رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

icon

الدرس الثالث:الضرب القياسي

 أتحقق من فهمي 144 

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما يأتي :

a v=4,8,-3 ,w=-3,7,2Solution:since v.w=v1w1+v2w2+v3w3          v.w=(4×-3)+(8×7)+(-3×2)          v.w=-12 +56-6 =38

 

b m=-3i^+5j^-k^ ,n=-12i^+6j^-8k^Solution: since m.n=m1n1+m2n2+m3n3          m.n=(-3×-12)+(5×6)+(-1×-8)          m.n=36+30+8=74 

 

 أتحقق من فهمي 146

أجد قياس الزاوية θ بين المتجه u والمتجه w في كل مما يأتي. مُقربا الناتج إلى أقرب عُشر درجه :

a v=-3i^+5j^-4k^ ,w=4i^+2j^-3k^Solution: since v.w=|v||w|cosθ |v|=(v1)2+(v2)2+(v3)2 |v|=(-3)2+(5)2+(-4)2=50|w|=(w1)2+(w2)2+(w3)2 |w|=(4)2+(2)2+(-3)2=29and v.w=v1w1+v2w2+v3w3       v.w=(-3×4)+(5×2)+(-4×-3)              =-12+10+12=10then  v.w=|v||w|cosθ          10=50 ×29 cosθ cosθ =101450 θ =cos-1(101450)=74.8ο

 

b v=<2,-10,6> ,w=<-3,15,-9>Solution since v.w=|v||w|cosθ |v|=(2)2+(-10)2+(6)2=140 |w|=(-3)2+(15)2+(-9)2=315and v.w=v1w1+v2w2+v3w3       v.w=(2×-3)+(-10×15)+(6×-9)              =-6-150-54=-210then  v.w=|v||w|cosθ          -210=140 ×315 cosθ cosθ =-2104410=-1 θ =cos-1(-1)=180ο   

 

 أتحقق من فهمي 147

إذا كانت: r=3-21 + t2-5-1  معادلة متجهة للمستقيم l1 وكانت r=(530) +u(10-3)

معادلة متجهة للمستقيم l2 فأجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين إلى أقرب عشر درجة

v=<2,-5,-1> ,w=<1,0,-3>Solution since v.w=|v||w|cosθ |v|=(2)2+(-5)2+(-1)2=30 |w|=(1)2+(0)2+(-3)2=10and v.w=v1w1+v2w2+v3w3       v.w=(2×1)+(-5×0)+(-1×-3)               =2+3=5then  v.w=|v||w|cosθ          5=30 ×10 cosθ cosθ =5300=123 θ =cos-1(123)=73ο

 أتحقق من فهمي 149

أجد مساحة المثلث EFG الذي إحداثيات رؤوسه هي    G(6,-3,1) , F(5,1,7) ,    E(2,1,-1)

Solution:  AEFG=12|EF||FG|sinθEF=<5-2,1-1,7--1>=<3,0,8>FG=<6-5,-3-1,1-7>=<1,-4,-6>since v.w=|v||w|cosθ |EF|=(3)2+(0)2+(8)2=73 |FG|=(1)2+(-4)2+(-6)2=53and EF.FG=(3×1)+(0×-4)+(8×-6)                   =3-48=-45then  EF.FG=|EF||FG|cosθ          -45=73 ×53 cosθ cosθ =-453869 θ =cos-1(-453869)=136ο But   AEFG=12|EF||FG|sinθ then AEFG=1273×53sin(136ο)                     =21.6 unit 

 

 أتحقق من فهمي 151

إذا كانت: r=16i^+11j^-3k^ +t(5i^+7j^-3k^) معادلة متجهة للمستقيم l             

والنقطة  P(2,0,10/3) غير واقعة على المستقيم l  فأجيب عن السؤالين الآتيين:

a  أحدد مسقط العمود من النقطة P على المستقيم l .

          بفرض مسقط النقطة P على المستقيم l هو النقطة F .

