الرياضيات 12 فصل ثاني

المساحات والحجوم

إيجاد المساحة المحصورة بين اقترانين

مفهوم أساسي:

إذا كان كل من $f\left(x\right) , g\left(x\right)$ اقترانين متصلين في الفترة $[a,b]$ ، وكان  $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ ، لكل قيم x في الفترة $[a,b]$ ،

فإن مساحة المنطقة المحصورة بين $f\left(x\right) , g\left(x\right)$ تعطى بالعلاقة: $A={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right) dx$

مثال:

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $y-4=0 و f\left(x\right)=x^2-3x$

الحل :

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين ، إن وجدت. لذلك يجب أن نجعل y موضوع قانون $(y=4)$

$f\left(x\right)=y\to x^2-3x-4=0\to (x-4)(x+1)=0\to x=-1 , x=4$

ثانياً : سنجد مساحة المنطقة المحصورة بتطبيق العلاقة السابقة

$A={\int }_{-1}^4(x^2-3x-4)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-4x {|}_{-1}^4=\frac{65}{3}-\frac{45}{2}-20=\left|\frac{-125}{6}\right|=\frac{125}{6}$

لاحظ أن القيمة كانت سالبة لأننا لم نحدد أي الاقترانين هو الأكبر ،

لكن ذلك لا يؤثر في صحة الحل لأننا سنعالج ذلك بأخذ القيمة المطلقة للناتج.

مثال:

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $g\left(x\right)=e^{x-1}, f\left(x\right)=x$  في الفترة $[0,2]$

الحل :

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.

$x=e^{x-1}\to 1=e^0 (x=1 \mathrm{بتعويض}) \mathrm{بالتجريب}$

نلاحظ إنه عند $x=1$  يتقاطع الاقترانين.وهذا يعني أن المنطقة ستنقسم إلى منطقتين في الفترة $[0,2]$

ثانياً :سنطبق العلاقة

$A={\int }_0^1(x-e^{x-1})dx+{\int }_1^2(x-e^{x-1})dx$

$A_1={\int }_0^1(x-e^{x-1})dx=\frac{x^2}{2}-e^{x-1}{|}_0^1=\frac{1}{e}-\frac{1}{2}<0$

$A_2={\int }_1^2(x-e^{x-1})dx=\frac{x^2}{2}-e^{x-1}{|}_1^2 =\frac{3}{2}-e +1=\frac{5}{2}-e<0$

$then: A=A_1+A_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}+e-\frac{5}{2} \mathrm{موجبة} \mathrm{تصبح} \mathrm{حتى}\to A=e+\frac{1}{e}-2$

مثال:

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين    $g\left(x\right)=\sin 2x , f\left(x\right)=\cos x$ في الفترة  $[0,\frac{\mathrm{\pi }}{2}]$.

الحل :

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.

$\sin 2x=\cos x\to \sin 2x-\cos x=0$

$2\sin x \cos x-\cos x=0$

$\cos x(2\sin x-1)=0$

$\cos x=0 ,\to x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$2\sin x-1=0\to \sin x=\frac{1}{2}\to x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

ثانياً: ستنقسم المنطقة بين الاقترانين إلى منطقتين

$A=A_1+A_2$

$A_1={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}(\sin 2x-\cos x)dx=\frac{-\cos 2x}{2}-\sin x {|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}=\frac{-1}{2}(\frac{-1}{2}-1)-(\frac{1}{2}-0)=\frac{1}{4}$

$A_2={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(\sin 2x-\cos x)dx=\frac{-\cos 2x}{2}-\sin x {|}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=\frac{-1}{2}(-1-\frac{1}{2})-(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$A=A_1+A_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

 

ملاحظة تكتب الحدود بالترتيب التصاعدي

مثال:

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $x=7, x=-2 \mathrm{والمستقيم} , 2y-x=2 ,f\left(x\right)=\sqrt[]{x+2}$

الحل:

أولاً : سنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين إن وجدت.

