الزخم الخطي والدفع

لمفهوم الزخم الخطي وحفظة والتصادمات وأنواعها، تأثيرات وتطبيقات مختلفة في كثير من الظواهر اليومية، ويعتمد عليها 

 مبدأ عمل كثير من الأجهزة والآلات المهمة في حياتنا. 

أتأمل الصورة 

يظهر في الصورة إطلاق مكوك فضائي، حيث تندفع الغازات الناتجة من الاحتراق من الصاروخ إلى الأسفل، بينما يندفع 

المكوك والصاروخ إلى الأعلى بتسارع.علام يعتمد عمل الصاروخ؟ وما الكميات الفيزيائية التي يلزم معرفتها لوصف حركة الصاروخ والمكوك الفضائي؟ 

يعتمد عمل الصاروخ على قانون حفظ الزخم الخطي. ولوصف حركة المكوك الفضائي والصاروخ يلزم معرفة الزخم الخطي للصاروخ والمكوك الفضائي، كما يلزم معرفة الصيغة العامة للقانون الثاني لنيوتن بدلالة تغير الزخم الخطي $\left(\sum F= \frac{dp}{dt}\right)$؛  لأن كتلة الصاروخ متغيرة. 

تجربة استهلالية  

تأثير كتلة الجسم وسرعته في التصادمات

 التجربة (1): * عند إفلات كرة موضوعة عند أعلى مستوى مائل كما في الشكل، فإنها

 تصطدم عند نهاية المستوى بالكوب البلاستيكي وتحركه، وعند تكرار التجربة باستخدام

 كرة ذات كتلة أكبر يتحرك الكوب البلاستيكي مسافة أكبر.

                    * عند  تكرار  التجربة باستخدام  الكرة  الزجاجية، مع  تغيير الارتفاع (h )الذي  تسقط

                       منه الكرة، نجد أن  المسافة التي  يقطعها  الكوب  تزداد بزيادة الارتفاع(h) الذي 

                       تسقط منه  الكرة.

التحليل والاستنتاج: 

          *يتحرك الكوب البلاستيكي مسافة أكبر عند اصطدام الكرة الزجاجية به مقارنة بالمسافة

           التي يتحركها عند اصطدام كرة التنس به؛ حيث كتلة الكرة الزجاجية أكبر، لأن زخم الكرة 

           الزجاجية عند التصادم مع الكوب أكبر، فتدفع الكوب مسافة أكبر.

          *  تزداد سرعة  اصطدام  الكرة بالكوب كلما زاد الارتفاع ( h ) ، وبالتالي  تزداد  المسافة التي 

            يقطعها  الكوب بزيادة سرعة  اصطدام  الكرة بالكوب.

التجربة (2): عند وضع كرتين من الزجاج على سطح طاولة، ودفع إحداهما باتجاه الأخرى،

يحدث بينها تصادم، وعند تكرار التجربة باستخدام كرة من الزجاج وكرة التنس يحدث كذلك

 بينهما تصادما.  هذه التصادمات تؤدي إلى حركة الكرات باتجهات وسرعات مختلفة.

التحليل والاستنتاج:

سرعة الكرتين بعد التصادم واتجاه حركتيهما يعتمد على  السرعة المتجهة لكل من الكرتين

 المتصادمتين قبل التصادم، وعلى كتلتي الكرتين المتصادمتين. كما يعتمد على طبيعة 

 التصادم؛ هل حدث التصادم وجهًا لوجه (في بعد واحد) أم في بعدين، كما يعتمد على طبيعة

 التصادم؛مرن أم غير مرن. 

الزخم الخطي Linear Momentum 

عندما تتحرك شاحنة وسيارة بمقدار السرعة نفسه، فإن إيقاف  الشاحنة أصعب من إيقاف السيارة. وعند تتحرك    

 سيارتين متساويتين في الكتلة بسرعتين مختلفتين مقدارا، فإن إيقاف السيارة الأقل سرعة أسهل من إيقاف

السيارة الأكبر سرعة.

فما الكمية الفيزيائية التي تعتمد على كل من كتلة الجسم وسرعته؟

 عندما تتحرك سيارة  وشاحنة           

 بالسرعة نفسها، فإن زخم 

 الشاحنة أكبر من زخم السيارة؛

لأن كتلة الشاحنة أكبر من كتلة

السيارة.  

 عندما تتحرك سيارتين لهما 

 الكتلة نفسها، بسرعتين 

 مختلفتين، فإن السيارة الأسرع

 لها زخم أكبر. 

يعرف الزخم الخطي (كمية التحرك) Linear momentum لجسم بأنه ناتج ضرب كتلة الجسم$\left(m\right)$  في سرعته المتجهة

$\left(\mathit{v}\right)$، رمزه $( \mathit{p})$ويقاس في النظام الدولي للوحدات بوحدة$\left(\mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$، ويحسب بالمعادلة الآتية:

$\mathit{p}\mathbf{=}\mathit{m}\mathit{v}$

والزخم الخطي كمية متجهة، له اتجاه السرعة نفسه. وألاحظ من هذه المعادلة أن الزخم الخطي  لجسم يزداد بزيادة

 مقدار سرعته أو كتلته أو كليهما. فمثلا؛ الزخم الخطي للشاحنة أكبر منه للسيارة عند حركتهما بمقدار السرعة نفسه

 كما أن تأثير جسم في جسم آخر عند تصادمهما يعتمد على كتلتيهما وسرعتيهما المتجهة؛ أي يعتمد على الزخم

 الخطي للجسمين.

