رياضيات 9 فصل ثاني

المسافة بين نقطتين 

تدريب  $\mathbf{ }\mathbf{ }\left(\mathrm{٦} - \mathrm{١}\right)$  صفحة  $\mathbf{ }\mathbf{٣٨}$

جد طول القطعة المستقيمة  ل هـ  ، حيث $\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{٣}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{١}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{)}$ .

                             $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{ }\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{٥}\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{\left(}\mathbf{٣}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٢٥}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٩}\mathbf{ }} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٣٤}} \end{gathered}$$

 

 

 تدريب  $\mathbf{ }\left(\mathrm{٦} - \mathrm{٢}\right)$ صفحة  $\mathbf{٤٠}$

    إذا كانت النقاط  $\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{،}\mathbf{٢}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٦}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ج}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{٧}\mathbf{،}\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{د}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{٣}\mathbf{،}\mathbf{٠}\mathbf{)}\mathbf{ }$     نقاطًا في المستوى الإحداثي ، بين أن كل ضلعين  متقابلين في الشكل الرباعي أ ب ج د متساويان في  الطول .

 $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{أ}\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٦} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٦}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٣٢}} \end{gathered}$$       $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ج}\mathbf{ }\mathit{د}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٣} - \mathrm{٧}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٠} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٦}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{٣٢}} \end{gathered}$$

 

   $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathit{د}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٣} - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٠} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨}} \end{gathered}$$      $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathit{ج}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٧} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٤} - \mathrm{٦}\right)}^{\mathbf{٢}}}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨}\mathbf{ }} \end{gathered}$$

 

  تدريب   $\mathbf{ }\mathbf{ }\left(\mathrm{٦} - \mathrm{٣}\right)$  صفحة   $\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{٤٠}$

  في الشكل $\mathbf{ }\left(\mathrm{٦} - \mathrm{١}\right)$ النقاط  و ، أ ، ب حيث تمثل النقطة أ مدرسة و تمثل              النقطتان و ، ب مركزين صحيين   . يصل بين كل منهما و المدرسة طريق مستقيم . احتاج أحد طلبة المدرسة لعلاج سريع 

كيف يمكنك المساعدة في تحديد المركز الصحي المناسب ؟ 

$$\begin{gathered} \mathit{أ}\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{٣}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٠}\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٠}\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٩}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٣}} \end{gathered}$$    $$\begin{gathered} \mathit{أ}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٣} - \mathrm{٧}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٣} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٧}\mathbf{ }} \end{gathered}$$

   المركز   و  هو الأقرب للمدرسة 

 

             

                                               تمارين و مسائل صفحة $\mathbf{٤١}$   

 

$\mathbf{١}\mathbf{)}$  جد المسافة بين كل زوج من النقاط الاتية : 

      $$\begin{gathered} \mathit{أ}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\left(-\mathrm{٣} ، \mathrm{٨}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(- \mathrm{٣} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٨} - - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٢٥}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٤٤}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٦٩}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٣}\mathbf{ } \end{gathered}$$                      $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(- \mathrm{١}، \mathrm{٥} \right)\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\left(-\mathrm{٤} ، -\mathrm{٢}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(-\mathrm{٤} - -\mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(-\mathrm{٢} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٩}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٤٩}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٥٨}} \end{gathered}$$                       $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ج}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\left(-\mathrm{٥} ، \mathrm{٤}\right)\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\left(\mathrm{٧} ، -\mathrm{١}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{{\left(\mathrm{٧} --\mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(-\mathrm{١} -\mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٤٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٢٥}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{١٦٩}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٣}\mathbf{ } \end{gathered}$$    

 

