اتحقق من فهمي صفحة 71
اجد القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية للاقتران g(x)=2x3-6x-15 (ان وجدت)
له قيمة عظمى عند x = -1 هي f ( -1 ) = -11
له قيمة صغرى عند x = 1 هي f (1) = -19
اتحقق من فهمي صفحة 72
يمثل الاقتران h(t)=20t - 5t2 ارتفاع حجر عن سطح الأرض بالمتر بعد t ثانية من قذفه الى الأعلى:
a) أجد سرعة الحجر بعد ثانيتين من قذفه
b) اجد اقصى ارتفاع يصله الحجر
h '(t) = 20 - 10t
h'(t) = 20 - 10 (2)
= 20 - 20
= 0
عند أقصى ارتفاع تكون السرعة تساوي صفر
20 -10 t = 0
10t = 20
t = 2
h(t) = 20(2) - 5 (2)2
= 40 - 20 = 20
اتحقق من فهمي صفحة 74
يبين الشكل المجاور صورة مستطيلة الشكل، محيطها 72cm، ومساحتها Acm2:
a) ابين ان الاقتران A(x)= 36x- x2 يمثل مساحة الصورة
b) اجد A’(x)
c) استعمل المشتقة لايجاد قيمة x تجعل مساحة الصورة اكبر ما يمكن
d) اجد اكبر مساحة ممكنة للصورة
a .
2 x +2y = 72
x +y = 36
y = 36 - x
A = x y
= x ( 36 - x)
= 36 x - x2
b.
A'(x) = 36 -2x
c.
36 -2x = 0
2x = 36
x = 18
d.
A( 18) = 36 (18) - (18) 2
= 324
اتدرب واحل المسائل صحفة 74
استعمل المشتقة لايجاد القيم العظمى والقيم المحلية الصغرى لكل من الاقترنات الاتية (ان وجدت):
1) f(x)= x2 -4x + 3
له قيمة صغرى عند x = 2 هي f(2) = - 1
2) f(x)=x2 + 6x - 3
f'(x) = 2x +6
2x + 6 = 0
2 x = -6
x = -3
له قيمة صغرى عند x = -3 هي f (-3) = -12
3) f(x)= 1 + 5x - x2
f'( x) = 5 - 2x
5 - 2x = 0
2x = 5
x = 2.5
له قيمة عظمى عند x = 2.5 هي
4) f(x)= x3 + 1.5 x2 - 18x
f '(x) = 3x 2 +3x -18
3x 2 + 3x - 18 = 0
x 2 +x - 6 = 0
( x +3 )( x -2) = 0
x = -3 or x = 2
له قيمة عظمى عند x = -3 هي f( -3) = 40.5
له قيمة صغرى عند x = 2 هي f(2) = -22
5) f(x) = 18 x2 - x4
f '(x) = 36x - 4 x3
36 x - 4 x3 = 0
4x ( 9 - x2 ) = 0
x = 0 or
له قيمة عظمى عند x = -3 هي f( -3) = 81
له قيمة عظمى عند x = 3 هي f(3) = 81
له قيمة صغرى عند x = 0 هي f (0) = 0
6) f(x)= 2x3 - 6x + 4
f' (x) = 6 x2 - 6
6 x2 - 6 = 0
6 ( x2 - 1 ) = 0
x = 1 or x= - 1
له قيمة عظمى عند x = -1 هي f( - 1) = 8
له قيمة صغرى عند x = 1 هي f (1) = 0
7) f(x)= x3 - 12x - 4
f '(x) = 3x 2 - 12
3 x2 - 12 = 0
3 x2 = 12
x2 = 4
x = 2 or x = -2
له قيمة عظمى عند x =-2 هي f( - 2) = 12
له قيمة صغرى عند x =2 هي f(2) = -20
8) f(x)= 2x 3+ 7
f '(x) = 6 x2
6 x2 = 0
x 2 = 0
x = 0
له قيمة صغرى عند x = 0 هي f( 0 ) = 0
9) f(x) = x3 - 2x + 4
له قيمة عظمى عند هي
له قيمة صغرى عند هي
10) f(x) = x3+ x2- 8x + 54
f' (x) = 3 x2 + 2x - 8
3 x2 + 2x - 8 = 0
( 3x - 4) ( x+2) = 0
له قيمة عظمى عند x = -2 هي f( - 2) = 66
له قيمة صغرى عند هي
يمثل الاقتران h(t)= 1.2 + 19.6t - 4.9t2 ارتفاع سهم عن سطح الارض بالمتر بعد t ثانية من اطلاقه:
11) اجد سرعة السهم بعد 3 ثوان
12) استعمل المشتقة لايجاد اقصى ارتفاع يصله السهم
h '(x) = 19.6 - 9.8t
h '(3) = 19.6 - 9.8 (3)
= - 9.8
عند أقصى ارتفاع تكون السرعة صفر
19.6 - 9.8 t =0
9.8t = 16.9
13) يمثل الاقتران A(x)=x(50-x) مساحة مستطيل، حيث x الطول بالمتر . ما اكبر مساحة ممكنة للمستطيل؟
A (x) = 50 x - x2
A'(x) = 50 - 2x
50 - 2x = 0
2x = 50
x = 25
A( 25 ) = 50 (25) - 25 2 = 625
14) للاقتران f(x)= 3x4 - 10x 3 + 6x2 + 3 ثلاث نقاط حرجة. اجد احداثيات هذه النقاط، مصنفا اياها الى عظمى، وصغرى محلية
صغرى محلية ( 3 ,0)
عظمى محلية ( 3.4 , 0.5)
صغرى محلية ( 5 - , 2 )
15) اجد قيمة الثابت k اذا كان للاقتران قيمة حرجة عندما x=3
لدى مزارع 180m من الشباك، اراد ان يصنع منها حظائر لاغنامه، طول كل منها x متر، وعرضها y مترا كما في الشكل المجاور:
