رياضيات12 فصل أول

ملخص درس  المعادلات الأسية:

 

أولًا: اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي:

- اللوغاريتم الاعتيادي($y= \log x$) : لوغاريتم للأساس 10 أو ${\log }_{10}$ ويكتب عادة من دون أساس.ويعد الاقتران العكسي للاقتران الأسي  ($y={10}^x$) .

أي أن:       ${\mathbf{10}}^{{}^{\mathbf{y}\mathbf{ }}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\iff }\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{10}}\mathbf{ }\mathit{x}$

 

- اللوغاريتم الطبيعي($y= \ln x$): لوغاريتم للأساس $e$ أو $\log { }_e$ ، ويعد الاقتران العكسي للاقتران الأسي الطبيعي ($y= e^x$)

أي أن: ${\mathit{e}}^{{}^{\mathbf{y}\mathbf{ }}}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{>}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\iff }\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{ln}\mathbf{ }\mathit{x}$

 

مثال: استعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة:

                                                                                $a) \log 5.3 b) \log (2.5 \times {10}^6) c) \ln 7.8$

 

الحل:

                                                                         $a) \log 5.3 = 0.7242758696 \approx 0.7b) \log (2.5 \times {10}^6)= 6.3979400087 \approx 6.4c) \ln 7.8 = 2.0541237337 \approx 2.1$

 

 

ثانيًا: صيغة تغيير الأساس:

         إذا كانت $a , b , x$ أعدادًا حقيقية موجبة، حيث:$b \ne 1 , a\ne 1$ ، فإنَّ:

                                       $lo{g}_{b}x = \frac{lo{g}_a x}{lo{g}_{a}b}$

 

 

مثال: جد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة(إن لزم):

                                                       $a) {\log }_3 29 b) {\log }_{\frac{1}{3}} 18$

 

الحل:

                          $a) {\log }_3 29=\frac{\log 29}{\log 3}\approx 3.07b) lo{g}_{\frac{1}{3}} 18 =\frac{\log 18}{\log {\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\log 18 }{\log 1 - \log 3} =\frac{\log 18 }{ - \log 3}\approx -2.63$

 

 

 

ثالثًا: المعادلة الأسية

إذا كان من غير الممكن كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه :(مثل المعادلة $2^{x^{}}=7$)

نستخدم قاعدة المساواة اللوغاريتمية: بأخذ اللوغاريتم نفسه لطرفي المعادلة.

ثم نستعمل  قانون القوة للوغاريتمات لحل المعادلة الأسية.

 

 

 

 

 

مثال: حل المعادلات الأسية الآتية، مقربًا إجابتك إلى أقرب منزلتين عشريتين:

                                  $1) 7^x = 17 2) 8 e^{2x} = 128$

 

الحل:

                                   $2) 8 e^{2x} = 128 e^{2x} = 16 \ln e^{2x} =\ln 16 2x =\ln 16 x =\frac{\ln 16}{2} x \approx 1.39$                           $1) 7^x = 17log 7^x = log 17x log 7 = log 17x = \frac{\log 17}{log 7}x \approx 1.46$