وسنجعل y موضوع قانون في الاقتران الثاني   $y=\frac{1}{2}x+1$ 

$\sqrt[]{x+2}=\frac{1}{2}x+1$

$x+2=\frac{x^2}{4}+x+1 \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}$

$\frac{x^2}{4}=1 \to x^2=4\to x=+2 , x=-2$  

ثانياً : سنجد مساحة المنطقة المحصورة

 

$A=A_1+A_2$

$$\begin{gathered} A_1={\int }_{-2}^2(\sqrt[]{x+2}-\frac{1}{2}x-1)dx={\int }_{-2}^2({(x+2)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x-1)dx=\frac{2}{3}{(x+2)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}{x}^2-x \overline{) 2 \\ -2} \end{gathered}$$

$=(\frac{2}{3}{\left(4\right)}^{\frac{3}{2}}-1-2) -(0-1+2)=\frac{4}{3}$

 

$A=A_1+A_2$

$$\begin{gathered} A_2={\int }_2^7(\sqrt[]{x+2}-\frac{1}{2}x-1)dx={\int }_2^7({(x+2)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x-1)dx=\frac{2}{3}{(x+2)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}{x}^2-x \overline{)7 \\ 2} \end{gathered}$$

$=(\frac{2}{3}{\left(9\right)}^{\frac{3}{2}}-\frac{49}{4}-7) -(\frac{2}{3}{\left(4\right)}^{\frac{3}{2}}-1-2)=(11-\frac{49}{4}) -(\frac{16}{3}-3)=14-\frac{83}{12}=\frac{85}{12}$

 بالتالي فإن المساحة الكلية:   $A=A_1+A_2$

$=\frac{16}{12}+\frac{85}{12}=\frac{101}{12} \mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}$

---

التكامل ومنحنى السرعة

تعلم من مرحلة سابقة أن الإزاحة هي التغير في موقع الجسيم فإذا كان $s\left(t\right)$ يمثل اقتران موقع الجسيم عند الزمن t .

فإن الإزاحة على الفترة الزمنية   $\left[t_1,t_2\right]$ هي: 

$∆s\left(t\right)=s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)$   

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt \mathrm{أن} \mathrm{وكذلك}$

$s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t1}^{t2}v\left(t\right) dt \mathrm{فإن} \mathrm{بالتالي}$

أما المسافة المقطوعة فهي كمية موجبة دائمًا وتساوي:

$d={\int }_{t1}^{t2}\left|v\left(t\right)\right|dt$

بحيث أن v(t) هو منحنى السرعة لجسيم يتحرك في خط مستقيم ومن المهم ملاحظته أن المساحة المحصورة بين منحنى السرعة -الزمن والمحور x 

إذا وقعت فوق المحور x فهي كمية موجبة وإذا وقعت تحت المحور x فهي كمية سالبة.

                  

فإذا كان الحديث عن الإزاحة فالمنطقة فوق المحور موجبة وتحته سالبة. وإذا كان الحديث عن المسافة فالمنطقة دائمًا موجبة .

مثال:

يبين الشكل المجاور منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور x في الفترة الزمنية $[0,6]$ ،

إذا بدأ الجسم الحركة عند $x=1$ ،عندما كانت $t=0$.

      فأجد كلًا مما يأتي:

أولاً : إزاحة الجسيم في الفترة $[0,6]$. 

الحل:

سنجد المساحة المحصورة بين منحنى السرعة - الزمن والمحور x.

$A=A_1+A_2$

فالمساحة $A_1$  هي مساحة المثلث في الفترة $[0,1]$.

_{$A_1=\frac{1}{2}\left(1\right)\left(3\right)=\frac{3}{2}$}

ولأنها تمثل الإزاحة تحت المحور x فهي  $-\frac{3}{2}$.

والمساحة $A_2$ هي مساحة المثلث والمستطيل في الفترة $[1,6]$.

