الرياضيات 12 فصل ثاني

الثاني عشر خطة جديدة

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

المستقيمات في الفضاء

توازي المتجهات:

درسنا سابقًا أن ضرب المتجه $\overset{⇀}{v}$ في عدد حقيقي R $(R \neq 0)$ ، ينتج عنه متجه جديد:

أولاً له نفس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ إذا كانت $R > 0$

ثانياً له عكس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ إذا كانت $R < 0$ .

فمثلًا: المتجه $4 \overset{⇀}{v}$ هو متجه له نفس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ ومقداره يساوي أربعة أمثال مقدار $\overset{⇀}{v}$

والمتجه $\frac{- 1}{2} \overset{⇀}{v}$ هو متجه له عكس اتجاه $\overset{⇀}{v}$ , ، ومقداره يساوي نصف مقدار $\overset{⇀}{v}$ .

فبذلك تكون المتجهات $\frac{- 1}{2} \overset{⇀}{v}, 4 \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{v}$ متوازية.

لذلك: يُقال أنَّ المتجهين $\overset{⇀}{u} = < u_{1}, u_{2}, u_{3} >, \overset{⇀}{v} = < v_{1}, v_{2}, v_{3} >$ أنهما متوازيان ، إذا وفقط إذا أمكن كتابة:

$< v_{1}, v_{2}, v_{3} > = R < u_{1}, u_{2}, u_{3} >$ حيث R عدد حقيقي $R \neq 0$ .

ويمكن توظيف توازي المتجهات في:

أولاً : اثبات بعض خصائص الأشكال الهندسية.

ثانياً : اثبات أن ثلاثة نقاط تقع على استقامة واحدة.

مثال:

إذا كان: $A (1, - 2, 3), B (3, - 5, 7), C (- 5, 7, - 9), D (5, - 8, 10), E (- 1, f, g)$

أولاً: هل $؟ \overset{⇀}{C D} / / \overset{⇀}{A B}$

الحل: نجد المتجهين: $\overset{⇀}{C D} و \overset{⇀}{A B}$

$\overset{⇀}{A B} = < 3 - 1, - 5 + 2, 7 - 3 > = < 2, - 3, 4 >$

$\overset{⇀}{C D} = < 5 + 5, - 8 - 7, 10 + 9 > = < 10, - 15, 19 >$

نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي R بحيث يكون المتجه:

$\overset{⇀}{C D} = < 10, - 15, 19 >$

$للمتجه مساويًا$

$R \overset{⇀}{A B} = R < 2, - 3, 4 >$

$\overset{⇀}{C D} يوازي لا \overset{⇀}{A B} : لذلك$

ثانياً: بين أن النقاط $C, B, A$ تقع على استقامة واحدة.

الحل: نجد المتجهين $\overset{⇀}{A C}, \overset{⇀}{A B}$ (لهما البداية نفسها)

$\overset{⇀}{A B} = < 2, - 3, 4 >$

$\overset{⇀}{A C} = < - 5 - 1, 7 + 2, - 9 - 3 > = < - 6, 9, - 12 > = - 3 < 2, - 3, 4 > = - 3 \overset{⇀}{A B}$

$\overset{⇀}{A C} = - 3 \overset{⇀}{A B} : أن نلاحظ$

إذن: المتجهان $\overset{⇀}{A B}, \overset{⇀}{A C}$ متوازيان ولأن لهما نقطة البداية نفسها A ، فإن النقاط $C, B, A$ تقع على استقامة واحدة.

ثالثاً: إذا كان يوازي $\overset{⇀}{A B}$ يوازي $\overset{⇀}{E C}$ فجد قيمة الثابتين $f و g$

الحل: نجد المتجهين: $\overset{⇀}{E C} و \overset{⇀}{A B}$

$\overset{⇀}{A B} = < 2, - 3, 4 >$

$\overset{⇀}{E C} = < - 5 + 1, 7 - f, - 9 - g > = < - 4, 7 - f, - 9 - g >$

بما أن $\overset{⇀}{E C} / / \overset{⇀}{A B}$ فإنه يوجد عدد حقيقي $R \neq 0$ بحيث أن:

$\overset{⇀}{E C} = R (\overset{⇀}{A B})$

$< - 4, 7 - f, - 9 - g > = R < 2, - 3, 4 >$

$- 4 = 2 R \to R = - 2$

$t h e n :$

$7 - f = - 2 (- 3) \to f = 1$

$- 9 - g = - 2 (4) \to g = - 1$

مثال:

في المثلث $A B C$ المجاور، $\overset{⇀}{A B} = 6 \overset{⇀}{m}, \overset{⇀}{A C} = 9 \overset{⇀}{n}$ ،D تقع على $\overset{⇀}{A B}$ بحيث أن $\bar{D B} = 2 \bar{D A}$

E تقع على $\overset{⇀}{A C}$ بحيث أن $\overset{⇀}{C E} = - 6 \overset{⇀}{n}$ أثبت أن $\overset{⇀}{B C} / / \overset{⇀}{D E}$

الحل: لاحظ التمثيل أعلاه:

نكتب المتجهين : $\overset{⇀}{n} و \overset{⇀}{m} بدلالة \overset{⇀}{B C} و \overset{⇀}{D E}$ :

$\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{B A} + \overset{⇀}{A C} = - 6 \overset{⇀}{m} + 9 \overset{⇀}{n} = 3 (- 2 \overset{⇀}{m} + 3 \overset{⇀}{n}) . . . . . (1)$

$\overset{⇀}{D E} = \overset{⇀}{D A} + \overset{⇀}{A E}$

$\overset{⇀}{D B} = 2 \overset{⇀}{A D} : فيكون D B = 2 D A : لكن$

$\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{D B} = \overset{⇀}{A D} + 2 \overset{⇀}{A D} = 3 \overset{⇀}{A D}$

$6 \overset{⇀}{m} = 3 \overset{⇀}{A D}$

$2 \overset{⇀}{m} = \overset{⇀}{A D} \to D A = - 2 \overset{⇀}{m} . . . (2)$

$\overset{⇀}{E C} = 6 \overset{⇀}{n} فيكون, \overset{⇀}{C E} = - 6 \overset{⇀}{n} : وكذلك$

$\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{A E} + \overset{⇀}{E C}$

$9 \overset{⇀}{n} = \overset{⇀}{A E} + 6 \overset{⇀}{n}$

$\overset{⇀}{A E} = 3 \overset{⇀}{n} . . . . (3)$

$\overset{⇀}{D E} = \overset{⇀}{D A} + \overset{⇀}{A E} (3) و (2) من : فيكون$

$= - 2 \overset{⇀}{m} + 3 \overset{⇀}{n}$

$: أن نلاحظ$

$\overset{⇀}{B c} = 3 (- 2 \overset{⇀}{m} + 3 \overset{⇀}{n})$

$\overset{⇀}{D E} = - 2 \overset{⇀}{m} + 3 n$

إذن: المتجهان $\overset{⇀}{D E} و \overset{⇀}{B C}$ متوازيان.

مثال:

في متوازي الأضلاع $A B C D$ المجاور، إذا كان $\overset{⇀}{B C} منتصف F ، \overset{⇀}{D C} منتصف E ، \overset{⇀}{A D} = 4 \overset{⇀}{a} ، \overset{⇀}{A B} = 6 \overset{⇀}{b}$

$G$ تقع على امتداد $\overset{⇀}{A B}$ من جهة $B$ حيث $B G : A G = 1 : 3$ . أثبت أن النقاط $E و F و G$ تقع على استقامة واحدة.

الحل: لاحظ الشكل المجاور: نكتب المتجهين $\overset{⇀}{b} و \overset{⇀}{a} بدلالة \overset{⇀}{F G} و \overset{⇀}{F E}$ حيث أن لهما البداية نفسها (F).