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{د}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(م ، هـ + \mathrm{١}\right)\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\left(م - \mathrm{٦} ، هـ - \mathrm{٧}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(م - \mathrm{٦} - م \right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(هـ - \mathrm{٧} -هـ - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٣٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٦٤}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٠٠}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ } \end{gathered}$$         $$\begin{gathered} \mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\left(م ، هـ + \mathrm{١}\right)\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\left(م - \mathrm{٦} ، هـ - \mathrm{٧}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(م - \mathrm{٦} - م\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(هـ - \mathrm{٧} - هـ - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٣٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٦٤}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{١٠٠}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ } \end{gathered}$$      $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\left(\mathrm{٥} ، -\mathrm{٤}\right)\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\left(\mathrm{٥} ، \mathrm{٨}\right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٨} - - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٠}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٤٤}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٢} \end{gathered}$$    

 

$\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{)}$إذا كانت النقطة $\mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{(}\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{١}\mathbf{)}$ تمثل موقع سيارة إسعاف ، و النقاط  $\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٠}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٦}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ج}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{)}\mathbf{ }$ تمثل مواقع ثلاث محطات وقود ، أي المحطات الثلاث أقرب الى السيارة ؟

            نجد بُعد السيارة عن كل من المحطات الثلاث 

         $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٠} - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٩}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٠}} \end{gathered}$$      $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٦} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}{\left(\mathrm{٢} - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{١٧}\mathbf{ }} \end{gathered}$$         $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathit{ج}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٤} - \mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٣} - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨}\mathbf{ }} \end{gathered}$$   

            المحطة ج  هي الأقرب 

 

 $\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{)}\mathbf{ }$ إذا كانت أب قطعة مستقيمة طولها$\mathbf{ }\left(\mathrm{٥}\right)$  وحدات  ، و كانت $\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٧}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{)}\mathbf{ }$  ، فجد جميع القيم الممكنة للثابت ل .

                 $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٧} - ل\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{١} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٧} - ل\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٩}\mathbf{ }} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{٢٥}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٧} - ل\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٩}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{١٦}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٧} - ل\right)}^{\mathbf{٢}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\mathbf{٧}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pm }\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١١} \end{gathered}$$           

 

  $\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }$ م ن ل مثلث فيه  $\mathit{م}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ن}\mathbf{(}\mathbf{٥}\mathbf{،}\mathbf{٥}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{٢}\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }$ ، ما نوع المثلث من حيث أطوال أضلاعه ؟

           نجد أطوال أضلاع المثلت م ن ل 

             $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathit{ن}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{)}}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٩}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٦}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{٢٥}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٥} \end{gathered}$$       $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(-\mathrm{٢} -\mathrm{٢}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٤} - \mathrm{١}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٩}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٢٥}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{ } \end{gathered}$$       $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ن}\mathbf{ }\mathit{ل}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(-\mathrm{٢} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٤} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٤٩}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٥٠}} \end{gathered}$$

   

                      مثلث متطابق الضلعين 

 

 $\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{)}\mathbf{ }$ يمثل الشكل $\mathbf{ }\mathbf{ }\left(\mathrm{٦} - \mathrm{٨}\right)$ حديقة مستطيلة الشكل ، النقطتان  أ ، ب

        تمثلان موقع حنفيتين لري المزروعات ، نريد أن نصل بين الحنفيتين

       بأنبوب  مستقيم ، ما طول الانبوب ؟            

     

     النقطة أ تمثل الزوج المرتب $\left(\mathrm{١٣} ، \mathrm{٨}\right)$  ،  النقطة ب تمثل الزوج المرتب $\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{)}$

      طول الانبوب = طول القطعة المستقيمة أب

          $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - \mathrm{١٣}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٢} - \mathrm{٨}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٦٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٣٦}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{١٠٠}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ } \end{gathered}$$         

 

$\mathbf{٦}\mathbf{)}$ إذا كانت القطعة المستقيمة أ ب قطرًا في دائرة طول نصف قطرها  $\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{,}\mathbf{٦}$  سم ، و كانت النقطة $\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{)}$ ، و النقطة $\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{ }\mathbf{)}$ 

     جد جميع القيم الممكنه للثابت ع .

