المتغيرات العشوائية
Random Variables
فكرة الدرس : إيجاد قِيَم متغير عشوائي في تجربة عشوائية.
•• يُطلَق على المتغير الذي يُتوصَّل إلى قِيَمه من نواتج تجربة عشوائية اسم المتغير العشوائي
ففي تجربة سحب بطاقة عشوائيًا من صندوق يحوي 4 بطاقات حمراء و 3 بطاقات خضراء ، إذا كان المتغير العشوائي X يُمثِّل عدد البطاقات
الخضراء في السحبة، فإنّ قيمة المتغير العشوائي X قد تكون 0 في حالة سحب بطاقة حمراء ، أو 1 في حالة سحب بطاقة خضراء .
مثال :
في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على عدد مرّات ظهور الصورة ، فأجد مجموعة قِيَم X
الحل :
أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك، فإنَّ :
عناصر فضاء العيِّنة للتجربة :
ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد مرات ظهور الصورة المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم : 0 ، 1 ، 2 ، 3
إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : 𝑋 = { 0 , 1 , 2 , 3 }
•• عند تحديد القِيَم العددية للمتغير العشوائي، يُمكِن أحيانًا تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين.
مثال :
يحتوي كيس على 6 كرات بيضاء و 8 كرات زرقاء ، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الزرقاء في تجربة سحب 5 كرات عشوائيًّا معًا من
الكيس،فأجد مجموعة قِيَم X
الحل :
أفترض أنَّ W تعني كرة بيضاء وأنَّ B تعني كرة زرقاء
•• عدد عناصر فضاء العيِّنة عند اختيار n من عناصر نوعين مختلفي اللون من الكرات هو
إذن عدد عناصر Ω :
نظرًا لأن عدد عناصر Ω كبير نسبيًا فيمكن تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي X ، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين ، على النحو الآتي :
العنصر ( 5 بيضاء) ، والعنصر ( 5 زرقاء) | |
عدد الكرات البيضاء المرتبط بالعنصر |
ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0 و 5
نماذج من بقية العناصر :
إذن ، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X هي : { 5 , 4 , 3 , 2 , 1 }
•• تتطلَّب بعض المواقف تحديد عناصر حادث مُعيَّن في فضاء العيِّنة، مرتبط بقيمة مُحدَّدة من قِيَم المتغير العشوائي في التجربة. ففي تجربة إلقاء
قطعتي نقد مرَّة واحدة ، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة ، فإنَّ عنصر الحادث {( A = {(H , T يرتبط بالقيمة 1، وعنصر الحادث
{( B = {(H , H يرتبط بالقيمة 0 ، وعنصر الحادث {( C = {(T , T يرتبط بالقيمة 2
مثال :
في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من صندوق يحوي 8 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 0 إلى 7 ، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين ، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 10 في الحالات الآتية :
a) إذا كان السحب مع الإرجاع.
b) إذا كان السحب بدون إرجاع.
الحل :
أفرض أنَّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 10 :
a) إذا كان السحب مع الإرجاع.
المجاميع المُمكِنة للعدد 10 باستخدام البطاقات إذا كان السحب مع الإرجاع :
إذن عناصر الحادث A :
أُلاحِظ أنَّ المجموع 5 + 5 مُمكِن؛ لأنَّ السحب مع الإرجاع.
b) إذا كان السحب بدون إرجاع.
المجاميع المُمكِنة للعدد 10 باستخدام البطاقات إذا كان السحب بدون إرجاع :
إذن عناصر الحادث A :
أُلاحِظ أنَّ المجموع 5 + 5 غير مُمكِن ؛ لأنَّ السحب بدون إرجاع.