رياضيات فصل أول

حلول أسئلة أتحقق من فهمي 

1) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{1}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.111... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.111...\right) \\ 10\mathrm{x}=1.11.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=1+0.111.... \\ 10\mathrm{x}=1+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.111

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=1 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{1}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{1}{9} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{1}$ على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ كما يأتي $\frac{1}{9}$

2) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{2}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.222... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.222...\right) \\ 10\mathrm{x}=2.22.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=2+0.222.... \\ 10\mathrm{x}=2+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.222

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=2 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{2}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{2}{9} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{2}$ على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ كما يأتي $\frac{2}{9}$

3) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{5}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.555... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.555...\right) \\ 10\mathrm{x}=5.55.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=5+0.555.... \\ 10\mathrm{x}=5+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.555

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=5 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{5}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{5}{9} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{5}$ على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ كما يأتي $\frac{5}{9}$

4) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{8}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.888... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.888...\right) \\ 10\mathrm{x}=8.88.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=8+0.888.... \\ 10\mathrm{x}=8+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.888

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=8 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{8}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{8}{9} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{8}$ على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ كما يأتي $\frac{8}{9}$
 

إذا كانَ عددُ الحيواناتِ جميعِها في الحديقةِ 88 حيوانًا، والكسرُ الدالُّ على الحيواناتِ المفترِسةِ فيها $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{18}}$ فأجِدُ عددَ الحيواناتِ المفترِسةِ. 

أكتب الكسر العشري الدوري على صورة كسر a/b 

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.1818... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.1818...\right) \\ 100\mathrm{x}=18.18.... \end{gathered}$$                         أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=18+0.1818.... \\ 100\mathrm{x}=18+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.1818

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=18 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{18}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11} \end{gathered}$$                         أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 99 

أضرب عدد الحيوانات في الحديقة في الكسر الدال على عدد الحيوانات المفترسة.

$\frac{2}{11}\times 88=16$                                             عدد الحيوانات المفترسة يساوي 16

 

أكتبُ العددَ العشريَّ الدوريَّ على صورةِ عددٍ كسريٍّ في ما يأتي: 

1) $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{1}\overline{\mathbf{6}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=1.166... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(1.166...\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=11.66.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=10.5+1.166.. \\ 10\mathrm{x}=10.5+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=1.166

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=10.5 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{10.5}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=1\frac{1.5}{9} =1\frac{1}{6} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 ، أكتب الكسر الغير فعلي على صورة عدد كسري 

2) $\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\overline{\mathbf{7}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=3.277... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(3.277...\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=32.77.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=29.5+3.277.. \\ 10\mathrm{x}=29.5+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=3.277

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=29.5 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{29.5}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=3\frac{2.5}{9} =3\frac{5}{18} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 ، أكتب الكسر الغير فعلي على صورة عدد كسري 

---

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ الكسرَ العشرِيَّ الدوريَّ على صورةِ كَسْرٍ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ في ما يأتي:

1) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{6}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.666... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.666...\right) \\ 10\mathrm{x}=6.66.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=6+0.666.... \\ 10\mathrm{x}=6+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.666

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=6 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{6}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{6}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{2}{3}$

2) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{7}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.777... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.777...\right) \\ 10\mathrm{x}=7.77.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=7+0.777.... \\ 10\mathrm{x}=7+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.777

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=7 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{7}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{7}{9} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{7}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{7}{9}$

3) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{3}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.333... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.333...\right) \\ 10\mathrm{x}=3.33.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=3+0.333.... \\ 10\mathrm{x}=3+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.333

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=3 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{3}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{3}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{1}{3}$

4) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{9}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.999... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.999...\right) \\ 10\mathrm{x}=9.99.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=9+0.999.... \\ 10\mathrm{x}=9+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.999

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=9 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{9}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{9}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي 1

5) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{13}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.1313... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.1313...\right) \\ 100\mathrm{x}=13.13.... \end{gathered}$$                         أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=13+0.1313.... \\ 100\mathrm{x}=13+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.1313

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=13 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{13}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{13}{99} \end{gathered}$$                         أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 99 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{13}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{13}{99}$

6) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{37}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.3737... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.3737...\right) \\ 100\mathrm{x}=37.37.... \end{gathered}$$                         أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=37+0.3737.... \\ 100\mathrm{x}=37+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.3737

