رياضيات7 فصل أول

مفهوم أساسي: 

يمكنُ استخدامُ حلِّ المعادلاتِ وخصائصِ المساواةِ لكتابةِ أيِّ كسرٍ عشريٍّ دوريٍّ (Repeating decimal) على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$ حيثُ a,b عددانِ صحيحانِ، وَ $\mathbf{b}\mathbf{\ne }\mathbf{0}$

مثال1: أكتبُ الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{4}}$ على صورةِ كسرٍ  $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

                                                                                                                             $\mathrm{x}=0.444....$           

أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10 ؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ               $\mathbf{10}\left(\mathrm{x}\right)=\mathbf{10}\left(0.444444...\right)$                                  

أضربُ في 10 ، أُحَرِّكُ الفاصلةَ منزلةً واحدةً إلى اليمينِ                        $10\mathrm{x}=4.44444...$                                   

أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ                           $10\mathrm{x}=4+0.4444...$                                   

أعوض ...x=0.444                                                                               $10\mathrm{x}=4+\mathrm{x}$                                   

أطرح x منْ كِلا الطَّرَفيِْن                                                                     $9\mathrm{x}=4$                                     

أقسمُ كِلا الطَّرَفيِْ على 9                                                                    $\mathrm{x}=\frac{4}{9}$                                            

اذن، يكتب الكسرَ العشريَّ الدوريَّ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{4}}$ على صورةِ كسرٍ  $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ كما يأتي: $\frac{4}{9}$

 

توجدُ كسورٌ عشريّةٌ دوريّةٌ يتكرَّرُ فيها رَقْمانِ أوْ أكثرُ، ويمكنُنا أيضًا كتابةُ هذهِ الكسورِ العشريَّةِ الدوريَّةِ على الصّورةِ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

مثال 2: منَ الحياةِ تقدَّمَ 66 طالبًا إلى امتحانٍ في مادّةِ العلومِ، فكانَ الكسرُ العشريُّ الدّالُّ على نسبةِ النّجاحِ $\mathbf{0}\mathbf{.}\overline{\mathbf{81}}$ أجِدُ عدَدَ الناجحينَ. أعبِّرُ عنِ الكسرِ العشريِّ الدورِيِّ بمتغيِّرٍ مثلِ x ثمَّ أقومُ بالعمليّاتِ الآتيةِ؛ لأكتُبَهُ على صورةِ كسرٍ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

                                                                                              $\mathrm{x}=0.8181\dots$

أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 100؛ لأنَّ منزلتينِ تتكرَّرانِ            $\mathbf{100}\left(\mathrm{x}\right)=\mathbf{100}(0.8181\dots )$                                 

أضربُ في 100 ، أُحَرِّكُ الفاصلةَ منزلتين إلى اليمينِ              $100\mathrm{x}=81.8181.....$                                   

أجزِّئُ العددَ العشرِيَّ إلى عددٍ صحيحٍ وكسرٍ عشرِيٍّ             $100\mathrm{x}=81+ 0.8181\dots$                                   

    أعوض ...x=0.8181                                                           $100\mathrm{x}=81+\mathrm{x}$                               

أطرح x منْ كِلا الطَّرَفيِْن                                                     $99\mathrm{x}=81$                                     

أقسمُ كِلا الطَّرَفيِْ على 99                                                  $\mathrm{x}=\frac{81}{99}$                                             

أكتبُ الناتجَ في أبسطِ صورةٍ                                              $\mathrm{x}=\frac{9}{11}$                                         

لإيجادِ عددِ الطلبةِ الناجحينَ، أضربُ عددَ الطلبةِ في الكسرِ الدالِّ على نسبةِ النجاحِ.

أضربُ، ثمَّ أُبسِّطُ                                                                                           $66\times \frac{9}{11}=54$                                                 

إذنْ، عددُ الطلبةِ الناجحينَ هوَ 54 طالبًا.

 

توجدُ كسورٌ عشريّةٌ دوريّةٌ يتكرَّرُ فيها رَقْمانِ أوْ أكثرُ، في حينِ لا تتكرَّرُ أرقامٌ أخرى. فمثلً، الكسرُ العشريُّ $\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{3}\overline{\mathbf{2}}$ يتكرَّرُ فيهِ الرَّقْمُ 2 فقطْ، ولا يتكرَّرُ فيهِ الرَّقْمُ 3، ويمكنُ كتابةُ هذهِ الكسورِ العشريَّةِ الدوريّةِ على الصّورةِ $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$

مثال 3 أكتبُ العددَ العشريَّ الدوريَّ $\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{1}\overline{\mathbf{3}}$ على صورةِ عددٍ كسريٍّ.

أعبِّرُ عنْ $4.1\overline{3}$ بمتغير مثل x ثمَّ أُجري العمليّاتِ الآتيةَ؛ لأجدَ العددَ الكسريَّ الذي يمثِّلُهُ. 

                                                                                                            $\mathrm{x}=4.1333\dots$

أضربُ طَرَفَِي المعادلةِ في 10؛ لأنَّ منزلةً واحدةً فقطْ تتكرَّرُ $10\mathrm{x}=41.333\dots$                                     

أجزِّئُ العددَ العشريَّ                                                             $10\mathrm{x}=37.2+ 4.1333\dots$                                    

  أعوض ...x=4.1333                                                             $10\mathrm{x}=37.2+\mathrm{x}$                                 

أطرح x منْ كِلا الطَّرَفيِْن                                                       $9\mathrm{x}=37.2$                                       

  أقسمُ كِلا الطَّرَفيِْ على 9                                                      $\mathrm{x}=\frac{37.2}{9}$                                             

 أضربُ البسطَ والمقامَ في 10                                             $\mathrm{x}=\frac{372}{90}$                                       

أحوِّلُ الكسرَ غيرَ الفِعليِّ إلى عددٍ كسريٍّ                              $\mathrm{x}=4\frac{2}{15}$                                         

إذنْ، يُكْتَبُ العددُ العشريُّ الدوريُّ $4.1\overline{3}$ عَلى صورةِ عددٍ كسريٍّ كما يأتي: $4\frac{2}{15}$