي العارضتين.

الترتيب التصاعدي: $10.25, 13.5, 16.25, 16.75, 18.5, 19, 21, 21.5, 26.5, 28.5, 29, 32$

$Q_{2} = \frac{19 + 21}{2} = 20, Q_{1} = \frac{16.25 + 16.75}{2} = 16.5, Q_{3} = \frac{26.5 + 28.5}{2} = 27.5$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 27.5 - 16.5 = 11, R = 32 - 10.25 = 21.75$

9) يبين التمثيل بالنقاط المجاور عدد الساعات التي يقضيها بعض الطلبة في الدراسة للامتحان. أمثل البيانات بالصندوق ذي العارضتين

$Q_{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2, Q_{1} = 2, Q_{3} = 4$

يبين الجدول أدناه سرعة مجموعة من الحيوانات بالكيلومتر لكل ساعة

10) أمثل البيانات بالصندوق ذي العارضتين

$Q_{2} = \frac{48 + 40}{2} = 44, Q_{1} = 13, Q_{3} = 58$

11) أجد المدى الربيعي للبيانات

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 58 - 13 = 45$

12) أجد القيمة المتطرفة (إن وجدت)

$Q_{1} - 1.5 (I Q R) = 13 - 1.5 (45) = - 54.5$

$Q_{3} + 1.5 (I Q R) = 58 + 1.5 (45) = 125.5$

لا يوجد قيم متطرفة. لأنه لا يوجد قيم أكبر من $125.5$ ولا قيم أصغر $- 54.5$

13) أصف توزيع البيانات

سرعة ربع الحيوانات $58 k m / h$ أو أكثر، سرعة ربع الحيوانات $13 k m / h$ أو أقل.

تتراوح سرعة النصف الأوسط من الحيوانات بين $13 k m / h$ وَ $58 k m / h$ ولا يتجاوز الفرق بين سرعاتها $45 k m / h$

14) أصف كيف يدل شكل الصندوق ذي العارضتين على القيمة المتطرفة

تصل العارضة العليا في حدها الأعلى إلى $100 k m / h$ وهي لم تصل إلى قيم متطرفة. تصل العارضة السفلى في حدها الأسفل إلى $2 k m / h$ وهي لم تصل إلى قيم متطرفة.

يبين تمثيل الصندوق ذي العارضتين أدناه مدة عرض مجموعةٍ من الأفلام بالدقائق

15) ما نسبة الأفلام التي تزيد نسبة عرضها عن 120 دقيقة

نصف الأفلام أي $50 %$

16) هل البيانات أكثر تشتتا أسفل الربيع الأدنى أم فوق الربيع الأعلى؟ أبرّرُ إجابتي

العارضة العليا أطول من العارضة السفلى مما يدل على أن البيانات أكثر تشتتاً فوق الربيع الأعلى

17) أجد المدى الربيعي للبيانات

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 130 - 110 = 20$

يبين تمثيل الصندوق ذي العارضتين المزدوج أدناه مدة انتظار المرضى عند طبيبي الأسنان: أحمد وسهام:

18) أجد المدى الربيعي لمدة انتظار المرضى عند الطبيبة سهام

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 21 - 12 = 9$

19) أجد المدى الربيعي لمدة انتظار المرضى عند الطبيب أحمد

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 28 - 15 = 13$

20) يرغب أنور بمراجعة أحد الطبيبين، أيهما أنصحه بزيارته؟ أبرر إجابتي

الطبيبة سهام، لأن وسيط مدة الانتظار عندها أقل من الطبيب أحمد.

21) ورد في التمثيل بالصندوق ذي العارضتين الآتي خطا، أكتشفه، وأصححه. علماً أن التمثيل للقيم:

8 ,5 ,8 ,6 ,9 ,6 ,4 ,7 ,3 ,3 ,6 ,2

الخطأ : $Q_{1} = 3.5$ وفي الرسم $3$

$Q_{3} = 7.5$ وفي الرسم 7

الوسيط 6 وفي الرسم 5

أعلى قيمة 9 وفي الرسم 8

22)مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مجموعةً مِنَ البياناتِ قيمةُ المَدى الرُّبَيعِيِّ لَها 15 وتحتوي قيمتَينِ متطرّفتَينِ.