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=37 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{37}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{37}{99} \end{gathered}$$                         أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 99 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{37}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{37}{99}$

7) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{15}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.1515... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.1515...\right) \\ 100\mathrm{x}=15.15.... \end{gathered}$$                        أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=15+0.1515.... \\ 100\mathrm{x}=15+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.1515

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=15 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{15}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{15}{99}=\frac{5}{33} \end{gathered}$$                         أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 99 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{15}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{5}{33}$

8) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{33}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.3333... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.3333...\right) \\ 100\mathrm{x}=33.33.... \end{gathered}$$                         أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=33+0.3333.... \\ 100\mathrm{x}=33+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=0.3333

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=33 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{33}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{33}{99}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$                         أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 99 

اذن ، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $0.\overline{33}$  على صورةِ كسرٍ a/b كما يأتي $\frac{1}{3}$

 

أكتبُ العددَ العشريَّ الدوريَّ على صورةِ عددٍ كسريٍّ في ما يأتي:

9) $\mathbf{1}\mathbf{.}\overline{\mathbf{14}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=1.1414... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(1.1414...\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 100\mathrm{x}=114.1414.... \end{gathered}$$                         أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=113+1.1414.. \\ 100\mathrm{x}=113+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=1.1414

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=113 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{113}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=1\frac{14}{99} \end{gathered}$$                          أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 ، أكتب الكسر الغير فعلي على صورة عدد كسري 

10) $\mathbf{2}\mathbf{.}\overline{\mathbf{13}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=2.1313... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(1.1313...\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 100\mathrm{x}=213.1313.... \end{gathered}$$                         أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100 ؛ لأنَّ لأنَّ منزلتين تتكرَّران ، وأحرك الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 100\mathrm{x}=211+2.1313.. \\ 100\mathrm{x}=211+\mathrm{x} \end{gathered}$$                         أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=2.1313

$$\begin{gathered} 99\mathrm{x}=211 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{211}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=2\frac{13}{99} \end{gathered}$$                           أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 ، أكتب الكسر الغير فعلي على صورة عدد كسري 

11) $\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{3}\overline{\mathbf{4}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=5.344... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(5.344...\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=53.44.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=48.1+5.344.. \\ 10\mathrm{x}=48.1+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=5.344

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=48.1 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{48.1}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{481}{90}=5\frac{31}{90} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 ، أكتب الكسر الغير فعلي على صورة عدد كسري 

12) $\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{2}\overline{\mathbf{5}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=4.255... \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(4.255...\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=42.55.... \end{gathered}$$                                أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ ، وأحرك الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ

$$\begin{gathered} 10\mathrm{x}=38.3+4.255.. \\ 10\mathrm{x}=38.3+\mathrm{x} \end{gathered}$$                                أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ ، ثم أعوض ..x=4.255

$$\begin{gathered} 9\mathrm{x}=38.3 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{38.3}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{383}{90} =4\frac{23}{90} \end{gathered}$$                                أطرح x من الطرفين ، ثم أقسم الطرفين على 9 ، أكتب الكسر الغير فعلي على صورة عدد كسري 

 

13) أكملُ الجدولَ الآتيَ، وأبحثُ عنْ نمطٍ، ثمَّ أصِفُ قاعدتَهُ.

الكسرُ العشريُّ الدوريُّ	$\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{1}}$	$\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{2}}$	$\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{3}}$	$\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{4}}$	$\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{5}}$
صورة الكسر $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{3}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{9}$

القاعدة : عند كتابة الكسر العشري الدوري المكون من منزلة واحدة على صورة كسر فعلي فاننا نكتب العدد الدوري في البسط وفي المقام نكتب العدد 9

 

14) ذهبٌ: اشترَتْ سناءُ خاتمًا منَ الذّهَبِ كتلتُهُ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{7}}$ غم أكتبُ كتلةَ الخاتمِ على صورةِ كَسْرٍ فِعْلِيٍّ. 

باستخدام قاعدة تحويل الكسر العشري الدوري المكون من منزلة واحدة على صورة كسر فعلي

$0.\overline{7}=\frac{7}{9}$

 

15) حلوياتٌ: استخدمَ رامي $\mathbf{1}\mathbf{.}\overline{\mathbf{27}}$كوبًا منَ السكَّرِ لتحضيرِ فطيرةٍ. ما العددُ الكسريُّ الدالُّ على كمّيّةِ السكَّرِ التي استخدمَها رامي؟

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=1.2727.. \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(1.2727..\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 100\mathrm{x}=127.2727.... \\ 100\mathrm{x}=126+1.2727. \\ 100\mathrm{x}=126+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=126 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{126}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=1\frac{27}{99}=1\frac{3}{11} \end{gathered}$$                       أكتب العدد العشري الدوري$1.\overline{27}$  على صورة كسر a/b

16) زراعةٌ: سقى مزارعٌ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{13}}$ منْ أشجارِ مزرعتِهِ التي تحتوي على 99 شجرةً. ما عددُ الأشجارِ التي لمْ يَسْقِها بعدُ؟

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.1313... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.1313...\right) \\ 100\mathrm{x}=13.13.... \\ 100\mathrm{x}=13+0.1313.... \\ 100\mathrm{x}=13+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=13 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{13}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{13}{99} \end{gathered}$$                         أكتب الكسر العشري الدوري $0.\overline{13}$ على صورة كسر a/b

أضرب عدد الأشجار في المزرعة في الكسر الدال على عدد الأشجار التي سقيت 

$\frac{13}{99}\times 99=13$

أجد عدد الأشجار التي لم يسقها المزارع

$99-13=86$                                         عدد الأشجار التي لم يسقها المزارع 86

 

17) أجِدُ قيمةَ $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{32}\overline{\mathbf{7}}\mathbf{\times }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$ 

اكتب $0.32\overline{7}$ , 0.5  على صورة كسر a/b 

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.32777.. \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(0.32777..\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=3.2777.... \\ 10\mathrm{x}=2.95+0.3277 \\ 10\mathrm{x}=2.95+\mathrm{x} \\ 9\mathrm{x}=2.95 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{2.95}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{295}{900}=\frac{59}{180} \end{gathered}$$                         أكتب الكسر العشري الدوري$0.32\overline{7}$  على صورة كسر a/b

أجد ناتج الضرب 

$\frac{59}{180}\times \frac{5}{10}=\frac{59}{360}$

 

18) تبريرٌ: أكتبُ الكسريْنِ العَشْرِيَّيْنِ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{15}\mathbf{ }}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{15}\mathbf{ }$ على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ ثمَّ أقارنُ بينَها. 

$$\begin{gathered} 0.15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20} \\ 0.\overline{15}= \frac{15}{99} =\frac{5}{33} \end{gathered}$$                               صيغة الكسرين على صورة a/b 

$$\begin{gathered} \frac{5}{33}\boxed{}\frac{3}{20} \\ \frac{100}{660}>\frac{99}{660} \\ 0.\overline{15} >0.15 \end{gathered}$$                                       نقارن الكسرين بعد توحيد المقامات 

 

19) أكتشفُ الخطأَ: يقولُ أحمدُ إنَّ ناتجَ ضَرْبِ عددٍ صحيحٍ غيرِ الصفرِ في عددٍ عشريٍّ دوريٍّ يبقى دوريًّا. هلْ قولُ أحمدَ صحيحٌ، مُبرِّرًا إجابتي؟

الجملة ليست دائما صحيحة، فعند ضرب $0.\overline{3}\times 0.3$ فإن الناتج 1 ، وهو ليس عددا دوري. 

 

20) تحدٍّ: أجدُ ناتجَ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{3}}\mathbf{\times }\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{4}}$

باستخدام قاعدة تحويل الكسر العشري الدوري المكون من منزلة واحدة على صورة كسر فعلي

$0.\overline{3}\times 0.\overline{4}=\frac{3}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{4}{27}$

 

21) أكتبُُ كيفَ أكتبُ الكسرَ العشريَّ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{6}}$ على صورةِ كسرٍ عاديٍّ؟

القاعدة : عند كتابة الكسر العشري الدوري المكون من منزلة واحدة على صورة كسر فعلي فاننا نكتب العدد الدوري في البسط وفي المقام نكتب العدد 9

$0.\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين 

 أكتبُ الكسرَ العشرِيَّ الدوريَّ على صورةِ كَسْرٍ$\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

1) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{04}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.0404... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.0404...\right) \\ 100\mathrm{x}=04.04.... \\ 100\mathrm{x}=04+0.0404.... \\ 100\mathrm{x}=04+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=04 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{04}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{4}{99} \end{gathered}$$

2) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{06}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.0606... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.0606...\right) \\ 100\mathrm{x}=06.06.... \\ 100\mathrm{x}=06+0.0606.... \\ 100\mathrm{x}=06+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=06 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{06}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{6}{99} \end{gathered}$$

3) $\mathbf{1}\mathbf{.}\overline{\mathbf{7}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=1.777.. \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(1.777..\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=17.77.... \\ 10\mathrm{x}=16+1.77 \\ 10\mathrm{x}=16+\mathrm{x} \\ 9\mathrm{x}=16 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{16}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{16}{9} \end{gathered}$$

4) $\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{1}\overline{\mathbf{5}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=2.1555.. \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(2.1555..\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=21.555.... \\ 10\mathrm{x}=19.4+2.1555.. \\ 10\mathrm{x}=19.4+\mathrm{x} \\ 9\mathrm{x}=19.4 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{19.4}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{19.4}{9} \end{gathered}$$

5) $\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{2}\overline{\mathbf{4}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=3.2444.. \\ \mathbf{10}\mathrm{x}=\mathbf{10}\left(3.2444..\right)\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 10\mathrm{x}=32.444.... \\ 10\mathrm{x}=29.2+3.2444.. \\ 10\mathrm{x}=29.2+\mathrm{x} \\ 9\mathrm{x}=29.2 \\ \frac{9\mathrm{x}}{\mathbf{9}}=\frac{29.2}{\mathbf{9}} \\ \mathrm{x}=\frac{29.2}{9} \end{gathered}$$

6) $\mathbf{5}\mathbf{.}\overline{\mathbf{61}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=5.6161... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(5.6161...\right) \\ 100\mathrm{x}=561.61... \\ 100\mathrm{x}=556+5.6161... \\ 100\mathrm{x}=556+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=556 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{556}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{556}{99} \end{gathered}$$

 

7) اذا كان عدد أشجار التفاح في البستان هو $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{65}}$ من مجموع الأشجار . أكتب العدد $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{65}}$ على صورة كسر  $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.6565... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.6565...\right) \\ 100\mathrm{x}=65.65.... \\ 100\mathrm{x}=65+0.6565.... \\ 100\mathrm{x}=65+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=65 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{65}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{65}{99} \end{gathered}$$

 

8) تحدد نسبة ربح تاجر بقسمة المبلغ الذي ربحه على رأس المال . اذا كانت نسبة ربح تاجر في إحدى الصفقات التجارية  $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{23}}$ . أكتب نسبة الربح على صورة كسر $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=0.2323... \\ \mathbf{100}\mathrm{x}=\mathbf{100}\left(0.2323...\right) \\ 100\mathrm{x}=23.23.... \\ 100\mathrm{x}=23+0.2323.... \\ 100\mathrm{x}=23+\mathrm{x} \\ 99\mathrm{x}=23 \\ \frac{99\mathrm{x}}{\mathbf{99}}=\frac{23}{\mathbf{99}} \\ \mathrm{x}=\frac{23}{99} \end{gathered}$$

 

أجد الناتج بتحويل الكسور العشرية الى صورة كسر $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

القاعدة : عند كتابة الكسر العشري الدوري المكون من منزلة واحدة على صورة كسر فعلي فاننا نكتب العدد الدوري في البسط وفي المقام نكتب العدد 9​​​​​

9) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{8}}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{5}}$

$\frac{8}{9}-\frac{5}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=0.\overline{3}$

10) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{6}}$

$\frac{1}{9}+\frac{6}{9}=\frac{7}{9}=0.\overline{7}$

11) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{4}}$

$\frac{2}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{8}{81}$

12) $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{6}}\mathbf{÷}\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{4}}$

$$\begin{gathered} \frac{6}{9}÷\frac{4}{9}=\frac{6}{9}\times \frac{9}{4}=\frac{6}{4} \\ =\frac{3}{2} \\ =1.5 \end{gathered}$$

 

13) دراسة : قضى علي $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{3}}$ من وقته في حل واجب الرياضيات فإذا احتاج 54 دقيقة لحل واجباته جميعها فكم دقيقة قضاها علي في حل واجب الرياضيات

أكتب $0.\overline{3}$ على صورة كسر وتساوي حسب قاعدة التحويل $0.\overline{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}\times 54=18$ قضى علي 18 دقيقة في حل واجب الرياضيات