     لذلك فإن F تحقق معادلة المستقيم على النحو التالي:

         OF=<16+5t,11+7t,-3-3t>

    وكذلك فإن متجه الموقع OP هو :  OP =<2,0,103>  

    وبتطبيق قاعدة المثلث لجمع المتجهات نجد أنَّ : 

   OP +PF =OF PF =OF -OP       =<16+5t,11+7t,-3-3t>-<2,0,103>PF =<14+5t,11+7t,-193-3t> but PF  v PF .v=05×(14+5t)+7×(11+7t)-3×(-193-3t)=070+25t+77+49t+19+9t=0166+83t=0  t=-2then   OF =<16+5t,11+7t,-3-3t>           OF =<16+5(-2),11+7(-2),-3-3(-2)>                 =<6,-3,3>      F=(6,-3,3)

  b أجد البعد بين النقطة P على المستقيم l .

  Solution :PF =<14+5t,11+7t,-193-3t> when t=-2 then  PF =<14+5(-2),11+7(-2),-193-3(-2)>         PF =<4,-3,-13>        PF =(4)2+(-3)2+(-13)2                 =25+19=2263

 أتحقق من فهمي 154

a أجد قياس EDB  في الهرم المبين في المثال السابق  .

b  أجد حجم الهرم

 

 

a Solution :E(8,3,7) , D(1,-5,5) , B(9,-1,-3)ED=<-7,-8,-2>|ED |=(-7)2+(-8)2+(-2)2                                       |ED |=49+64+4=117DB =<8,4,-8>|BD |=(8)2+(4)2+(-8)2                                       |BD |=64+16+64=12ED.DB =(-7×8)+(-8×4)+(-2×-8)             =-56-32+16=-72 Now cosθ =ED.DB |ED ||BD |=-7212117 cosθ =ED.DB |ED ||BD |=-6117      θ=cos-1-6117   θ=124°      the complemt is =56° 

 

b Solution :A=13|AD|2|EM|Now : |AD|=(1-1)2+(-5-1)2+(5+1)2                    =62 to find M as a midpoint of D(1,-5,5) , B(9,-1,-3):M=(1+92,-5-12,5-32)=(5,-3,1)Now : |EM|=(8-5)2+(3+3)2+(7-1)2                    =9+36+36=81=9A=13|AD|2|EM|A=13622(9)=216 unit 

تمارين ومسائل

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما يأتي : 

1 u=5i^-4j^+3k^ ,v=7i^+6j^-2k^Solution:since u.v=u1v1+u2v2+u3v3                  =(5×7)+(-4×6)+(3×-2)                  =35-24-6 =5 2 u=4i^-8j^-3k^ ,v=12i^+9j^-8k^Solution:                   =(4×12)+(-8×9)+(-3×-8)                  =48-72+24=03 u=<-5,9,17> ,v=<4,6,-2>Solution:                  =(-5×4)+(9×6)+(17×-2)                  =-20+54-34=04 u=<1,-4,12> ,v=<3,10,-5>Solution:                  =(1×3)+(-4×10)+(12×-5)                  =3-40-60=-97 

 

أجد قياس الزاوية θ بين المتجهين إلى أقرب عشر درجة في كلٌ مما يأتي :

5 m=4i^-2j^+5k^ ,n=3i^+4j^-2k^Solution: since m.n=|m||n|cosθ |m|=(m1)2+(m2)2+(m3)2 |m|=(4)2+(-2)2+(5)2=45|n|=(n1)2+(n2)2+(n3)2 |n|=(3)2+(4)2+(-2)2=29and m.n=m1n1+m2n2+m3n3       v.w=(4×3)+(-2×4)+(5×-2)               =12-8-10=-6then  cosθ=m.n|m||n|               θ =cos-1(-61305)=99.6ο 

 

6 v=<3,-2,9> ,w=<5,3,-4>Solution: since v.w=|v||w|cosθ |v|=(v1)2+(v2)2+(v3)2 |v|=(3)2+(-2)2+(9)2=94|w|=(w1)2+(w2)2+(w3)2 |w|=(5)2+(3)2+(-4)2=50and v.w=v1w1+v2w2+v3w3       v.w=(3×5)+(-2×3)+(9×-4)              =15-6-36=-27then   cosθ=v.w|v||w|                cosθ =-274700 θ =cos-1(-274700)=113.2ο 

 

7   إذا كانت  A(3,5,-4) و B(7,4,-3) و O نقطة الأصل فأجد mOAB إلى أقرب درجة . 

Solution: A(3,5,-4) و B(7,4,-3)OA=3,5,-4 , and AB=4,-1,1 since cosθ=v.w|v||w| |OA|=(3)2+(5)2+(-4)2=50 |AB|=(4)2+(-1)2+(1)2=18and   OA.AB=(3×4)+(5×-1)+(-4×1)                     =12-5-4=3then cosθ =3900 θ =cos-1(0.1)=84.3ο 

8   يمر المستقيم  l1بالنقطتين: (3,5,7-) و (1,4- ,2)

     ويمر المستقيم  l2 بالنقطتين: (1- ,1,2) و(6,-5,3)  

     أجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين إلى أقرب عُشر درجة 

Solution: l1: (2,-1,4) ,(-3,5,7)  r1=<-5,6,3>  l2: (6,-5,3) ,(1,2,-1)  r2=<-5,7,-4>  since cosθ= r1. r2| r1|| r2| | r1|=(-5)2+(6)2+(3)2=70 | r2|=(-5)2+(7)2+(-4)2=90and    r1. r2=(-5×-5)+(6×7)+(3×-4)                     =25+42-12=55then cosθ =556300 θ =cos-1(556300)=46.1ο 

 

9  إذا كان المستقيم الذي له المعادلة المتجهة :r=<1,4,-5> +λ<-6,q+5,3>

    والمستقيم الذي له المعادلة المتجهة : r=<1,4,-5> +μ<5,q-6,-4> 

    متعامدين فما القيم الممكنة للثابت q ؟ 

Solution:r=<1,4,-5> +λ<-6,q+5,3> v1=<-6,q+5,3>r=<1,4,-5> +μ<5,q-6,-4> v2=<5,q-6,-4>since  v1  v2   v1. v2=0v1. v2=(-6×5)+((q+5)×(q-6)+(3×-4)=0            q2-q-72=0(q-9)(q+8)=0q=9  amd  q=-8

إذا كانت: r=2j^-3k^ +t(-i^+2j^+5k^)معادلة متجهة للمسستقيم l.                      

والنقطة (5 ,26 ,2-)P غير واقعة على المستقيم l فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا :

10  أحدد مسقط العمود من النقطة P على المستقيم l.    

      بفرض مسقط النقطة P على المستقيم l هو النقطة F .

     لذلك فإن F تحقق معادلة المستقيم على النحو التالي:

         OF=<-t,2+2t,-3+5t>

    وكذلك فإن متجه الموقع OP هو :    OP =<-2,26,5>

    وبتطبيق قاعدة المثلث لجمع المتجهات نجد أنَّ :  

 OP +PF =OF PF =OF -OP       =<-t,2+2t,-3+5t>-<-2,26,5>PF =<-t+2,2t-24,5t-8> but PF  v PF .v=0-1×(-t+2)+2×(2t-24)+5×(5t-8)=0t-2+4t-48+25t-40=0-90+30t=0  t=3then   OF =<-t,2+2t,-3+5t>           OF =<-3,2+2(3),-3+5(3)>           OF =<-3,8,12>           F=(-3,8,12)

 

11 أجد البعد بين النقطة P والمستقيم

  Solution :PF =<-t+2,2t-24,5t-8>  when t=3 then  PF =<-(3)+2,2(3)-24,5(3)-8>         PF =<-1,-18,7>        |PF |=(-1)2+(18)2+(7)2                 =1+324+49=374=19.33

12 أجد مساحة المثلث ABC حيث: AB=4,9,1 ، و AC=<9,1,4> .