حل مقترح :

,7,29,30,31,32,43,44,45,46,68

حيث : Q1=30

, Q3=45

IQR = Q3-Q1=15

القيم المتطرفة

Q1-1.5(IQR) = 30-1.5(15) =7.5

Q3+1.5(IQR) =45+1.5(15) =67.5

القيم المتطرفة هي القيم التي تقل عن أو تساوي 7.5

وتزيد عن أو تساوي 67.5

وفي المثال هنا القيم المتطرفة هي : 7 , 68

23)مسألة مفتوحة : أكتب مجموعة مِنَ البيانات عندما أمثّلها بالصُّندوق ذي العارضتَين يكون طول كلٍّ من الصُّندوق والعارضتَين متساويًا، مبررًا كيفية اختيار القِيم

حل مقترح :
2,8,9,12,14,20

تم اختيار القيم بحيث يكون الفرق بين الربيع الأول والقيمة الصغرى يساوي الفرق بين الربيع الأعلى والقيمة العظمى ويساوي المدى الربيعي .
وهنا في المثال هذه القيمة تساوي 6

24) أكتب: كيفَ أمثّل بيانات باستعمال الصندوقِ ذي العارضتين؟

حل مقترح :

بترتيب البيانات تصاعديًّا، وإيجاد الوسيط ، والربيعيات ، والقيمتين :: العُظمى، والصُّغرى ،ثم برسم خطَّ أعدادٍ، نقاطًا تمثّلُ كلًّ مِنَ: القيمتَينِ العُظمى والصُّغرى، والوسيطِ، والرُّبيع
الأدنى، والرُّبيع الأعلى ، ثم رسم صندوق وعارضتين أعلى خط الأعداد وتمثيل البيانات أعلاه عليه.

كتاب التمارين:

معتمدًا تمثيلَ الصُّندوقِ ذي العارضتَينِ المزدوجِ المجاورَ، أجيبُ عَنِ الأسئلةِ الآتيةِ:

1) ما القيمةُ الصُّغرى في مجموعةِ البياناتِ A. $25$

2) ما القيمةُ الكُبرى في مجموعةِ البياناتِ B. $70$

3) أيُّ مجموعتَيِ البياناتِ لَها أكبرُ مَدًى رُبَيعِيٍّ (IQR) ؟ المجموعة A

4) أيُّ المجموعتَينِ لَها أكبرُ مَدى؟ المجموعة B

يبيّنُ الجدولُ المجاورُ عددَ الدقائقِ الّتي يقضيها مجموعةٌ مِنَ الأشخاصِ في أداءِ التمارينِ الرياضيةِ يومَيِ السبتِ والأحدِ:

5) أجدُ المَدى والمَدى الرُّبَيعيَّ (IQR) للبياناتِ في كل يوم.

السبت: $40, 45, 45, 55, 60, 90$
$R = 90 - 40 = 50$ ، $Q_{2} = \frac{45 + 55}{2} = 50$ ، $Q_{1} = 45, Q_{3} = 60$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 60 - 45 = 15$

الأحد: $30, 35, 45, 55, 60, 75$

$Q_{1} = 35, Q_{3} = 60, Q_{2} = \frac{45 + 55}{2} = 50, R = 75 - 30 = 45$

$I Q R = Q_{3} - Q_{1} = 60 - 35 = 25$

6) أمثّلُ بياناتِ اليومَينِ بالصُّندوقِ ذي العارضتَينِ المزدوجِ.

7) أيُّ اليومَينِ بياناتُهُ أكثرُ تشتّتًا؟ أبرّرُ إجابتي.

بيانات يوم الأحد أكثر تشتتا لأن المدى الربيعي لها 25، والمدى الربيعي لبيانات يوم السبت 15، حين أن المدى متقارب بين بيانات اليومين فهو 50 يوم السبت و 45 يوم الأحد.

يبيّن تمثيلُ الصُّندوقِ ذي العارضتَينِ الآتي أعدادَ طلبةِ المرحلةِ الأساسيةِ في مدارسِ المدينةِ (أ)، أمّا مدارسُ المدينةِ (ب) فإنَّ أقلَّ عددٍ مِنَ الطلبةِ فيها 280 طالبًا،
وأكبرَ عددٍ مِنَ الطلبةِ 1820 طالباً، ووسيطَ أعدادِ الطلبةِ 1400 طالبٍ، والرُّبَيعَ الأدنى 1100 طالبٍ، والرُّبَيع الأعلى 1600 طالب:

8) أمثّلُ بياناتِ المدينةِ (ب) على التمثيلِ السابقِ نفسِهِ.

9) أصفُ الفروقَ بَيْنَ مجموعتَيِ البياناتِ.

ألاحظ أن المدى والمدى الربيعي في أعداد طلبة المرحلة الأساسية في مدارس المدينة (ب) أكبر من المدى

والمدى الربيعي في مدارس المدينة (أ) ومنه فإن أعداد طلبة المرحلة الأساسية في مدارس المدينة (ب) أكثر

تشتتا. ألاحظ أن الربيع الأدنى والربيع الأعلى والوسيط في مدارس المدينة (ب) أكبر منه في مدارس المدينة (أ)

وهذا يدل على كثافة سكانية أعلى في المدينة (ب).

رياضيات 8 فصل ثاني

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS