رياضيات فصل ثاني

العاشر

icon

اتحقق من فهمي صفحة 71

اجد القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية للاقتران g(x)=2x3-6x-15 (ان وجدت)

 g'(x) = 6x2  - 6 6x2 - 6  = 06 ( x2 - 1)  = 0 x2 - 1 = 0 x = ±1

له قيمة عظمى عند  x = -1  هي  f ( -1 ) = -11

له قيمة صغرى عند  x = 1  هي  f (1) = -19 


اتحقق من فهمي صفحة 72

يمثل الاقتران h(t)=20t - 5t2 ارتفاع حجر عن سطح الأرض بالمتر بعد t ثانية من قذفه الى الأعلى: 

a) أجد سرعة الحجر بعد ثانيتين من قذفه 

b) اجد اقصى ارتفاع يصله الحجر 

h '(t) = 20 - 10t 

h'(t) = 20 - 10 (2)

= 20 - 20

=  0

عند أقصى ارتفاع تكون السرعة تساوي صفر 

 20 -10 t = 0

10t = 20

t = 2

h(t) = 20(2) - 5 (2)2  

= 40 - 20 = 20


اتحقق من فهمي صفحة 74

يبين الشكل المجاور صورة مستطيلة الشكل، محيطها 72cm، ومساحتها Acm2

a) ابين ان الاقتران A(x)= 36x- xيمثل مساحة الصورة 

b) اجد A’(x) 

c) استعمل المشتقة لايجاد قيمة x تجعل مساحة الصورة اكبر ما يمكن 

d) اجد اكبر مساحة ممكنة للصورة 

a . 

2 x +2y = 72

x +y = 36 

y = 36 - x 

A = x y 

= x ( 36 - x)  

= 36 x - x2

b.

A'(x) = 36 -2x

c.

36 -2x = 0

2x = 36

x = 18 

d.

A( 18) = 36 (18) - (18) 2

= 324

 


اتدرب واحل المسائل صحفة 74

استعمل المشتقة لايجاد القيم العظمى والقيم المحلية الصغرى لكل من الاقترنات الاتية (ان وجدت): 

1) f(x)= x-4x + 3 

                                                                                           f'(x) =2x-4           2x-4=0            2x=4             x=2  

    

له قيمة صغرى عند  x = 2  هي  f(2) = - 1 

2) f(x)=x+ 6x - 3

f'(x) = 2x +6 

2x + 6 = 0

2 x = -6 

x = -3

له قيمة صغرى عند x = -3  هي f (-3) = -12 

3) f(x)= 1 + 5x - x2

f'( x) = 5 - 2x 

5 - 2x = 0

2x = 5 

x = 2.5 

له قيمة عظمى عند  x = 2.5  هي   f ( 2.5 ) = 714

4) f(x)= x+ 1.5 x- 18x

f '(x) = 3x 2 +3x  -18

3x 2 + 3x - 18 = 0

2  +x - 6 = 0

( x +3 )( x -2) = 0

x = -3  or  x = 2

 له قيمة عظمى عند  x = -3  هي  f( -3) = 40.5 

له قيمة صغرى عند  x = 2  هي  f(2) =  -22

 

5) f(x) = 18 x- x4

f '(x) = 36x - 4 x3

36 x - 4 x3 = 0

4x ( 9 - x2 ) = 0

x = 0  or x = ±3

له قيمة عظمى عند x = -3  هي  f( -3) = 81

له قيمة عظمى عند x = 3 هي f(3) = 81

له قيمة صغرى عند  x = 0 هي f (0) = 0 

 

6) f(x)= 2x- 6x + 4

f' (x) = 6 x2 - 6

 6 x2 - 6 = 0

6 ( x2 - 1 ) = 0

x = 1 or  x=  - 1 

له قيمة عظمى عند x = -1  هي  f( - 1) = 8

 له قيمة صغرى عند  x = 1  هي f (1) = 0

7) f(x)= x- 12x - 4

f '(x) = 3x 2 - 12

3 x2 - 12 = 0

3 x2 = 12

x2 = 4

x = 2  or x = -2 

 

له قيمة عظمى عند x =-2  هي  f( - 2) = 12

 له قيمة صغرى عند  x =2  هي f(2) = -20

8) f(x)= 2x 3+ 7

f '(x) = 6 x2 

6 x2 = 0

= 0

x = 0

له قيمة صغرى عند x = 0  هي f( 0 ) = 0

9)  f(x) = x- 2x + 4

 

f '(x) =  3x2  -2 3 x2  - 2 = 0x2 = 23 x = ±23+++---+++-23  23

 