أتحقق: ما المقصود بالزخم الخطي ؟

الزخم الخطي لجسم هو ناتج ضرب كتلة الجسم في سرعته ويُقاس بوحدة (kg.m/s ) حسب النظام الدولي للوحدات.    

ويُعبّر عنه بالمعادلة الآتية  $\left( p=mv\right)$ وهو كمية متجهة، له اتجاه السرعة نفسه.

سؤال: معتمدا على البيانات المثبتة على الشكل، وإذا علمت أن للشاحنتين الكتلة نفسها

$\left(M\right)$، وكتلة السيارة $\left(m\right)$. و المركبات الثلاثة تتحرك بالسرعة نفسها، أقارن بين الزخم 

 الزخم الخطي للمركبات الثلاثة مقدارا واتجاها.  

الحل: الزخم كمية متجهة، وباعتبار محور $\mathrm{(}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{)}$ هو الاتجاه الموجب،  فإن الزخم الخطي 

للشاحنة الحمراء $\left(M v\right)$ وللشاحنة الزرقاء  $\left(-M v\right)$، فيكون الزخم الخطي للشاحنتين 

متساوي في المقدار، وباتجاهين متعاكسين. أما لسيارة فزخمها $\left(-mv\right)$ وهو أقل من 

مقدارا  من زخم  الشاحنة وباتجاه زخم الشاحنة الزرقاء. 

أفكر 

هل يمكن أن يكون الزخم الخطي لسيارة مساويا مقدار  الزخم الخطي لشاحنة كبيرة كتلتها أربعة

 أضعاف كتلة السيارة؟ 

الحل: 

نعم؛ إذا تحركت السيارة بسرعة مقدارها يساوي أربعة أضعاف سرعة الشاحنة. 

ويمكن إثبات ذلك رياضيا كما يأتي: 

$p_1=p_2 \Rightarrow m v_1 = 4 m v_2 \Rightarrow v_1 =4v_2$

الزخم الخطي والقانون الثاني لنيوتن في الحركة

Linear Momentum and Newton’s Second Law of Motion                               

يلزم التأثير بقوة في جسم لتغيير مقدار زخمه الخطي أو اتجاهه أو كليهما. ويستخدم القانون الثاني 

لنيوتن في الحركة للربط بين الزخم الخطي للجسم والقوة المحصلة المؤثرة فيه، علما بأن نيوتن صاغ

 قانونه الثاني بدلالة الزخم الخطي كما يأتي:

$\sum F=\frac{dp}{dt }$

حيث$\left(\sum F\right)$ هي القوة المحصلة المؤثرة في الجسم. وعند ثبات الكتلة يمكن إعادة كتابة القانون 

الثاني لنيوتن بدلالة الزخم الخطي كما يأتي:

$\sum F=\frac{d \left(mv\right)}{dt}= m \frac{dv}{dt}=ma$

وعندما يحدث تغير في الزخم الخطي $\left(∆p\right)$ لجسم خلال فترة زمنية معينة $\left(∆t\right)$؛ يمكن إعادة كتابة

العلاقة السابقة في الصورة الآتية:

$\mathbf{\sum }\mathit{F}\mathbf{=}\frac{\mathbf{∆}\mathit{p}}{\mathbf{∆}\mathit{t}}$

وينص القانون الثاني لنيوتن في الحركة بحسب هذه الصيغة على أن:

"المعدل الزمني لتغير الزخم الخطي لجسم يساوي القوة المحصلة المؤثرة فيه"

ماذا نستنتج من هذه العلاقة ؟

• يكون متجه التغير في الزخم الخطي $\left(∆p\right)$ باتجاه القوة المحصلة دائما$\left(\sum F\right)$.
• مقدار القوة المحصلة اللازم التأثير بها في جسم لتغيير زخمه الخطي يزداد بزيادة مقدار هذا التغير. 

ينص القانون الثاني لنيوتن على أن "المعدل الزمنيَّ لتغيُّر الزخَم الخطيّ لجسم يساوي القوّة المُحصّلة المؤثّرة فيه". 

ويكون مُتّجه التغيُّر في الزخَم الخطيّ باتّجاه القوّة المُحصّلة دائمًا.

سؤال:  تتحرك سيارة كتلتها $\left(1400\mathrm{kg}\right)$باتجاه الغرب بسرعة مقدارها $\left(15\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$ 

فتصطدم بجدار وتتوقف عن الحركة  خلال فترة زمنية $\left(0.3\mathrm{s}\right)$. أحسب القوة المتوسطة

التي أثرت في السيارة أثناء التصادم.  