$A_2=\frac{1}{2}\left(1\right)\left(2\right)+\left(4\right)\left(2\right)=1+8=9$

ولأنها تمثل الإزاحة فوق المحور x فهي 9+ بالتالي فإن:

$A=\frac{-3}{2}+9=\frac{15}{2} \mathrm{اليمين} \mathrm{نحو}$

أو من خلال القانون

$s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right) dt$

$s\left(6\right)-s\left(0\right)={\int }_0^{6}v\left(t\right) dt={\int }_0^{1}v\left(t\right) dt +{\int }_1^{6}v\left(t\right) dt=\frac{-3}{2}+9=\frac{15}{2} \mathrm{اليمين} \mathrm{نحو}$

ثانياً : المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة $[0,6]$.

الحل:

يمكن القول أن المسافة تساوي

${\int }_0^6\left|v\left(t\right)\right| dt=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|=\left|\frac{-3}{2}\right|+\left|9\right|=\frac{21}{2}$

ثالثاً: الموقع النهائي للجسيم.

الحل:

 يقصد بالموقع النهائي للجسيم موقعه بعد 6 ثواني أي s(6)  ونحن نعلم أن:

$s\left(6\right)-s\left(0\right)={\int }_0^{6}v\left(t\right) dt$

ومن المعطيات نجد أن الموقع الابتدائي  $s\left(0\right)=1$  والإزاحة حسبت في الفرع (1) وتساوي  $\frac{15}{2}$ بالتالي:

$s\left(6\right)-1=\frac{15}{2}\to s\left(t\right)=\frac{17}{2} \mathrm{النهائي} \mathrm{الموقع}$

الحجوم الدورانية:

تعلم أن أي مساحة محصورة بين منحنيين إذا دارت حول المحور x فإنها تنتج مجسمًا دورانيًا يمكن إيجاد حجمه باستخدام التكامل على النحو التالي:

$v={\int }_a^b\pi y^{2}dx={\int }_a^b\pi f^2\left(x\right) dx$

وهو حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $y=f\left(x\right)$ دورة كاملة حول المحور x في الفترة $[a,b]$

مثال:

 أجد حجم الجسم المتولد عن دوران المنطقة المحصورة بين  $f\left(x\right)=x^2$  ومحور x  في الفترة $[0,3]$.

$v=\pi {\int }_0^3{\left(x^2\right)}^{2}dx={\int }_0^3{x}^4 dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}\right){|}_0^3=\pi \left(\frac{3^5-0^5}{5}\right)=\frac{243\pi }{5} \mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}$

والآن سنجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين اقترانين.

$v=\pi {\int }_a^b\left(f^2\right(x)-g^2(x\left)\right) dx$

حيث $a,b$  هما نقاط التقاطع بين الاقترانين $f,g$وعلى الترتيب.

مثال:

أجد حجم الجسم المتولد من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقترانين  $g\left(x\right)=3x-2 , f\left(x\right)=x^2$ حول المحور x .

$g\left(x\right)=f\left(x\right)\to 3x-2=x^2$

$\to x^2-3x+2=0 \to (x-2)(x-1)=0\to x=1 , x=2$

سنستخدم قانون الحجم:

$v=\mathrm{\pi }{\int }_1^2({(3\mathrm{x}-2)}^2-{\left({\mathrm{x}}^2\right)}^2)\mathrm{dx}=\mathrm{\pi }{\int }_1^2{(3\mathrm{x}-2)}^2\mathrm{dx}-\mathrm{\pi }{\int }_1^2{\mathrm{x}}^4\mathrm{dx}$

$=\mathrm{\pi }\frac{{(3\mathrm{x}-2)}^3}{9}{|}_1^2 - \mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}{|}_1^2=\frac{\mathrm{\pi }(64-1)}{9}-\frac{\mathrm{\pi }(32-1)}{5}=7\mathrm{\pi }-\frac{31\mathrm{\pi }}{5}=\frac{4\mathrm{\pi }}{5}$