له قيمة عظمى عند  x =  - 23  هي   f ( -23) = 5.1

له قيمة صغرى عند  x = 23  هيf (23) = 2.9  

10) f(x) = x3+ x2- 8x + 54

f' (x) = 3 x2 + 2x  - 8

3 x2 + 2x  - 8 = 0

( 3x - 4) ( x+2) = 0

x = 4 3 or  x = -2 +++---+++-243

له قيمة عظمى عند  x = -2  هي  f( - 2) = 66

له قيمة صغرى عند x =43  هي f (43) = 47.5


يمثل الاقتران h(t)= 1.2 + 19.6t - 4.9t2 ارتفاع سهم عن سطح الارض بالمتر بعد t ثانية من اطلاقه: 

11) اجد سرعة السهم بعد 3 ثوان 

12) استعمل المشتقة لايجاد اقصى ارتفاع يصله السهم 

h '(x) = 19.6 - 9.8t 

h '(3) = 19.6 - 9.8 (3) 

= - 9.8

عند أقصى ارتفاع تكون السرعة صفر 

19.6 - 9.8 t =0

9.8t = 16.9

t = 19. 69.8 = 2h(2) = 1.2 + 19.6(2)  - 4.9 (2)2 = 20.8 


13) يمثل الاقتران A(x)=x(50-x) مساحة مستطيل، حيث x الطول بالمتر . ما اكبر مساحة ممكنة للمستطيل؟ 

A (x) = 50 x -  x2

A'(x) = 50 - 2x 

50 - 2x = 0

2x = 50

x = 25

A'(x)+++---25

A( 25 ) =  50 (25) - 25 2 = 625 


14) للاقتران f(x)= 3x- 10x + 6x+ 3 ثلاث نقاط حرجة. اجد احداثيات هذه النقاط، مصنفا اياها الى عظمى، وصغرى محلية 

f'(x) = 12 x3 - 30 x2 +12 x12 x3 - 30 x2 + 12 x = 06x ( 2x2  -5x +2 ) =06x ( 2x -1 )( x -2) = 0x = 0   or    x =12  or   x =2f'(x)---+++---+++0122 

صغرى محلية ( 3 ,0)

عظمى محلية ( 3.4 , 0.5)

صغرى محلية  ( 5 - , 2 )


15) اجد قيمة الثابت k اذا كان للاقتران f(x)=x2+1kx قيمة حرجة عندما x=3 

f'(x) = 2x + 1kf'(3) = 00 = 6 +1k-6 =1kk = -16


لدى مزارع 180m من الشباك، اراد ان يصنع منها حظائر لاغنامه، طول كل منها x متر، وعرضها y مترا كما في الشكل المجاور: 

16) ابين ان العلاقة بين x و y في y= 18 - 1.2x

17) ابين  ان الاقتران A(x)=144x-9.6x2  يمثل المساحة الكلية للحظائر 

18) استعمل المشتقة لايجاد قيمة x التي تجعل المساحة الكلية للحظائر اكبر ما يمكن 

19) اجد اكبر مساحة كلية ممكنة للحظائر 

16

12x  + 10y = 180

1.2x + y = 18

y = 18 - 1.2 x

17

A(x) = 4x ( 2y) 

= 4x (2 )(  18 - 1.2 x )

= 8x ( 18 - 1.2 x)

= 144x  - 9.6 x2

18

A(x) = 144 x - 9.6 x2A'(x) = 144 - 19.2 x144 - 19.2 x = 0x = 14419.2= 7.5

19

A( 7.5 ) = 144 (7.5) - 9.6 ( 7.5)2

= 540


20) برهان: اثبت ان الاقتران f(x)=2x3+3x2+4x ليس له قيم حرجة 

f' (x) = 6 x2 +6x + 4

6 x2 +6x +4 = 0

3 x 2 + 3x +2 = 0

المميز سالب بالتالي لا يوجد أصفار للمشتقة بالتالي لا يوجد قيم حرجة 


مهارات التفكير العليا
21) تبرير: اجد قيمتي الثابتين a,b اذا كان للاقتران f(x) = x+ ax + b  قيمة حرجة عند النقطة (1,3)، ثم احدد نوع القيمة الحرجة، مبررا اجابتي 

f (1) = 3

f'(1) = 0

f(1) = 3 

f(1) =  1 +a + b 

3 = 1 + a + b 

2 = a + b

f' (1) = 0

f'(x) = 2x + a

f'(1) = 2 + a

0 = 2 +a 

a = -2 

 

f'(x) = 2x - 2

2x -2 = 0

x = 1

 

f'(x)---+++1

صغرى محلية ( 3 , 1)


يبين الشكل المجاور المثلث AFE الذي تقع رؤوسه على اضلاع المستطيل ABCD: 

22) اعتمادا على القياسات المعطاة في الشكل، ابين ان الاقتران H(x)=24-4x+12x2 يمثل مساحة المثلث AFE