(لاحظ أن ضلعي متوازي الأضلاع المتقابلين ، متوازيان ولهما الطول نفسه)

$\overset{⇀}{F E} = \overset{⇀}{F C} + \overset{⇀}{C E}$

$\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{A D} = 4 \overset{⇀}{a} و \overset{⇀}{B C} منتصف F لكن$

$\overset{⇀}{F C} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C} = 2 \overset{⇀}{a} . . . . (1)$

$\overset{⇀}{D C} = \overset{⇀}{A B} = 6 \overset{⇀}{b} و \overset{⇀}{D C} منتصف E وكذلك$

$\overset{⇀}{E C} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D C} = 3 \overset{⇀}{b}$

$\overset{⇀}{C E} = \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{E C}$

$\overset{⇀}{C E} = - 3 \overset{⇀}{b} . . . (2)$

$(2) و (1) من$

$\overset{⇀}{F E} = \overset{⇀}{F C} + \overset{⇀}{C E} = 2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b} . . . . (3)$

$\overset{⇀}{F G} = \overset{⇀}{F B} + \overset{⇀}{B G}$

$\overset{⇀}{F B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{C B} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A} = - 2 \overset{⇀}{a} . . . . (4) لكن$

$\overset{⇀}{A G} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B G}$

$9 \overset{⇀}{b} = 6 \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{B G}$

$\overset{⇀}{B G} = 3 \overset{⇀}{b} . . . . (5)$

$\frac{B G}{A G} = \frac{1}{3} لأن$

$ِ A G = 3 B G$

$A B + B G = 3 B G$

$A B = 2 B G$

$\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{B G}$

$6 \overset{⇀}{b} = 2 \overset{⇀}{B G}$

$\overset{⇀}{B G} = 3 \overset{⇀}{b}$

$\overset{⇀}{A G} = 3 \overset{⇀}{B G} = 3 (3 \overset{⇀}{b}) : لكن$

$\overset{⇀}{A G} = (9 \overset{⇀}{b})$

$(5) و (4) من$

$\overset{⇀}{F G} = \overset{⇀}{F B} + \overset{⇀}{B G} = - 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{3 b} . . . (6)$

$\overset{⇀}{F E} = 2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b} : (6) و (3) من$

$\overset{⇀}{F G} = - 2 \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b} = - 1 (2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b})$

$متوازيان \overset{⇀}{F G} و \overset{⇀}{F E} المتجهان : إذن$

ولأن لهما نفس البداية F فإن النقاط $E و F و G$ E و F و G تقع على استقامة واحدة .

المعادلة المتجهة للمستقيم

لكتابة المعادلة المتجهة لمستقيم في الفضاء:

نحتاج إلى معرفة نقطة تقع عليه ، ومتجه يوازيه وتكون المعادلة المتجهة على الصورة: $\overset{⇀}{r} = \overset{⇀}{r_{0}} + t \overset{⇀}{v}$ ، حيث:

$\overset{⇀}{r_{0}}$ هو متجه الموقع للنقطة الواقعة على المستقيم

$\overset{⇀}{v}$ هو متجه يوازي المستقيم (ويسمى: اتجاه المستقيم)

t هو المتغير الوسيط .

ويفضل أن يكون العامل المشترك الأكبر لإحداثيات المتجه $\overset{⇀}{v}$ في صورته الإحداثية (1).

