رياضيات7 فصل أول

مفهوم أساسي:

المستوى (Plane) : هوَ سطحٌ مستوٍ يمتدُّ بلا نهايةٍ في جميعِ الاتجاهاتِ. وقدْ يتوازى مستويانِ، فلا يتقاطعانِ أبدًا. 

مثال 1 : أستعينُ بمتوازي المستطيلاتِ المجاورِ للإجابةِ عنِ الأسئلةِ الآتيةِ:

1) أيُّ القطعِ المستقيمةِ توازي $\overline{\mathbf{AB}}$

$\overline{\mathrm{EF}}, \overline{\mathrm{DC}} , \overline{\mathrm{HG}}$

2) أُسمّي مستوييْنِ متوازييْنِ.

.EFGH يوازي المستوى ABCD المستوى

3)  أُسمّي قطعتيْنِ مستقيمتيْنِ موازيتيْنِ للمستوى BCGF

$\overline{\text{DH}}\text{ , }\overline{\text{AD}}$

 

القاطع (Transversal): هوَ مستقيمٌ يقطعُ مستقيمينِ في المستوى نفسِهِ في نقطتينِ مختلفتَينِ. 

في الشكلِ المجاورِ، المستقيمانِ $\overleftrightarrow{\mathrm{Q}} ,\overleftrightarrow{\mathrm{H}}$ يقعانِ في المستوى نفسِهِ ويقطعُهُما القاطعُ$\overleftrightarrow{\mathrm{D}}$ ، وينتجُ منْ هذا التقاطعِ ثماني زوايا. 

ولهذهِ الزوايا تسمياتٌ خاصَّةٌ مبيّنةٌ في ما يأتي.

الزاويتانِ المُتناظِرتانِ (Corresponding angles): هما زاويتانِ غيرُ متجاورتيْنِ تقعانِ في جهةٍ واحدةٍ منَ القاطعِ، وتكونُ إحداهُما داخليةً، والأُخرى خارجيةً.

الزاويتانِ المُتبادَلتانِ داخليًّا (Alternate interior angles): هما زاويتانِ غيرُ متجاورتيْنِ، تقعانِ في المنطقةِ الداخليةِ، وفي جهتيْنِ مختلفتيْنِ منَ القاطعِ.

الزاويتانِ المُتبادَلتانِ خارجيًّا (Alternate exterior angles): هما زاويتانِ غيرُ متجاورتيْنِ تقعانِ في المنطقةِ الخارجيةِ، وفي جهتيْنِ مختلفتيْنِ منَ القاطعِ.

الزاويتانِ الداخليتانِ في جهةٍ واحدةٍ (Same side interior angles): هما زاويتانِ تقعانِ في المنطقةِ الداخليةِ، وفي جهةٍ واحدةٍ منَ القاطعِ.

 

مثال 2: اختيارٌ منْ مُتعدِّدٍ: في الشكلِ المجاورِ، أيُّ أزواجِ الزوايا الآتيةِ متناظرةٌ:

$$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ } \\ \mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7}\mathbf{ } \end{gathered}$$

الزاويتانِ 2 وَ 6 مُتناظِرتانِ؛ لأنَّهُما غيرُ متجاورتيْنِ، وتقعانِ في جهةٍ واحدةٍ منَ القاطعِ (W) وإحداهُما داخليةٌ (بينَ S,Q) والأُخرى خارجيةٌ. 

.b : الإجابةُ الصحيحةُ هي

 

إذا قَطعَ مستقيمٌ مستقيمينِ متوازيينِ، وعُرِفَ قياسُ إحدى الزوايا الثماني، فإنَّهُ يمكنُ إيجادُ قياساتِ الزوايا الأخرى عنْ طريقِ العلاقاتِ الآتيةِ: 

كلُّ زاويتينِ متناظرتينِ لهُما القياسُ نفسُهُ.

$\mathrm{m}\angle 1 = \mathrm{m}\angle 7$

كلُّ زاويتينِ متبادلتينِ داخليًّا لهُما القياسُ نفسُهُ.

$\mathrm{m}\angle 4 = \mathrm{m}\angle 8$

كلُّ زاويتينِ متبادلتينِ خارجيًّا لهُما القياسُ نفسُهُ.

$\mathrm{m}\angle 2 = \mathrm{m}\angle 6$

كلُّ زاويتينِ داخِليَّتينِ في جهَةٍ واحدةٍ منَ القاطعِ تتكاملانِ، ومجموعُ قياسيْهِما ° 180 (وتُسمَّيانِ زاويتيْنِ متحالِفتَيْنِ).

$\mathrm{m}\angle 7+ \mathrm{m}\angle 8 =180°$

 

مثال 2: منَ الحياةِ :سياجٌ: في الشكلِ المجاورِ، أجدُ قياسَ كلٍّ منَ الزوايا الآتيةِ:

1) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}$

تُقابلُ بالرأسِ الزاويةَ التي قياسُها ° 110                          m∠2 = 110°                                         

2) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{5}$

تُناظرُ الزاويةَ التي قياسُها ° 110                                       m∠5 = 110°                                         

3) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}$

زاويتانِ متحالفتانِ                                                  $\mathrm{m}\angle 3+ \mathrm{m}\angle 5=180°$       

                   

 أُعوِّضُ قيمةَ $\text{m∠5}$ وأجد الناتج                             $$\begin{gathered} \mathrm{m}\angle 3+ 110°=180° \\ \mathrm{m}\angle 3=70° \end{gathered}$$