23)استعمل المشتقة لايجاد قيمة x التي  تجعل مساحة المثلث AFE اصغر ما يمكن 

 

مساحة المثلث الأزرق = مساحة المستطيل - ( مساحة المثلث 1 +  مساحة المثلث 2 + مساحة المثلث 3 )

H(x) = 8 (6) - [(12 (x) ( 6-x)) + (12(8)(x)) + (12(6)(8 -x))]        = 48 -[( 12 ( 6x - x2 ) ) + 4x + (3 ( 8 -x))]       = 48 - [3x - 12 x2  + 4x + 24 -3x ]       = 48 - [-12 x2 +  4x + 24 ] H(x)  = 48 +12x2   - 4x - 24 H'(x) = x - 4x - 4 = 0x = 4                     H'(x)---+++4 


24) تحد: سلك طوله 20cm، يراد قصه لهمل مربع ودائرة. احدد موقع القص بحيث يكون مجموع مساحتي المربع والدائرة اصغر ما يمكن 

A1 = x مساحة المرع 

d= 4x  محيط المربع

A2 = π r2 مساحة الدائرة 

d2 = 2  π  r  محيط الدائرة 

     4x + 2πr = 20  x =20 - 2πr4A = x2  + π r2   = (20 -2 πr4)2 + π r2   = (5 - 12πr)2   + π r2  = 25 - 5 π r + 14 (πr)2  + π r2 = (14  π2  + π)r2  - 5πr +25 r  ل  بالنسبة  الاشتقاق حصل A'( r) = (12  π2  + 2 π)r - 5π 0 = (12 π2 + 2π)r - 5π   r  1.4  x  2.8 

موقع القص يكون تقريبا على بعد  4 (2.8) = 11.2 cm  من طرف السلك ليكون هذا الجزء مربعا ،  ويكون الجزء الآخر دائرة محيطها 20 - 11.2 = 8.8 cm 


كتاب التمارين صفحة 17

اجد القيم العظمى والقيم الصغرى لكل من الاقترانات الاتية (ان وجدت): 

1) f(x)=2

لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى  

2) f(x)= -3

لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى 

3) f(x)=2x-1

لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى 

4) f(x)=5x+3

لا يوجد قيم عظمى وقيم صغرى 

5) f(x) = x+ 2x + 1

 له قيمة صغرى عندما x = -1 هي : 0

6) f(x)= x- 8x + 7 


له قيمة صغرى عندما x = 4  هي :9  - 

7) f(x)= x- 6x+ 5 

له قيمة عظمى عندما x = 0 هي : 5  

له قيمة صغرى عندما x = 4 هي :  27 - 

8) f(x)= x+ 6x- 15x 

له قيمة عظمى عندما x =   -5 هي : 100

له قيمة صغرى عندما x = 1  هي : 8 - 

9) f(x)=x3(4-x) 

له قيمة عظمى عندما x = 3 هي :  27  

10) f(x)= (x+1) (x-2) 

له قيمة صغرى عندما x = 0.5  هي : 2.25 - 


11) اجد قيمة الثابت k، علما بان للاقتران f(x)=kx2+x  قيمة حرجة عندما x=1

 k = - 0.5 


12) اجد العددين الموجبين اللذين مجموعهما 150، وحاصل ضربهما اكبر ما يمكن 

x =75  ,  y = 75 


13) يمثل الاقتران A(x)=x(9-x) مساحة غرفة مستطيلة في مخطط اعدته المهندسه شفاء، حيث x الطول بالمتر . اجد اكبر مساحة ممكنة للغرفة 

 

20. 25 m2


يمثل الشكل المجاور حديقة محيطها 80m، وهي على شكل مستطيل 2xمترا، وعرضه y مترا، وبجانبه نصف دائرة:

14) ابين ان الاقتران A(x)=80x-(2+π2)x2 يمثل مساحة الحديقة 

x +2y + πx = 80   y = 40 - π2x - xA(x) = 2xy + 12 π x2      = 2x ( 40 - π2x - x) + 12π x2      = 80x - πx2  - 2x2  + 12π x2     = 80x - ( π2 +2) x2

15) استعمل المشتقة لايجاد قيمة x التي تجعل مساحة الحديقة اكبر ما يمكن 

x = 11. 202

16) اجد اكبر مساحة للحديقة

448.08 m2

17) اجد قيمتي الثابتين a,b  اذا كان للاقتران f(x)=14x2+ax+b قيمة حرجة عند النقطة (3-,4-)، ثم احدد نوع القيمة الحرجة، مبررا اجابتي 

a = 2 , b = 1 

صغرى ؛ لأن إشارة المشتقة تتغير من سالبة قبل 4- إلى موجبة بعدها , حيث :

f'(-5) = -0.5 , f'(-2) = 1