 الحل: 

أختار نظام إحداثيات يكون فيه اتجاه الشرق $\left(+x\right)$ هو الموجب، ونحسب القوة المتوسطة 

وهي نفسها القوة المحصلة باستخدام العلاقة:

$$\begin{gathered} \sum F=\frac{∆p}{∆t}= \frac{p_{\mathrm{f}}-p_{\mathrm{i}}}{∆t}=\frac{m\left(v_{\mathrm{f}}-v_{{}_{\mathrm{i}}}\right)}{∆t } \\ \overline{F } = \frac{1400 \left(0-\left(-15\right)\right)}{0.3}= \frac{1400\times 15}{0.3}= 7\times {10}^{4 \mathrm{N}} \end{gathered}$$

وتدل إشارة القوة موجبة، على أنها تؤثر باتجاه الشرق. 

نختار نظام إحداثيات يكون فيه اتجاه ($+x$) هو الموجب. 

العلاقة بين الزخم الخطي والدفع

            Relationship between Linear Momentum and Impulse

عندما يركل لاعبٌ كرةَ قدم ساكنةً؛ يحدث تلامس بين قدمه والكرة لمدة زمنية،

وتتغير سرعتها المتجهة بسبب القوة المؤثرة فيها من قدم اللاعب، وتكتسب 

 الكرة زخما خطيا باتجاه محدد، نتيجة دفع قدم اللاعب لها.

يعرف الدفع $\left(I\right)$ Impulse المؤثر في جسم بأنه ناتج ضرب القوة المحصلة المؤثرة في الجسم في زمن تأثيرها، كما يأتي:

$\mathbf{I}\mathbf{=}\mathbf{\sum }\mathit{F}\mathbf{∆}\mathit{t}$

يقاس الدفع بوحدة $\left(\mathrm{N}.\mathrm{s}\right)$حسب النظام الدولي للوحدات. ويمكن استخدام القانون الثاني لنيوتن للتعبير عن الدفع بالعلاقة 

 الآتية:

$\mathbf{I}\mathbf{=}\mathbf{∆}\mathit{p}$

تسمى هذه المعادلة مبرهنة (الزخم الخطي – الدفع) Impulse- momentum theorem ، وتنص على أن: 

" دفع قوة محصلة مؤثرة في جسم يساوي التغير في زخمه الخطي". والدفع كمية متجهة، يكون باتجاه تغير الزخم الخطي،  

 وهو  نفسه اتجاه القوة المحصلة . ولأن الزخم والدفع والقوة  كميات متجهة، تستخدم الإشارات الموجبة والسالبة لتحديد

اتجاهاتها؛ لذا يلزم اختيار نظام إحداثيات يحدد فيه الاتجاه الموجب.

منحنى (القوة - الزمن) 

• عندما يركل لاعب كرة قدم ساكنة؛ يحدث تلامس بين قدمه والكرة لمدة زمنية$\left(∆t\right)$، وخلال 

      هذه الفترة تؤثر القدم في الكرة بقوة متغيرة في المقدار.

• الشكل (أ) يبين كيف يتغير مقدار القوة المؤثرة في الكرة مع الزمن أثناء الفترة الزمنية التي 

       تكون فيها قدم اللاعب ملامسة للكرة. ويسمى هذا الرسم البياني منحنى (القوة- الزمن).

• الشكل (ب) يبين تمثيلا بيانيا للقوة المتوسطة المؤثرة في الكرة خلال الفترة الزمنية نفسها.

       والقوة المتوسطة هي  القوة المحصلة الثابتة التي إذا أثرت في الجسم لفترة زمنية لأحدثت  

       الدفع نفسه الذي تحدثه القوة المتغيرة أثناء الفترة الزمنية نفسها.

•  يمكن الاستفادة من المنحنيين (أ)، (ب) لحساب مقدار الدفع المؤثر في الكرة بطريقتين:

       1) عن طريق حساب المساحة المحصورة تحت منحنى (القوة- الزمن)، المبين في الشكل (أ).

        2) استخدام مقدار القوة المتوسطة مضروبا في زمن تأثيرها،عن طريق ايجاد المساحة 

            المحصورة بين القوة المتوسطة ومحور الزمن، المبين في الشكل (ب).    

بالاعتماد على مبرهنة (الزخم الخطي-الدفع) نتوصل إلى:

1. عند ثبات القوة المحصلة المؤثرة، يزداد التغير في الزخم الخطي بزيادة زمن تأثير هذه  القوة.فمثلا؛ عند  دفع عربة تسوق 

 بقوة ثابتة،يزداد التغير في زخمها الخطي بزيادة زمن تأثير القوة فيها.وعند ركل لاعب كرة قدم، يزداد التغير في الزخم الخطي للكرة

  بزيادةزمن تلامسها مع  القدم .

$∆ p= \sum F∆t$

يتناسب مقدار$\left(∆p\right)$ طرديا مع $\left(∆t\right)$

بثبوت $\left(\sum F\right)$. 

عندما يتضاعف مقدار زمن تلامس القدم مع الكرة يتضاعف التغير في زخمها (بثبوت القوة).                       

2. عند ثبات مقدار التغير في الزخم الخطي، يتناسب مقدار القوة المحصلة المؤثرة عكسيا مع زمن تأثيرها. فمثلا؛ يثني 

  المظلي رجليه لحظة ملامسة قدميه سطح الارض،وهذا يجعل تغير زخمه الخطي يستغرق فترة زمنية أطول، فيقل 

  مقدار القوة المحصلة المؤثرة فيه. كما أنني أثني رجلي تلقائيا عند ملامسة قدمي سطح الأرض بعد القفز.

  $\sum F= \frac{∆ p}{∆t}$

يتناسب مقدار $\left(\sum F\right)$  عكسيا مع  $\left(∆t\right)$ بثبوت $\left(∆p\right)$. 

الربط مع التكنولوجيا 

تنتفخ الوسادة الهوائية في أثناء حدوث تصادم لسيارة، إذ تحفز القوة الناتجة من التصادم  

مجس محدد يطلق تفاعلا كيميائيا ينتج عنه غازا يؤدي إلى انتفاخ الوسادة بسرعة. وتعمل

الوسادة الهوائية على زيادة زمن تاثير القوة الذي يتم خلاله ايقاف جسم الراكب عن الحركة. 

وبالتالي تقليل مقدار القوة المؤثرة فيه، مما يقلل من احتمال حدوث الإصابات، أو تقليل 

خطورتها. كما تعمل الوسادة الهوائية على توزيع القوة على مساحة أكبر من جسم الراكب 

فيقل ضغطها المؤثر فيه. 

المثال (1) (صفحة 13 في الكتاب) 

وضع صندوق كتلته $\left(100\mathrm{kg}\right)$ في شاحنة تتحرك شرقا بسرعة$\left(20.0 \mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$ إذا ضغط السائق

على دواسة المكابح، فتوقفت الشاحنة خلال $\left(5.0 \mathrm{s}\right)$من لحظة الضغط على المكابح؛ فاحسب:

أ. الزخم الخطي الابتدائي للصندوق

ب. الدفع المؤثر في الصندوق

ج. قوة الاحتكاك المتوسطة اللازم تأثيرها في الصندوق لمنعه من الانزلاق.

شاحنة تتحرك شرقا، وتحمل  صندوقا. 

المعطيات :

$m=100.0 \mathrm{kg},v_{\mathit{i}}= 20.0 \mathrm{m}/\mathrm{s}, v_{\mathrm{f}}=0, ∆t=5.0\mathrm{s}$ 

المطلوب:                                                                                                    $p_{\mathrm{i}}=?, \mathrm{I}=?, \overline{f_s} =?$

الحل:  

أختار نظام إحداثيات يكون فيه الاتجاه الموجب باتجاه حركة الشاحنة، وهو باتجاه محور $\left(+x\right)$ 

أ. تتحرك الشاحنة باتجاه $\left(+x\right)$ لذا تكون السرعة المتجهة الابتدائية للصندوق موجبة، ويحسب زخمه الخطي: 

$p_{\mathrm{i} }=m v_{\mathrm{i}} =100 \times 20=2\times {10}^3 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s}, +x$

ب. يحسب الدفع من مبرهنة (الزخم الخطي- الدفع)، مع مراعاة أن الزخم لنهائي للصندوق يساوي صفر؛ لأن

 مقدار سرعته المتجهة النهائية يساوي صفر :

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=∆p=p_{\mathrm{f}}-p_{\mathrm{i}} = 0-2\times {10}^3 =-2\times {10}^3 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \mathrm{I}= 2\times {10}^{3 } \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s} , -x \end{gathered}$$

الدفع سالب، حيث يؤثر في اتجاه الغرب ؛ لأنه يؤثر في الصندوق بعكس اتجاه سرعته الابتدائية. 

ج. قوة الاحتكاك اللازمة لمنع الصندوق من الانزلاق هي نفسها القوة المتوسطة المؤثرة فيه خلال فترة

توقف الشاحنة. 

$$\begin{gathered} \sum F=\overline{f} = \frac{∆p}{∆t}=\frac{-2\times {10}^3}{5}=-4\times {10}^2 \\ \overline{f} =4\times {10}^2 N, -x \end{gathered}$$

الإشارة السالبة لقوة الاحتكاك تدل أنها تؤثر باتجاه الغرب عكس اتجاه سرعة الصندوق. 

$\stackrel{(+x)}{\to }$ الاتجاه الموجب 

 تؤثر قوة الاحتكاك باتجاه معاكس

 لاتجاه حركة الشاحنة، فتمنع 

 الحمولة من الانزلاق. 

المثال (2) (صفحة 14 في الكتاب)  

يركل لاعب كرة قدم ساكنة كتلتها$\left(0.450\mathrm{kg}\right)$فتنطلق بسرعة $\left(30.0 \mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$في اتجاه محور $\left(+x\right)$. إذا 

علمت أن القوة المتوسطة المؤثرة في الكرة خلال زمن تلامسها مع قدم اللاعب تساوي $\left(135\mathrm{N}\right)$،

فأحسب مقدار ما يأتي بإهمال وزن الكرة مقارنة بالقوة المؤثرة فيها.

أ. زخم الكرة عند لحظة ابتعادها عن قدم اللاعب.

ب. زمن تلامس الكرة مع قدم اللاعب.

ج. الدفع المؤثر في الكرة خلال زمن تلامسها مع قدم اللاعب.

