الدرس الرابع: المساحة
سنتعرف في درس المساحة إلى:
طريقة استخدام التكامل في إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور ؛ حيث يوجد ثلاث حالات للمنطقة المحصورة وهي:
1) تقع فوق المحور .
2) تقع أسفل المحور .
3) يقع أحد جزئيها فوق المحور ، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور.
ويمكن تلخيصها بالمخطط الآتي، قبل البدء بالشرح المفصل:
أولًا: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور ، وتقع فوق هذا المحور:
يمكن إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران ، و المحور ، والمستقيمين و
وتقع فوق المحور ، كما في الشكل الآتي:
عن طريق التكامل :
وباتباع الخطوات الآتية:
مثال(1): جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: ، والمحور ،
والمستقيمين و .
الحل:
الخطوة 1: جد الإحداثي لنقاط تقاطع منحنى الاقتران مع المحور - إن وجدت - | |
بمساواة قاعدة الاقتران بالصفر | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن الإحداثي لنقطة تقاطع الاقتران مع المحور لا يقع ضمن الفترة المعطاة
|
|
الخطوة 2: جد المساحة عن طريق التكامل المساحة تقع فوق المحور كما في الشكل السابق. |
|
قانون المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور x وتقع فوق هذا المحور | |
بالتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن، المساحة هي: 30 وحدة مربعة. |
ثانيًا: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور ، وتقع أسفل هذا المحور:
يمكن إيجاد المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور ، والمستقيمين: ،و ،
وتقع أسفل المحور كما في الشكل الآتي:
عن طريق التكامل :
ملاحظة: وُضعت الإشارة السالبة قبل التكامل لأن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة.
حيث أن المنطقة التي يراد إيجاد مساحتها تقع أسفل المحور ، لذلك فإن قيمة التكامل
الناتج ستكون عددًا سالبًا؛ لذا يُختار معكوس ناتج التكامل لتكون المساحة موجبة.
ويمكن إيجاد المساحة باتباع الخطوات الآتية:
مثال(2): جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: والمحور ،
والمستقيمين: , .
الحل:
الخطوة 1: جد الإحداثي لنقاط تقاطع منحنى الاقتران مع المحور - إن وجدت - | |
بمساواة قاعدة الاقتران بالصفر | |
بتعويض | |
بحل المعادلة التربيعية | |
إذن الإحداثي لنقطة تقاطع الاقتران مع المحور لا يقع ضمن الفترة المعطاة. |
|
الخطوة 2: حدد إذا كان منحنى الاقتران أسفل أو أعلى المحور | |
بتعويض إحدى قيم المتغير x في في الفترة في الاقتران | |
إذن منحنى الاقتران أسفل المحور x لأن نتيجة التعويض سالبة. | |
الخطوة 3: جد المساحة عن طريق التكامل | |
قانون المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور x وتقع أسفل هذا المحور | |
بالتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن، المساحة هي تقريبًا: 17 وحدة مربعة. |
ثالثًا: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور ،
ويقع أحد جزأيها فوق المحور ، ويقع الجزء الآخر أسفل هذا المحور :
يمكن إيجاد المساحة المحصورة بين:
منحنى اقتران يقع أحد جزأيه أسفل المحور والآخر فوق المحور ، والمحور كما في الشكل الآتي:
عن طريق التكامل :
ويمكن إيجاد المساحة باتباع الخطوات الآتية:
مثال(3): جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: ،
والمحور ، والمستقيمين:، و
الحل:
الخطوة 1: جد الإحداثي لنقاط تقاطع منحنى الاقتران مع المحور - إن وجدت - |
|
بمساواة قاعدة الاقتران بالصفر | |
بتعويض | |
بقسمة طرفي المعادلة على 3 | |
بتحليل الفرق بين مربعين | |
خاصية الضرب الصفري | |
بحل كل معادلة لـــ x | |
إذن، يقع ضمن الفترة كما في الشكل الآتي:
|
|
الخطوة 2: حدد إذا كان منحنى الاقتران أسفل أو أعلى المحور (يمكن الاعتماد على الرسم السابق) |
|
بتعويض إحدى قيم المتغير x في في الفترة في الاقتران ولتكن (2) بما أن الناتج سالب فإن الاقتران بالفترة يقع أسفل المحور x ملاحظة: لا يتم تعويض (3) لأنها صفر للاقتران وتقع على محور x |
|
بتعويض إحدى قيم المتغير x في في الفترة في الاقتران ولتكن (4) بما أن الناتج موجب فإن الاقتران بالفترة يقع فوق المحور |
الخطوة 3: جد المساحة عن طريق التكامل:
بتجزئة المساحة إلى مجموع مساحتين فوق المحور x وأسفله:
باستخدام تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت، وتكامل الثابت:
بالتبسيط
بالتعويض
بالتبسيط
إذن، المساحة هي 38 وحدة مربعة.