جد المعادلة المتجهة للمستقيم L الذي يمر بالنقطة $p (1, - 4, 9)$ ويوازي المتجه $\overset{⇀}{v} = < - 3, 15, 12 >$

الحل:

متجه الموقع للنقطة p هو : $< 1, - 4, 9 >$

اتجاه المستقيم L هو : $\overset{⇀}{v} = < - 3, 15, 12 >$ ويمكن قسمة الإحداثيات على 3 فينتج اتجاه المستقيم L: $\overset{⇀}{u} = < - 1, 5, 4 >$

فتكون المعادلة للمتجه المستقيم L هي: $\overset{⇀}{r} = < 1, - 4, 9 > + t < - 1, 5, 4 >$

ويمكن كتابتها باستخدام متجهات الوحدة على الصورة: $\overset{⇀}{r} = \hat{i} - 4 \hat{j} + 9 \hat{R} + t (\hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{R})$

مثال:

جد المعادلة المتجهة للمستقيم المار بالنقطتين: $B (5, - 7, 10), A (1, 3, - 4)$

الحل:

لإيجاد اتجاه المستقيم: نجد المتجه $\overset{⇀}{A B}$

$\overset{⇀}{A B} = < 5 - 1, - 7 - 3, 10 + 4 > = < 4, - 10, 14 > = 2 < 2, - 5, 7 >$

فيكون اتجاه المستقيم هو $< 2, - 5, 7 >$ وهو متجه يوازي المستقيم ومعادلته المتجهة هي: $\overset{⇀}{r} = < 1, 3, - 4 > + t < 2, - 5, 7 >$

ويمكن استبدال متجه موقع النقطة A باتجاه موقع النقطة B لأن كلا النقطتان A و B تقع على المستقيم.

مثال:

بين أن النقطة $A (2, - 8, - 10)$ تقع على المستقيم الذي معادلته $\overset{⇀}{r} = < 0, 2, - 4 > + t < - 1, 5, 3 >$

الحل:

$A (2, - 8, - 10)$

نعوض متجه موقع النقطة A في معادلة المستقيم: $< 2, - 8, - 10 > = < 0, 2, - 4 > + t < - 1, 5, 3 >$

تنتج المعادلات التالية:

$2 = 0 + - t \to t = - 2$

$- 8 = 2 + 5 t \to 5 t = - 10 \to t = - 2$

$- 10 = - 4 + 3 t \to 3 t = - 6 \to t = - 2$

بما أن المعادلات الثلاث نتج عنها الحل نفسه $(t = - 2)$ فإن النقطة $A (2, - 8, - 10)$ تقع على المستقيم.

مثال:

إذا كانت النقطة $p (x, 7, z)$ تقع على المستقيم الذي معادلته المتجه: $\overset{⇀}{r} = < - 1, 4, 2 > + t < - 2, - 1, 1 >$

فجد قيمة كل من الثابتين x و z.

الحل:

تعويض متجه موقع النقطة p في المعادلة المتجه للمستقيم:

$< x, 7, z > = < - 1, 4, 2 > + t < - 2, - 1, 1 >$

$< x, 7, z > = < - 1 + - 2 t, 4 - t, 2 + t >$

بما أن الإحداثي y هو 7 فإن:

$7 = 4 - t \Rightarrow t = - 3$

وبتعويض $t = - 3$ ينتج أن:

$x = - 1 - 2 (- 3) = 5$

$z = 2 + (- 3) = - 1$

المستقيمات المتوازية والمتقاطعة والمتخالفة في الفضاء

نقول عن مستقيمين في الفضاء أنهما متخالفان إذا لم يوجد مستوى يحويهما ولم يتقاطعا مثل المستقيمين L و h في الشكل المجاور.

وإذا كان لدينا المستقيمان: $L_{2} : \overset{⇀}{r} = \overset{⇀}{c} + u \overset{⇀}{d}, L_{1} : \overset{⇀}{r} = \overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b}$ :

أولاً: يتوازى المستقيمان $l_{1}, l_{2}$ إذا وفقط إذا كان لهما الاتجاه نفسه (أي أن $\overset{⇀}{d} / / \overset{⇀}{b}$ ).

ثانياً: يتقاطع المستقيمان $l_{1}, l_{2}$ إذا نتجت قيمة واحدة فقط لكل من المتغيرين الوسيطين t و u عند حل المعادلات الثلاث الناتجة من مساواة متجهي الموقع للمستقيمين.

ثالثاً: إذا لم يكن المستقيمان متوازيين أو متقاطعين يكونان متخالفين.