   

      نصف القطر = $\mathbf{٥}\mathbf{,}\mathbf{٦}\mathbf{ }$  $\leftarrow$ القطر = $\mathbf{١٣}$  $\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\mathit{أ}\mathbf{ }\mathit{ب}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٣}\mathbf{ }$

      $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{١٣}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٢}ع - ع\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(ع + \mathrm{٣} - - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{١٣}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{ع}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(ع + \mathrm{٧}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{١٦٩}\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{ع}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{ع}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٤}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٤٩}\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\mathbf{٢}{\mathit{ع}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٤}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{١٢٠}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٠} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }{\mathit{ع}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٤}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٦٠}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٠} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\left( ع-\mathrm{٥} \right)\left( ع + \mathrm{١٢} \right) \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{١٢}\mathbf{ } \end{gathered}$$ 

 

$\mathbf{ }\mathbf{٧}\mathbf{)}$ ارسم المستوى الإحداثي ، و عين عليه النقاط الاتية : 

$\mathbf{ }\mathit{د}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٤}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{٤}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{)}$                                   

   أ) جد أطوال أضلاع الشكل الرباعي د هـ و ع 

  ب) ما نوع الشكل الرباعي  د هـ و ع  ؟

  ج) جد طول كل من قطري الشكل الرباعي د هـ و ع ؟      

 

أ)   $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{د}\mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(-\mathrm{٥} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}{\left(\mathrm{٥} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨١}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨٢}} \end{gathered}$$              $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(- \mathrm{٤} - -\mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(- \mathrm{٤} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٨١}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨٢}} \end{gathered}$$     

 

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - -\mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(-\mathrm{٥} + \mathrm{٤} \right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{٨١}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨٢}} \end{gathered}$$          $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{ع}\mathbf{ }\mathit{د}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(-\mathrm{٥} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٨١}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٨٢}} \end{gathered}$$

 

ب) الشكل يمثل مُعين 

 

ج) القطر الأول  د و = $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt{{\left(-\mathrm{٤} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(-\mathrm{٤} - \mathrm{٤}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٦٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٦٤}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٢٨}} \end{gathered}$$        القطر الثاني هـ ع = $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٥} - - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}{\left(- \mathrm{٥} - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٠٠}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{١٠٠}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٢٠٠}} \end{gathered}$$

 

$\mathbf{٨}\mathbf{)}$ دائرة مركزها النقطة $\mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٥}\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{)}\mathbf{ }$ و تمر بالنقطة هـ $\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{٣}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{٩}\mathbf{)}$ :

   أ ) ما طول قطرها ؟ 

 ب)  إذا كانت النقطة و $\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{١}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ك}\mathbf{)}$ تقع على الدائرة ، جد جميع القيم الممكنة للثابت ك .

 

    أ) نجد نصف قطرها و الذي يمثل القطعة المستقيمة م هـ

       $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathit{م}\mathbf{ }\mathit{ه}\mathit{ـ}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{{\left(\mathrm{٣} --\mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left(\mathrm{٩} - \mathrm{٣}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٦٤}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٣٦}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{١٠٠}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ } \end{gathered}$$        ، طول القطر = $\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{٢}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٢٠}\mathbf{ }$ 

  ب)  

               $$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{ }{\left(\mathrm{١} - - \mathrm{٥}\right)}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left( ك - \mathrm{٣}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{١٠}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{٣٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\left( ك - \mathrm{٣}\right)}^{\mathbf{٢}}} \\ \mathbf{ }\mathbf{١٠٠}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{٣٦}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathit{ك}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٦}\mathit{ك}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{٩}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }{\mathit{ك}}^{\mathbf{٢}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٦}\mathbf{ }\mathit{ك}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{٥٥}\mathbf{ } \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\left( ك - \mathrm{١١}\right)\left( ك + \mathrm{٥} \right)\mathbf{ }\mathbf{\leftarrow }\mathbf{ }\mathit{ك}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{١١}\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathit{ك}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{٥}\mathbf{ } \end{gathered}$$