 المعطيات: $m=0.450 \mathrm{kg}, v_{\mathrm{i}}=0, v_{\mathrm{f}}=30.0 \mathrm{m}/\mathrm{s}, +x,\sum F=135\mathrm{N},+x$

المطلوب:  $p_{\mathrm{f} }=?, ∆t=?, \mathrm{I}=?$

الحل:

أختار نظام احداثيات يكون فيه الاتجاه الموجب باتجاه محور  $\left(+x\right)$.

أ.الزخم الخطي للكرة لحظة ابتعادها عن قدم اللاعب يمثل زخمها النهائي ويحسب من العلاقة:

$$\begin{gathered} p_{\mathrm{f}}=m v_{\mathrm{f}}=0.45\times 30=13.5 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ {\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}=13.5 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s}, +x \end{gathered}$$

ب.يحسب زمن تلامس الكرة مع القدم من القانون الثاني لنيوتن:

$\sum F=\frac{∆p}{∆t} \Rightarrow ∆t= \frac{∆p}{\sum F}= \frac{p_{\mathrm{f}}-p_{\mathrm{i}}}{135}=\frac{13.5-0}{135}=0.10 \mathrm{s}$

ج. لحساب الدفع تستخدم مبرهنة (الزخم الخطي – الدفع ):

$\mathrm{I}\mathit{=}∆p=p_{\mathrm{f}}-p_{\mathrm{i}}=13.5-0 =13.5 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s}, +x$

المثال (3) (صفحة 15 في الكتاب) 
تؤثر   قوة محصلة باتجاه محور$\left(+x\right)$في صندوق ساكن كتلته  $\left(4.0 kg\right)$ مدة زمنية مقدارها$\left(14\mathrm{s}\right)$. إذا

 علمت أن مقدار القوة المحصلة يتغير بالنسبة إلى الزمن كما هو موضح في منحنى (القوة- الزمن)

في الشكل المجاور.فأحسب ما يأتي:

أ. الدفع المؤثر في الصندوق خلال الفترة الزمنية لتأثير القوة المحصلة، وأحدد اتجاهه.

ب. السرعة النهائية للصندوق في نهاية الفترة الزمنية لتأثير القوة المحصلة.

ج. القوة المتوسطة المؤثرة في الصندوق خلال هذه الفترة الزمنية.

المعطيات:                                                                                                                                      $m=3 \mathrm{kg}, v_{\mathrm{i}}=0 , ∆t= 10.0 \mathrm{s}$

المطلوب:                                                                                                                                                         $\mathrm{I}=?, v_{\mathrm{f}}=?, \overline{F} =?$

الحل: 

  أختار نظام احداثيات يكون فيه الاتجاه الموجب باتجاه محور$\left(+x\right)$.

أ. الدفع المؤثر في الصندوق خلال فترة تأثير القوة يساوي المساحة المحصورة بين منحنى (القوة – الزمن) ومحور الزمن،

ويساوي عدديا مجموع المساحات (A,B,C):

$$\begin{gathered} \mathrm{Area}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{1}{2}\left(4-0\right)\times 4=8 kg.m/s^{} \\ \mathrm{Area}\left(\mathrm{B}\right)=4\times \left(6-4\right)=8 kg.m/s \\ \mathrm{Area}\left(\mathrm{C}\right)=\frac{1}{2}\left(10-6\right)\times 4=8 kg.m/s \\ \mathrm{Area}\left(\mathrm{D}\right)=\frac{1}{2}(10-6)\times (-4)=-8 kg.m/s \\ I= \mathrm{Area}\left(\mathrm{A}\right) +\mathrm{Area}\left(\mathrm{B}\right) + \mathrm{Area}\left(\mathrm{C}\right) + \mathrm{Area}\left(\mathrm{D}\right) \\ = 8 + 8 +8 + (-8)=16 kg.m/s \end{gathered}$$

نجمع المساحات الثلاث لإيجاد الدفع :                                                             $$

ب. تحسب السرعة النهائية باستخدام مبرهنة (الزخم الخطي-الدفع)

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=∆p=p_{\mathrm{f}}- p_{\mathrm{i}}=m{v}_f - m{v}_i \\ 16= 4 v_{\mathrm{f}}-0 \Rightarrow v_{\mathrm{f}}=\frac{16}{3}=8 \mathrm{m}/\mathrm{s}, +x \end{gathered}$$

ج. تحسب القوة من العلاقة:

$\sum F=\overline{f} =\frac{∆p}{∆t }=\frac{16}{14}=1.14 \mathrm{N},+x$

تمرين (صفحة 15 في الكتاب)

كرة تنس كتلتها $\left(0.060\mathrm{kg}\right)$ يقذفها لاعب إلى أعلى، وعند وصولها إلى قمة مسارها الرأسي 

يضربها أفقيا بالمضرب فتنطلق بسرعة مقدارها$\left(55.0 \mathrm{m}/\mathrm{s} \right)$في اتجاه $\left(+x\right)$. إذا علمت أن

زمن تلامس الكرة مع المضرب$\left(4.0 \times {10}^{-3 }\mathrm{s}\right)$ أحسب مقدار ما يأتي: 

أ. الدفع الذي يؤثر به المضرب في الكرة

ب. القوة المتوسطة التي أثر بها المضرب في الكرة.  

الحل: 

أ. أستخدم مبرهنة (الزخم الخطي – الدفع) لحساب الدفع، مع مراعاة أن مقدار سرعة الكرة عند قمة مسارها يساوي صفرًا، حيث يكون زخمها الابتدائي صفرًا.

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=∆p=p_{\mathrm{f}}-p_{\mathrm{i}} =m\left(v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}}\right)= 0.06 \left(55-0\right)= 3.3 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \mathrm{I}= 3.3 \mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s}, +x \end{gathered}$$

ب. أستخدم الصيغة العامة للقانون الثاني لنيوتن: 

$$\begin{gathered} \sum F=\overline{F} =\frac{∆p}{∆t}=\frac{3.3}{4\times {10}^{-3}} 825 \mathrm{N} \\ \overline{F} = 825\mathrm{N}, +x \end{gathered}$$

حفظ الزخم الخطي Conservation of Linear Momentum

يكون الزخم الخطي محفوظا تحت شروط معينة، وللتوصل إلى قانون حفظ الزخم الخطي، سندرس

 تصادم  كرتي بلياردو في بعد واحد، حيث يمكن عدّ النظام المكون من الكرتين نظام معزول.

النظام المعزول هو النظام الذي تكون فيه القوة المحصلة الخارجية تساوي صفر، وتكون القوى 

 المؤثرة قوى داخلية فقط. ويمكن عدّ النظام المكون من كرتي البلياردو معزولا؛ لأن القوى الخارجية

المؤثرة فيه، مثل قوة الاحتكاك تكون صغيرة مقارنة بالقوة التي تؤثر بها  كل من الكرتين في الأخرى

 في أثناء التصادم (قوى داخلية في النظام)؛ لهذا نهمل هذه القوى الخارجية.

حفظ الزخم الخطي والقانون الثالث لنيوتن في الحركة

يوضح الشكل  كرتي بلياردو قبل التصادم مباشرة، وفي أثناء التصادم، وبعده مباشرة.

تؤثر كل كرة بقوة في الكرة الأخرى في أثناء تصادمهما، وبافتراض أن مقدار كل من  

القوتين ثابت في أثناء الفترة الزمنية لتلامسهما، تكون هاتان القوتان متساويتين في 

 المقدار ومتعاكستين في الاتجاه؛بحسب القانون الثالث لنيوتن في الحركة، إذ أنهما 

تمثلان زوجي تأثير متبادل (فعل ورد فعل).  

حيث :$\left(F_{\mathrm{AB}}\right)$ القوة التي أثرت بها الكرة (A) في الكرة (B)، و  $\left(F_{\mathrm{BA}}\right)$ القوة التي أثرت بها  

الكرة (B) في الكرة(A).و $\left(∆t\right)$ فترة التلامس التي أثرت فيها كل كرة بالأخرى .   

يمكن التعبير عن القوى المتبادلة بين الكرتين بالعلاقة:

$F_{\mathrm{AB} }=-F_{\mathrm{BA}}$

بما أن فترة تأثير كل كرة بالأخرى هي نفسها، وبضرب طرفي المعادلة بالفترة الزمنية لتلامس الكرتين: 

$F_{\mathrm{AB}} ∆t=-F_{\mathrm{BA}}∆t$

 يمثل المقدار  $\left(F_{\mathrm{AB}}∆t\right)$ دفع الكرة (A) في الكرة (B)، ويمثل $\left(F_{\mathrm{BA}} ∆t\right)$ دفع الكرة (B)في الكرة (ِA):

${\mathrm{I}}_{\mathrm{AB}} =- {\mathrm{I}}_{\mathrm{BA}}$

وبحسب مبرهنة (الزخم الخطي - الدفع) فإن الدفع يساوي التغير في الزخم: 

$$\begin{gathered} ∆p_{\mathrm{B}} = -∆p_{\mathrm{A}} \\ p_{\mathrm{Bf}} -p_{\mathrm{Bi}} =-\left(p_{\mathrm{Af}} -p_{\mathrm{Ai}}\right) \end{gathered}$$

وبتعويض الزخم$\left( p=mv\right)$، وإعادة ترتيب حدود المعادلة نتوصل إلى أن : 

$$\begin{gathered} m_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bf}} -m_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bi}} = -m_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Af}} +m_{\mathrm{A}} v_{A\mathrm{i}} \\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Ai}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bi}} ={\mathrm{m}}_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Af}} +{\mathrm{m}}_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bf}} \end{gathered}$$

تشير هذه المعادلة إلى قانون حفظ الزخم الخطي .حيث $\left(v_{\mathrm{Af}}\right) و \left(v_{\mathrm{Ai}}\right)$تمثلان السرعتين المتجهتين للجسم الأول  قبل التصادم وبعده مباشرة، على الترتيب . و $\left(v_{\mathrm{Bf}}\right) و \left(v_{\mathrm{Bi}}\right)$تمثلان السرعتين  المتجهتين للجسم الثاني  قبل التصادم وبعده مباشرة على الترتيب. 

قانون حفظ الزخم الخطي :    $$\begin{gathered} \mathbf{\sum } p_{\mathrm{i}} = \mathbf{\sum } p_{\mathrm{f}} \\ {\mathit{m}}_{\mathbf{A}}\mathbf{ }{\mathit{v}}_{\mathbf{Ai}}\mathbf{+}{\mathit{m}}_{\mathbf{B}}\mathbf{ }{\mathit{v}}_{\mathbf{Bi}}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathit{m}}_{\mathbf{A}}\mathbf{ }{\mathit{v}}_{\mathbf{Af}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{m}}_{\mathbf{B}}\mathbf{ }{\mathit{v}}_{\mathbf{B}\mathbf{f}} \end{gathered}$$ 

تشير هذه المعادلة إلى قانون  حفظ الزخم الخطي Law of conservation of linear momentum

وينص على أنه: " عندما يتفاعل جسمان أو أكثر في نظام معزول، يظل الزخم الخطي الكلي للنظام ثابتا". كما يمكن التعبير عنه بأن: الزخم الخطي الكلي لنظام معزول قبل التصادم مباشرة يساوي الزخم الخطي الكلي للنظام بعد التصادم مباشرة. وسنعد جميع الأنظمة التي نتعامل معها في هذه الوحدة أنظمة  معزولة.

ويمكن أن يحتوي النظام على أعداد مختلفة من الأجسام المتفاعلة(المتصادمة) معا، وقد يحدث التصادم بينها في بعد واحد أو بعدين أو ثلاثة أبعاد. وبعد تصادم هذه الأجسام فإنها قد ترتد عن بعضها بعضا، أو تلتصق ببعضها بعضا، أو تنفصل عن بعضها بعضا ( مثل الانفجارات).  

المثال (4) (صفحة 19 في الكتاب)

يوضح الشكل تصادم كرتين( A و  B)حيث تحركت الكرة(A) باتجاه محور $\left(+x\right)$ بسرعة $\left(4.0 \mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$

نحو الكرة (B )الساكنة. بعد التصادم تحركت الكرة (B )بسرعة مقدارها $\left(1.5 \mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$ باتجاه$\left(+x\right)$.

إذا علمت أن $\left(m_{\mathrm{A}} =1.0 \mathrm{kg}\right)$ و $\left( m_B=2.0 \mathrm{kg}\right)$ فاحسب مقدار سرعة الكرة(A ( بعد التصادم

وأحدد اتجاهها.

المعطيات: $v_{\mathrm{Ai}}=4.0 \mathrm{m}/\mathrm{s},+x, v_{\mathrm{Bi}}=0,v_{B\mathrm{f}}=1.5 \mathrm{m}/\mathrm{s}, m_{\mathrm{A}}=1.0 \mathrm{kg}, m_{ \mathrm{B}}=2.0 \mathrm{kg}$

المطلوب:  $v_{\mathrm{Af}} =?$

الحل:

أختار نظام إحداثيات يكون فيه الاتجاه الموجب باتجاه محور $\left(+x\right)$، ثم أطبق قانون حفظ الزخم الخطي على نظام الكرتين.

$$\begin{gathered} \sum p_{\mathrm{i}} = \sum p_{\mathrm{f}} \\ m_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Ai}} +m_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bi}} = m_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Af}} + m_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bf}} \\ 1.0\times 4.0 + 2.0\times 0= 1.0 v_{\mathrm{Af}} +2\times 1.5 \\ 4=v_{\mathrm{Af}} +3 \Rightarrow v_{\mathrm{Af}} =4-3=1 \mathrm{m}/\mathrm{s} \Rightarrow {\mathrm{v}}_{\mathrm{Af}} =1 \mathrm{m}/\mathrm{s},+x \end{gathered}$$

 السرعة المتجهة النهائية للكرة (A)موجبة، أي أن اتجاه سرعتها باتجاه محور $\left(+x\right)$؛ وهو نفس اتجاه سرعتها قبل التصادم.

تطبيق قانون حفظ الزخم على جسم ينفصل إلى أجزاء

يكون الزخم الخطي محفوظا عندما ينفصل جسم إلى أجزاء تبتعد عن بعضها، مثل الانفجارات.فإذا كان الجسم ساكنا  فإن

الأجسام الناتجة عن الانفصال تبدأ حركتها من السكون؛و يكون الزخم الكلي قبل الانفصال صفرا. وتكون اتجاهات حركتها بعد

الانفصال بحيث يبقى الزخم  الخطي الكلي بعد انفصالها مساويا له قبل انفصالها؛ أي صفرا في هذه الحالة. 

فمثلا يمكن تطبيق قانون حفظ الزخم  الخطي على المدفع المبين في الشكل كما يأتي:

يكون مجموع الزخم الخطي  للمدفع والقذيفة قبل الإطلاق  صفرا؛ لانهما ساكنين $\left(\sum p_{\mathrm{i}}=0\right)$

 أفترض رمز المدفع (A) فيكون زخم المدفع بعد الإطلاق ($p_{\mathrm{Af}}$)، وأفترض رمز القذيفة (B)   

فيكون زخم القذيفة  بعد الإطلاق  ($p_{\mathrm{Bf}}$). وبتطبيق قانون حفظ الزخم الخطي: 

$$\begin{gathered} \sum p_{\mathrm{i}} =\sum p_{\mathrm{f}} \\ 0=p_{\mathrm{Af}} +p_{\mathrm{Bf}} \\ p_{\mathrm{Af}} = - p_{\mathrm{Bf}} \Rightarrow m_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Af}} = - m_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bf}} \end{gathered}$$

والإشارة السالبة في المعادلة تدل على أن السرعة  المتجهة  للمدفع بعكس اتجاه 

السرعة المتجهة للقذيفة، وهذا يفسر  ارتداد المدفع بالاتجاه المعاكس لحركة القذيفة. 