Solution:AB=<4,9,1>,      AC=<9,1,4>since v.w=|v||w|cosθ |AB|=(4)2+(9)2+(1)2=98 |AC|=(9)2+(1)2+(4)2=98and AB.AC=(4×9)+(9×1)+(1×4) =49then  AB.AC=|AB||AC|cosθ         cosθ=AB.AC|AB||AC|cosθ =499898 θ =cos-1(12)=60ο But   AABC=12|AB||AC|sinθ then AEFG=1298×98sin(60ο)=4932 unit 

13  أجد مساحة المثلث ABC الذي إحداثيات رؤوسه هي:

       (2 ,5- ,4)C ,(3- ,7 ,2)B , A(1,3,1)‏.

Solution: A(1,3,1) , B(2,7,-3)  ,C(4,-5,2)AB=<1,4,-4>BC=<-4,-12,5>since v.w=|v||w|cosθ |AB|=(1)2+(4)2+(-4)2=33 |BC|=(-4)2+(-12)2+(5)2=185and AB.BC=(1×-4)+(4×-12)+(-4×5)=-72then  cosθ=AB.BC|AB||BC|         cosθ =-7233185      θ =cos-1(-726105)=22.9ο But   AABC=12|AB||BC|sinθ then AEFG=12×33×185sin(22.9ο) =15.2 unit 

14 حزام ناقل: يمثل المتجه: F=5i^-3j^+k^ القوة التي يُولّدها حزام ناقل لتحريك حقيبة في مسار مستقيم؛

      من النقطة (1 ,1 ,1) إلى النقطة (7 ,4 ,9). أجد مقدار الشغل الذي تبذله القوّة  F  .

     علما بأن القوة بالنيوتن N والمسافة  بالمتر m ؛ ومقدار الشغل (w) المبذول بوحدة الجول (J)

     يساوي ناتج الضرب القياسي لمتجه القوة في متجه الإزاحة ؛ أي w=F.d  

Solution:F=5i^-3j^+k^    F=5,-3,1A(1,1,1) , B(9,4,7)  AB=d=<8,3,6>sincew= F.d==(5×8)+(-3×3)+(1×6)                           =40-9+6=37 جول

15  إذا كانت النقطة (1- ,17- ,27) R والنقطة (11 ,9- ,11) S  تقعان على المستقيم l .

     وكانت النقطة Q تقع على المستقيم l. حيث OQ عمودي على l فأجد متجه الموقع للنقطةَQ    . 

Solution:S(11,-9,11)  , R(27,-17,-1)v=16,-8,-12=<4,-2,-3>r=11i^+-9j^+11k^ +t(4i^-2j^-3k^) then OQ=<11+4t,-9-2t,11-3t>since v OQ then v. OQ=0So: 4(11+4t)-2(-9-2t)-3(11-3t)=044+16t+18+4t-33+9t=029+29t=0  t=-1when t=-2 then : OQ=<11+4(-1),-9-2(-1),11-3(-1)>       =<7,-7,14>   Q=(7,-7,14)

 

إذا كانت متجهات مواقع النقاط A و B و D هي 2-297 ,41714 , -41322 على الترتيب .

 فأجيب عن الأسئلة الأربعة الآتية تباعًا:

16  أثبت أنً: AB___ AD___  :

Solution: AB¯AD¯ when AB.AD=0 AB=<-4-4,13-17,22-14>=<-8,-4,8>                                                      =<-2,-1,2> AD=<-4-2,13--29,22-7>=<-6,42,15>                                                        =<-2,14,5>So: -2×-2 +-1×14 +2×5=?0      4-14+10=0   AB¯AD¯ 

 

17  أجد متجه موقع النقطة C إذا كانABCD  مستطيلا 

      سنجد رأس المستطيل C أولاً : ولأنها تشكل شكلاً هندسياً مغلقاً

      فسيكون الجمع المتجهي يساوي صفر :  AB+BC+CD+DA=0

      Solution: OC= ODOB +BC=OA+AD but AD¯ = BC¯                                                 OC =OB +AD 4,17,14+6,-42,-15=10,-25,-1

  

18  أجد مساحة المستطيلABCD   .‏

 Solution: A(-4,13,22) , B(4,17,14)  ,C(10,-25,-1)AB=<8,4,-8>BC=<6,-42,-15> |AB|=(8)2+(4)2+(-8)2=144=12 |BC|=(6)2+(-42)2+(-15)2=2025=45 But   AABCD=|AB||BC|         AABCD=12×45=540 unit