رابعًا: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى اقتران والمحور ، ولا تكون محدودة بمستقيمين:
عند إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور فقط،
وليست محدودة بمستقيمين - كما في الحالات السابقة - :
1. جد الإحداثي لنقاط تقاطع الاقتران مع المحور ؛ lمن خلال مساواة الاقتران بالصفر وحل المعادلة.
2. حل المعادلة تمثل حدود التكامل.
3. حدد إذا كانت المساحة المطلوبة أسفل أو فوق المحور .
4. استخدم قانون التكامل لإيجاد المساحة.
مثال(4): جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران:
،والمحور .
الحل:
الخطوة 1: جد الإحداثي لنقاط تقاطع منحنى الاقتران مع المحور | |
بمساواة قاعدة الاقتران بالصفر | |
بتعويض | |
بقسمة طرفي المعادلة على 3 | |
بتحليل الفرق بين مربعين | |
خاصية الضرب الصفري | |
بحل كل معادلة لـــ x | |
إذن، الإحداثي لنقاط التقاطع منحنى الاقتران مع المحور هو: ، كما في الشكل الآتي، وهذان الإحداثيان يمثلان حدي التكامل. |
|
الخطوة 2: حدد إذا كان منحنى الاقتران أسفل أو أعلى المحور (يمكن الاعتماد على الرسم السابق) |
|
بتعويض إحدى قيم المتغير x في في الفترة في الاقتران ولتكن (2) | |
بما أن ناتج التعويض سالب فإن الاقتران بالفترة يقع أسفل المحور x | |
الخطوة 3: جد المساحة عن طريق التكامل | |
قانون المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور x وتقع أسفل هذا المحور | |
بالتعويض | |
تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت، وتكامل الثابت | |
بالتبسيط | |
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن، المساحة هي 4 وحدة مربعة. |
خامسًا: معمل برمجية جيوجبرا: تطبيقات التكامل : المساحة:
يمكن استعمال برمجية جيوجبرا لإيجاد المساحة بين منحنى الاقتران والمحور x
بوصفها تكاملًا محدودًا، مراعيًاما يأتي:
1. إذا وقعت المنطقة أسفل المحور x : حول إشارة الناتج السالبة إلى موجبة.
2. إذا كان هنالك منطقتين إحداهما فوق المحور x ، والأخرى تحته:
أ. قسم هذه المنطقة إلى جزأين.
ب. احسب مساحة كل جزء على حدة.
ج. اجمع المساحتين معًا.
مثال(5):جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران:
، والمحور x ، والمستقيمين: و
الحل:
1. اكتب الاقتران في شريط الإدخال، ثم اضغط (Enter)
2. لإيجاد المساحة المطلوبة: اكتب في شريط الإدخال: ، ثم اضغط (Enter)
3. لاحظ تظليل المنطقة وظهور قيمة التكامل على الشكل.
4. إذن مساحة المنطقة هي تقريبًا: 41.33 وحدة مربعة.
نهاية الدرس