رياضيات 11 فصل ثاني

المساحة :

سنتعلم في هذه الدرس حالة من حالات إيجاد المساحة باستعمال التكامل ، هي مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور x ، وهذه الحالة تنقسم الى ثلاث حالات / هي :

• مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$ ، وتقع فوق هذا المحور .
• مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور  $x$ ، وتقع أسفل هذا المحور .
• مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور  $x$ ، ويقع أحد جزأيها فوق المحور  $x$  ، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور .

 

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$  ، ويقع أحد جزأيها فوق المحور $x$   ، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور .

 

 

يمكن إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$  ، والمحور $x$   ، والمستقيمين : $x=a و x=b$  ، وتقع أسفل المحور $x$  عن طريق التكامل الآتي :

$A=-{\int }_a^{b}f\left(x\right).dx,a<b$

---

قد يقع جزء من المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور $x$  أسفل هذا المحور ، ويقع الجزء الآخر المتبقي منها فوقه كما في الشكل المجاور.

وفي هذه الحالة يمكن إيجاد المساحة بين منحنى هذا الاقتران والمحور $x$  بتحديد المقطع $x$ للاقتران ، ثم إيجاد المساحة باستعمال القاعدة الآتية:

$A=-{\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

 

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور x ، ولا تكون محدودة بمستقيمين .

ألاحظ أن المنطقة التي يراد إيجاد مساحتها بين منحنى الاقتران والمحور  $x$  في الأمثلة السابقة محدودة بالمستقيمين: $x = a$ ، و  $x = b$ .  

ولكن، إذا كانت هذه المنطقة محصورة فقط بين منحنى الاقتران والمحور $x$ ، فإنه يلزم عندئذ إيجاد الإحداثي $x$  لنقاط تقاطع الاقتران مع المحور ؛ لأنها تمثل حدود التكامل.

 

الحجوم الدورانية :

مفهوم حجم المجسم الدوراني.

حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $y=f\left(x\right)$ ، والمحور $x$  ، والمستقيمين $x=a$  و $x=b$  ، حيث $a<b$  دورة كاملة حول المحور $x$ ، هو:

$V={\int }_a^b\pi y^{2}dx or V={\int }_a^b\pi \left(f\right(x){)}^{2}dx$