16) ابين ان العلاقة بين x و y في y= 18 - 1.2x
17) ابين ان الاقتران A(x)=144x-9.6x2 يمثل المساحة الكلية للحظائر
18) استعمل المشتقة لايجاد قيمة x التي تجعل المساحة الكلية للحظائر اكبر ما يمكن
19) اجد اكبر مساحة كلية ممكنة للحظائر
16
12x + 10y = 180
1.2x + y = 18
y = 18 - 1.2 x
17
A(x) = 4x ( 2y)
= 4x (2 )( 18 - 1.2 x )
= 8x ( 18 - 1.2 x)
= 144x - 9.6 x2
18
19
A( 7.5 ) = 144 (7.5) - 9.6 ( 7.5)2
= 540
20) برهان: اثبت ان الاقتران f(x)=2x3+3x2+4x ليس له قيم حرجة
f' (x) = 6 x2 +6x + 4
6 x2 +6x +4 = 0
3 x 2 + 3x +2 = 0
المميز سالب بالتالي لا يوجد أصفار للمشتقة بالتالي لا يوجد قيم حرجة
مهارات التفكير العليا
21) تبرير: اجد قيمتي الثابتين a,b اذا كان للاقتران f(x) = x2 + ax + b قيمة حرجة عند النقطة (1,3)، ثم احدد نوع القيمة الحرجة، مبررا اجابتي
f (1) = 3
f'(1) = 0
f(1) = 3
f(1) = 1 +a + b
3 = 1 + a + b
2 = a + b
f' (1) = 0
f'(x) = 2x + a
f'(1) = 2 + a
0 = 2 +a
a = -2
f'(x) = 2x - 2
2x -2 = 0
x = 1
صغرى محلية ( 3 , 1)
يبين الشكل المجاور المثلث AFE الذي تقع رؤوسه على اضلاع المستطيل ABCD:
22) اعتمادا على القياسات المعطاة في الشكل، ابين ان الاقتران يمثل مساحة المثلث AFE
23)استعمل المشتقة لايجاد قيمة x التي تجعل مساحة المثلث AFE اصغر ما يمكن
مساحة المثلث الأزرق = مساحة المستطيل - ( مساحة المثلث 1 + مساحة المثلث 2 + مساحة المثلث 3 )
24) تحد: سلك طوله 20cm، يراد قصه لهمل مربع ودائرة. احدد موقع القص بحيث يكون مجموع مساحتي المربع والدائرة اصغر ما يمكن
A1 = x 2 مساحة المرع
d1 = 4x محيط المربع
A2 = r2 مساحة الدائرة
d2 = 2 r محيط الدائرة
موقع القص يكون تقريبا على بعد من طرف السلك ليكون هذا الجزء مربعا ، ويكون الجزء الآخر دائرة محيطها
كتاب التمارين صفحة 17
اجد القيم العظمى والقيم الصغرى لكل من الاقترانات الاتية (ان وجدت):
1) f(x)=2
لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى
2) f(x)= -3
لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى
3) f(x)=2x-1
لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى
4) f(x)=5x+3
لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى
5) f(x) = x2 + 2x + 1
له قيمة صغرى عندما x = -1 هي : 0
6) f(x)= x2 - 8x + 7
له قيمة صغرى عندما x = 4 هي :9 -
7) f(x)= x3 - 6x2 + 5
له قيمة عظمى عندما x = 0 هي : 5
له قيمة صغرى عندما x = 4 هي : 27 -
8) f(x)= x3 + 6x2 - 15x
له قيمة عظمى عندما x = -5 هي : 100
له قيمة صغرى عندما x = 1 هي : 8 -
9) f(x)=x3(4-x)
له قيمة عظمى عندما x = 3 هي : 27
10) f(x)= (x+1) (x-2)
له قيمة صغرى عندما x = 0.5 هي : 2.25 -
11) اجد قيمة الثابت k، علما بان للاقتران f(x)=kx2+x قيمة حرجة عندما x=1
k = - 0.5
12) اجد العددين الموجبين اللذين مجموعهما 150، وحاصل ضربهما اكبر ما يمكن
x =75 , y = 75
13) يمثل الاقتران A(x)=x(9-x) مساحة غرفة مستطيلة في مخطط اعدته المهندسه شفاء، حيث x الطول بالمتر . اجد اكبر مساحة ممكنة للغرفة
20. 25 m2
يمثل الشكل المجاور حديقة محيطها 80m، وهي على شكل مستطيل 2xمترا، وعرضه y مترا، وبجانبه نصف دائرة:
14) ابين ان الاقتران يمثل مساحة الحديقة
15) استعمل المشتقة لايجاد قيمة x التي تجعل مساحة الحديقة اكبر ما يمكن
x = 11. 202
16) اجد اكبر مساحة للحديقة
448.08 m2
17) اجد قيمتي الثابتين a,b اذا كان للاقتران قيمة حرجة عند النقطة (3-,4-)، ثم احدد نوع القيمة الحرجة، مبررا اجابتي
a = 2 , b = 1
صغرى ؛ لأن إشارة المشتقة تتغير من سالبة قبل 4- إلى موجبة بعدها , حيث :
f'(-5) = -0.5 , f'(-2) = 1