و يفسر سبب ارتداد البندقية للخلف عند إطلاق رصاصة منها، كما يفسر لماذا يحتاج 

 خرطوم إطفاء الحريق عادة إلى أكثر من إطفائي للإمساك به عند اندفاع الماء.

سؤال: عند اطلاق قذيفة من مدفع، أقارن بين مقدار كل من:

• الزخم الخطي للقذيفة والزخم الخطي للمدفع
• سرعة انطلاق القذيفة وسرعة ارتداد المدفع 

الحل: 

بتطبيق قانون حفظ الزخم  نتوصل إلى أن مقدار زخم القذيفة يساوي مقدار زخم المدفع 

وبالاعتماد على العلاقة $\left(m_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Af}} =-m_{\mathrm{B}} v_{\mathrm{Bf}}\right)$ نستنتج أن الجسم ذو الكتلة الأقل (القذيفة)

تكون سرعته أكبر؛ أي سرعة القذيفة أكبر من سرعة ارتداد المدفع.  

يرتد المدفع بعكس اتجاه حركة القذيفة 

وترتد البندقية بعكس اتجاه انطلاق

الرصاصة.

يحتاج خرطوم إطفاء الحريق لأكثر من 

إطفائي للإمساك به.

المثال (5) (صفحة 20 في الكتاب)

مدفع ساكن كتلته $\left(2.0 \times {10}^3 \mathrm{kg}\right)$، فيه قذيفة كتلتها $\left(50.0 \mathrm{kg}\right)$. أُطلقت القذيفة أفقيا 

من المدفع بسرعة $\left(1.2 \times {10}^2 \mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$ باتجاه محور  $\left(+x\right)$أحسب مقدار ما يأتي:

أ. الدفع الذي تؤثر به القذيفة في المدفع، وأحدد اتجاهه.

ب.سرعة ارتداد المدفع.

  المعطيات:  أفترض رمز المدفع (A) ورمز القذيفة (B)

$m_{\mathrm{A} }=2.0\times {10}^3 \mathrm{kg} , m_{\mathrm{B} }=50.0 \mathrm{kg}, v_{\mathrm{Ai}}=0, v_{\mathrm{Bi}}=0, v_{\mathrm{Bf}}=1.2\times {10}^2 \mathrm{m}/s,+x$

المطلوب: 

${\mathrm{I}}_{\mathrm{BA}}=?, v_{\mathrm{Af}}=?$

الحل: 

أختار نظام إحداثيات يكون فيه الاتجاه الموجب باتجاه محور $\left(+x\right)$

أ. الدفع الذي تؤثر فيه القذيفة في المدفع $\left({\mathrm{I}}_{\mathrm{BA}}\right)$ يساوي في المقدار الدفع الذي يؤثر فيه المدفع في القذيفة $\left({\mathrm{I}}_{\mathrm{AB}}\right)$ويعاكسه في الاتجاه، ويمكن حسابه من مبرهنة (الزخم الخطي -الدفع) 

        $$\begin{gathered} {\mathrm{I}}_{\mathrm{AB}}=∆p_{\mathrm{B} }= m_{\mathrm{B}} \left(v_{\mathrm{Bf}}\mathit{-}{v}_{\mathrm{Bi}}\right) = 50.0 \left(1.2\times {10}^2 -0\right)=6\times {10}^3\mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ {\mathrm{I}}_{\mathrm{BA}}= -{\mathrm{I}}_{\mathrm{AB}} = -6\times {10}^3\mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s} \Rightarrow {\mathrm{I}}_{\mathrm{BA}}=6\times {10}^3\mathrm{kg}.\mathrm{m}/\mathrm{s},-x \end{gathered}$$

الدفع سالب، حيث يؤثر في المدفع باتجاه ($-x$) 

ب. أطبق قانون حفظ الزخم الخطي على النظام، مع مراعاة أن مجموع زخم القذيفة والمدفع قبل الإطلاق يساوي صفر                                                       $$\begin{gathered} \sum p_{\mathrm{i}}=\sum p_{\mathrm{f}} \\ {m}_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Ai}} + m_B v_{\mathrm{Bi}} = m_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{Af}} + m_B v_{\mathrm{Bf}} \\ 0 = 2.0\times {10}^3 v_{\mathrm{Af}} + 50.0\times 1.2\times {10}^2 \\ {\mathrm{v}}_{\mathrm{Af}}=\frac{-6.0 \times {10}^3}{2.0\times {10}^3}=-3\mathrm{m}/\mathrm{s} \Rightarrow {\mathrm{v}}_{\mathrm{Af}}=3\mathrm{m}/\mathrm{s},-x \end{gathered}$$

 بما أن السرعة المُتّجهةَ النهائيّة للمدفع ( A) سالبةٌ، فهذا يعني أن اتّجاه سرعته باتّجاه محور($-x$ )، أي بعكس  اتجاه حركة القذيفة.