19  أجد متجه موقع مركز المستطيلABCD   .‏ 

     مركز المستطيل هي نقطة تقاطع قطريه وهي تنصف كل منهما :

Solution: A(-4,13,22) ,C(10,-25,-1)M=(-4+102, 13-252 , 22-12)=(3, -6 , 212)OM=<3, -6 , 212>

تمثل: r=<-5,7,1> +t<3,1,4> معادلة متجهة للمستقيم l1 .

وتمثل : r=<2,8,-1> +u<2,0,-3> معادلة متجهة للمستقيم l2 .

وتمثل : r=<3,19,10> +v<-1,3,1>معادلة متجهة للمستقيم l3 . 

إذا تقاطع المستقيم l2 والمستقيم l1 في النقطة T وكانت النقطة F تقع على المستقيم l3 حيث: TF l3

فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا:

20  أجد إحداثيات النقطة F

Solution:r=<-5,7,1> +t<3,1,4>r=<2,8,-1> +u<2,0,-3> now to find T: -5+3t=2+2u 3t-2u=7    ... 1 7+t=8  t=1  then  3(1)-2u=7   u=-2  T=(-5+3,7+1,1+4)=(-2,8,5) now to find OF from r=<3,19,10> +v<-1,3,1>OF=<3-v,19+3v,10+v>  So TF=<3-v+2,19+3v-8,10+v-5>           =<5-v,11+3v,5+v>now to find v:     but l3 TF    l3 .TF =0       -15-v+3(11+3v)+1(5+v)=0       -5+v+33+9v+5+v=0        33+11v=0  v=-3 then   OF=<3-v,19+3v,10+v>                =<3+3,19+3(-3),10-3>                =<6,10,7>  F((6,10,7)          

21 أجد البعد بين النقطة T والمستقيم l3  

Solution: TF=<5-v,11+3v,5+v> and v=-3So: TF=<5+3,11-9,5-3>=<8,2,2>       |TF|=(8)2+(2)2+(2)2=72=62

إذا كانت:  r=<5,3,0> +λ<-1,3,1> تمثل معادلة متجهة للمسستقيم l .

وكانت   A(3,-2,1) و B(5,3,0) . فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا:

22 أجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيم AB والمستقيم  l .

Solution:r=<5,3,0> +λ<-1,3,1> A(3,-2,1) , B(5,3,0)AB=<2,5,-1>w=<-1,3,1>since v.w=|v||w|cosθ |AB|=(2)2+(5)2+(-1)2=30 |w|=(-1)2+(3)2+(1)2=11and AB.w=(2×-1)+(5×3)+(-1×1)=12then  cosθ=AB.BC|AB||BC|         cosθ =123011      θ =cos-1(123011)=48.7ο

23   تقع النقطة C على المستقيم  AB ، حيث: AC AB =  . أجد إحداثيات النقطة 

Solution: A(3,-2,1) , B(5,3,0) let c=(x , y , z) x+52=3      x=1y+32=-2   y=-7z+02=1      z=2 So c=(1 , -7 , 2)

 تقع النقطة (9 ,4- ,7-)A والنقطة (3 ,5 ,8)B على المستقيم l1 .

 وتقع النقطة (7 ,11 ,6)C على المستقيم l2 الذي معادلته : r=<6,11,7> +t<-1,3,2>

 24  أبين أن النقطة B تقع على المستقيم l2 .  

Solution: B(8,5,3)r=<6,11,7> +t<-1,3,2> for x :8=6-t      t=-2  for y :5=11+3t   t=-2  for z :3=7+2t     t=-2  

 

25 أبين أن المستقيم l1  والمستقيم l2 متعامدان

Solution:l1:r=<-15,-9,6>l2:r=<-1,3,2>but l1 l2  if   l1 .l2=0       -15×-1+  -9×3+  6×2 =0?       15-27+12=0 then  l1 l2