مثال:

إذا كان لدينا المستقيمات:

$L_{1} : \overset{⇀}{r} = < 3, - 2, 4 > + t < - 1, 2, 5 >$

$L_{2} : \overset{⇀}{r} = < 1, 5, 2 > + u < 1, - 3, - 1 >$

$L_{3} : \overset{⇀}{r} = < 0, 2, - 5 > + t < 1, - 2, - 5 >$

أولاً: أي المستقيمات الثلاثة متوازية مع بعضها؟

الحل:

لاحظ اتجاه كل مستقيم:

$L_{1} : < - 1, 2, 5 >$

$L_{2} : < 1, - 3, - 1 >$

$L_{3} : < 1, - 2, - 5 > = - 1 < - 1, 2, 5 >$

نلاحظ أن المتجهين $< 1, - 2, - 5 > و < - 1, 2, 5 >$ متوازيان وهما يمثلان اتجاهي المستقيمين $l_{1}, l_{3}$

إذن المستقيمان $l_{1}, l_{3}$ متوازيان .

ثانياً: بين أن المستقيمين $l_{1}, l_{2}$ متقاطعان وجد نقطة تقاطعهما.

الحل:

تساوي متجهي الموقع

$< 3, - 2, 4 > + t < - 1, 2, 5 > = < 1, 5, 2 > + u < 1, - 3, - 1 >$

تنتج المعادلات التالية:

$1) 3 - t = 1 + u$

$2) - 2 + 2 t = 5 - 3 u$

$3) 4 + 5 t = 2 - u$

بحل المعادلتين (1) و(2):

$1) (3 - t = 1 + u) 2 \to 6 - 2 t = 2 + 2 u$

$2) - 2 + 2 t = 5 - 3 u \to - 2 + 2 t = 5 - 3 u$

$4 = 7 - u \Rightarrow u = 3$

بتعويض $u = 3$ في معادلة (1)

$3 - t = 1 + 3 \to t = - 1$

$w h e n u = 3 a n d t = - 1$

$4 + 5 (- 1) = 2 - (3) \to - 1 = - 1$

وهي معادلة صحيحة : إذن المستقيمان $l_{1}, l_{2}$ متقاطعان.

ولإيجاد نقطة التقاطع نعوض $t = - 1$ في المعادلة المتجه للمستقيم $l_{1}$ .

(أو $u = 3$ في المعادلة المتجه للمستقيم $l_{2}$ )

$L_{1} : \overset{⇀}{r} = < 3, - 2, 4 > + t < - 1, 2, 5 >$

$= < 3, - 2, 4 > + - 1 < - 1, 2, 5 > = < 4, - 4, - 1 >$

إذن متجه الموقع لنقطة التقاطع هو: $< 4, - 4, - 1 >$ . فتكون نقطة التقاطع هي $(4, - 4, - 1)$ .

ثالثاً: هل المستقيمان $l_{3}, l_{2}$ متخالفان؟ وضح ذلك.

الحل:

بمساواة متجهي الموقع: $< 1, 5, 2 > + u < 1, - 3, - 1 > = < 0, 2, - 5 > + v < 1, - 2, - 5 >$

$1) (1 + u = 0 + v) 2 \to 2 + 2 u = 0 + 2 v$

$2) 5 - 3 u = 2 - 2 v \to 5 - 3 u = 2 - 2 v$

$\Rightarrow 7 - u = 2 \Rightarrow u = 5$

$1 + 5 = v \to v = 6 (1) معادلة في بالتعويض$

$(3) 2 - u = - 5 - 5 v : الثالث الإحداثي بمساواة$

$: v = 6 و u = 5 وتعويض$

$2 - 5 \neq - 5 - 30$

$- 3 \neq - 35$

إذن: المستقيمان $l_{3}, l_{2}$ متخالفان .

الرياضيات 12 فصل ثاني

الثاني عشر خطة جديدة

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS