رياضيات12 فصل أول

المماس والعمودي على المماس

أتحقق من فهمي (صفحة 93)

أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران:$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x-1$ عند النقطة $\left(3,5\right)$

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة $\left(3,5\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x-1$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2-6x+2$
بتعويض $x=3$	$f \text{'}\left(3\right)=3{\left(3\right)}^2-6\left(3\right)+2$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(3\right)=27-18+2 \\ =11 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(3,5\right)$هو: $f \text{'}\left(3\right)=11$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=3$	$y-f\left(3\right)=f \text{'}\left(3\right)\left(x-3\right)$
بتعويض $f\left(3\right)=5 , f \text{'}\left(3\right)=11$	$y-5=11\left(x-3\right)$
بالتبسيط من خلال ضرب $11$  في القوس    إضافة $5$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y-5=11x-33 \\ y=11x-33+5 \\ y=11x-28 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(3,5\right)$ هي: $y=11x-28$

أتحقق من فهمي (صفحة 94)

أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x}$ عندما $x=1$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران  عندما $x=1$. 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x}$
بتوزيع البسط على المقام	$f\left(x\right)=2-\frac{1}{x}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$
بتعويض $x=1$	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=\frac{1}{\left(1\right)2} \\ =1 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عندما $x=1$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=1$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ لنقطة التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x}$
بتعويض $x=1$	$$\begin{gathered} f\left(1\right)=\frac{2\left(1\right)-1}{1} \\ =1 \end{gathered}$$

إذًا، الإحداثي $y$ لنقطة التماس هو: $f\left(1\right)=1$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$y-f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x-1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=1 , f \text{'}\left(1\right)=1$	$y-1=1\left(x-1\right)$
بالتبسيط بإضافة $1$ لطرفي المعادلة	$y=x$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,1\right)$ هي: $y=x$.

أتحقق من فهمي (صفحة 96)

a) أجد إحداثيي النقطة الواقعة الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=1-\sqrt{x}$، التي يكون عندها ميل المماس $-\frac{1}{4}$.

الحل:

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ لنقطة التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=1-\sqrt{x}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
أضع $f \text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{2 \sqrt{x}}=-\frac{1}{4}$
بالتبسيط من خلال الضرب التبادلي	$2 \sqrt{x}=4$
بقسمة  طرفي المعادلة على $2$	$\sqrt{x}=2$
بتربيع طرفي المعادلة	$x=4$

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ لنقطة التماس.

الاقتران المعطى	$y=f\left(x\right)=1-\sqrt{x}$
بتعويض $x=4$	$f\left(4\right)=1-\sqrt{4}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(4\right)=1-2 \\ =-1 \\ y=-1 \end{gathered}$$

إذًا ، نقطة التماس هي: $\left(4,-1\right)$.

b) أجد إحداثيي النقطة ( النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=-x^{3 }+ 3x^2 -2$، التي يكون عندها المماس أفقيًا.

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ لنقطة ( نقاط) التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=-x^3 + 3x^2 -2$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=-3x^2 + 6x$
أضع $f \text{'}\left(x\right)=0$	$-3x^2 + 6x=0$
بقسمة طرفي المعادلة على $-3$	$x^2-2x=0$
بإخراج $x$ عامل مشترك	$x(x-2)=0$
باستعمال خاصية الضرب الصفري	$x=0 or x-2=0$
بحل المعادلة الثانية وإضافة $2$ لطرفي المعادلة	$x=0 or x=2$

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ لنقطتي التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=-x^3 + 3x^2-2$
بتعويض $x=0$  والتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(0\right)=-{\left(0\right)}^3 + 3{\left(0\right)}^2 -2 \\ =-2 \\ (0, -2) \end{gathered}$$
بتعويض $x=2$ والتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(2\right)=-{\left(2\right)}^3 + 6{\left(2\right)}^2 -2 \\ =-8 + 24 -2 \\ =14 \\ (2, 14) \end{gathered}$$

إذًا، إحداثيا نقطتي التماس هما: $\left(0,-2\right) ,\left(2,14\right)$.

أتحقق من فهمي (صفحة 97)

​​​​​​أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\ln x^3$ عند النقطة $\left(1,0\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,0\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln x^3$
إعادة كتابة الاقتران باستعمال قوانين اللوغاريتمات	$f\left(x\right)=3 \ln x$
اشتق الاقتران	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=3 \left(\frac{1}{x}\right) \\ =\frac{3}{x} \end{gathered}$$
بتعويض $x=1$	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=\frac{3}{1} \\ =3 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,0\right)$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=3$.

الخطوة 2: أجد معادلة العمودي على المماس عند النقطة $\left(1,0\right)$.

معادلة العمودي	$y-f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)}\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$y-f\left(1\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(1\right)}\left(x-1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=0 , f \text{'}\left(1\right)=3$	$y-0=\frac{-1}{3}\left(x-1\right)$
بالتبسيط	$y=\frac{-1}{3}x + \frac{1}{3}$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,0\right)$هي: $y=\frac{-1}{3}x + \frac{1}{3}$

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل (صفحة 98 ، 99)

1) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3 - 6x +3$ عند النقطة $\left(2,-1\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(2,-1\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3 - 6x +3$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2 - 6$
نعوض $x=2$	$f \text{'}\left(2\right)=3{\left(2\right)}^2 - 6$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(2\right)=12-6 \\ =6 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هو: $f \text{'}\left(2\right)=6$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=2$	$y-f\left(2\right)=f \text{'}\left(2\right)\left(x-2\right)$
بتعويض $f\left(2\right)=-1 , f \text{'}\left(2\right)=6$	$y-\left(-1\right)=6\left(x-2\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y+1=6x-12 \\ y=6x-13 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(2,-1\right)$ هي: $y=6x-13$

2) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{x^4 - 3x^3}{x}$ عند النقطة $\left(1,-2\right)$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,-2\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{x^4 - 3x^3}{x}$
بكتابة الاقتران في أبسط صورة من خلال إخراج $x$ عامل مشترك واختصرها مع المقام	$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x \left(x^3 -3x^2\right)}{x} \\ =x^3 - 3x^2 \end{gathered}$$
اشتقاق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2 - 6x$
بتعويض $x=1$	$f \text{'}\left(1\right)=3{\left(1\right)}^2 - 6\left(1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=3 - 6 \\ =-3 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,-2\right)$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=-3$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$y-f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x-1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=-2 , f \text{'}\left(1\right)=-3$	$y-\left(-2\right)=-3\left(x-1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y+2=-3x+3 \\ y=-3x+1 \end{gathered}$$

إذًا معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,-2\right)$ هي: $y=-3x+1$.

3) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{x } \left(x^2-1\right)$ عند النقطة $\left(1,0\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة $\left(1,0\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x} \left(x^2-1\right)$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\sqrt{x} \left(2x\right)+\left(x^2-1\right)\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)$
بتعويض $x=1$	$f \text{'}\left(1\right)=\sqrt{1} \left(2\left(1\right)\right) + \left(\left(1^2\right)-1\right)\left(\frac{1}{2 \sqrt{1}}\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=\left(1\right)\left(2\right)+\left(0\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ =2 + 0 \\ =2 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,0\right)$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=2$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$y-f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x-1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=0 ,f \text{'}\left(1\right)=2$	$y-0=2 \left(x-1\right)$
بالتبسيط	$y=2x - 2$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,0\right)$ هي: $y=2x-2$.

4) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x + \frac{4}{x}$ عند النقطة $\left(-4,-5\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة $\left(-4,-5\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x + \frac{4}{x}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=1 -\frac{4}{x^2}$
بتعويض  $x=-4$	$f \text{'}\left(-4\right)=1 - \frac{4}{{\left(-4\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(-4\right)=1 - \frac{4}{16} \\ =1 - \frac{1}{4} \\ =\frac{3}{4} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-4,-5\right)$ هو: $f \text{'}\left(-4\right)=\frac{3}{4}$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض  $a=-4$	$y-f\left(-4\right)=f \text{'}\left(-4\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$
بتعويض  $f\left(-4\right)=-5 , f\text{'}\left(-4\right)=\frac{3}{4}$	$y-\left(-5\right)=\frac{3}{4}\left(x+4\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y+5=\frac{3}{4}x +3 \\ y=\frac{3}{4}x - 2 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-4,-5\right)$ هي: $y=\frac{3}{4}x -2$.

 

5) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x + e^x$ عند النقطة $\left(0,1\right)$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(0,1\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x + e^x$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=1 + e^x$
بتعويض  $x=0$	$f \text{'}\left(0\right)=1 + e^0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(0\right)=1 + 1 \\ =2 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0,1\right)$ هو: $f \text{'}\left(0\right)=2$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض  $a=0$	$y-f\left(0\right)=f \text{'}\left(0\right)\left(x-0\right)$
بتعويض  $f\left(0\right)=1 , f \text{'}\left(0\right)=2$	$y-1=2 \left(x-0\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-1=2x \\ y=2x+1 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0,1\right)$ هي:  $y=2x +1$.

 

6) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(x+e\right)$ عند النقطة $\left(0,1\right)$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(0,1\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x+e\right)$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x+e}$
بتعويض  $x=0$	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(0\right)=\frac{1}{0+e} \\ =\frac{1}{e} \end{gathered}$$

إذًا ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0,1\right)$ هو: $f \text{'}\left(0\right)=\frac{1}{e}$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض$a=0$	$y-f\left(0\right)=f \text{'}\left(0\right)\left(x-0\right)$
بتعويض  $f\left(0\right)=1 , f \text{'}\left(0\right)=\frac{1}{e}$	$y-1=\frac{1}{e}\left(x-0\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-1=\frac{1}{e}x \\ y=\frac{1}{e}x + 1 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0,1\right)$ هي:  $y=\frac{1}{e}x + 1$.

7) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f \text{'}\left(x\right)=\sqrt{x - 7}$ عند $x=16$.

الحل:

الحل:الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $x=16$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x - 7}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2 \sqrt{x - 7}}$
بتعويض  $x=16$	$f \text{'}\left(16\right)=\frac{1}{2 \sqrt{16 - 7}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2 \sqrt{9}}=\frac{1}{2\left(3\right)} \\ =\frac{1}{6} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند $x=16$ هو: $\frac{1}{6}$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=16$.

الاقتران المعطى	$f \left(x\right)=\sqrt{x - 7}$
بتعويض  $x=16$	$f\left(16\right)=\sqrt{16 - 7}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(16\right)=\sqrt{16 - 7} \\ =\sqrt{9} \\ =3 \end{gathered}$$

إذًا، عندما $x=16$ فإن $y=3$، ونقطة التماس هي: $\left(16,3\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=16$	$y-f\left(16\right)=f \text{'}\left(16\right)\left(x-16\right)$
بتعويض  $f\left(16\right)=3 , f \text{'}\left(16\right)=\frac{1}{6}$	$y - 3=\frac{1}{6}\left(x - 16\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - 3=\frac{1}{6} x - \frac{16}{6} , \frac{16}{6}=\frac{8}{3} \\ y- 3=\frac{1}{6} x - \frac{8}{3} \\ y=\frac{1}{6} x - \frac{8}{3} + 3 \\ y=\frac{1}{6} x + \frac{1}{3} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$  عند النقطة $\left(16,3\right)$ هي :  $y=\frac{1}{6} x + \frac{1}{3}$. 

 

8) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\left(x - 1\right) e^x$، عند $x=1$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $x=1$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(x - 1\right) e^x$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x - 1\right) e^x + e^x \left(1\right)$
بتعويض  $x=1$	$f \text{'}\left(1\right)=\left(1 - 1\right) e^{\left(1\right)} + e^{\left(1\right)}\left(1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=\left(0\right)e + e \\ =e \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران  $f$ عند $x=1$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=e$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=1$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(x - 1\right) e^x$
بتعويض  $x=1$	$f\left(1\right)=\left(1 - 1\right) e^{\left(1\right)}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(1\right)=\left(0\right) e \\ =0 \end{gathered}$$

إذًا، عندما $x=1$ فإن $y=0$، ونقطة التماس هي: $\left(1,0\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض  $a=1$	$y-f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x-1\right)$
بتعويض  $f\left(1\right)=0 , f \text{'}\left(1\right)=e$	$y-0=e \left(x-1\right)$
بالتبسيط	$y=e x - e$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,0\right)$ هي:  $y=e x - e$,

9) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-3}$ عند $x=4$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $x=4$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-3}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x-3\right)\left(1\right)-\left(x+3\right)\left(1\right)}{{\left(x-3\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\frac{x-3-x-3}{{\left(x-3\right)}^2} \\ =\frac{-6}{{\left(x-3\right)}^2} \end{gathered}$$
بتعويض  $x=4$	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(4\right)=\frac{-6}{{\left(4-3\right)}^2} \\ =\frac{-6}{1} \\ =-6 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند $x=4$ هو:  $f \text{'}\left(4\right)=-6$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=4$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-3}$
بتعويض $x=4$	$$\begin{gathered} f\left(4\right)=\frac{4+3}{4-3} =\frac{7}{1} \\ =7 \end{gathered}$$

إذًان، عندما $x=4$  فإن $y=7$ ، ونقطة التماس هي: $\left(4,7\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس

 

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(x\right)\left(x-a\right)$
بتعويض  $x=4$	$y-f\left(4\right)=f \text{'}\left(4\right)\left(x-4\right)$
بتعويض $f\left(4\right)=7 , f \text{'}\left(x\right)=-6$	$y-7=-6 \left(x-7\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-7=-6x + 42 \\ y=-6x + 49 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(4,7\right)$ هي: $y=-6x + 49$.

 

10) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$ عند $x=e$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $x=e$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=2 \left(\ln x\right) \times \frac{1}{x}$
بتعويض  $x=e$	$f \text{'}\left(e\right)=2 \left(\ln e\right) \times \frac{1}{e}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(e\right)=2\left(1\right)\times \frac{1}{e} \\ =\frac{2}{e} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند $x=e$ هو: $f \text{'}\left(e\right)=\frac{2}{e}$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=e$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$
بتعويض  $x=e$	$f\left(e\right)={\left(\ln e\right)}^2$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \left(e\right)={\left(1\right)}^2 \\ =1 \end{gathered}$$

إذًا، عندما $x=e$ فإن $y=1$، ونقطة التماس هي: $\left(e,1\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=e$	$y-f\left(e\right)=f \text{'}\left(e\right)\left(x-e\right)$
بتعويض $f\left(e\right)=1 , f \text{'}\left(e\right)=\frac{2}{e}$	$y-1=\frac{2}{e} \left(x - e\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-1=\frac{2}{e} x - 2 \\ y=\frac{2}{e } x - 1 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(e,1\right)$ هي:  $y=\frac{2}{e} x - 1$.

11) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)={\left(3x + 10\right)}^2$ عند النقطة $\left(-3,1\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة$\left(-3,1\right)$. 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(3x + 10\right)}^2$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=2 \left(3x + 10\right) \times 3$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=18x + 60$
بتعويض  $x=-3$	$f \text{'}\left(-3\right)=18 \left(-3\right) + 60$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(-3\right)=-54 + 60 \\ =6 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-3,1\right)$ هو: $f \text{'}\left(-3\right)=6$.

الخطوة 2: أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(-3,1\right)$.

معادلة العمودي	$y-f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)}\left(x-a\right)$
بتعويض $a=-3$	$y-f\left(-3\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(-3\right)}\left(x-\left(-3\right)\right)$
بتعويض  $f\left(-3\right)=1 , f \text{'}\left(-3\right)=6$	$y-1=\frac{-1}{6}\left(x+3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-1=\frac{-1}{6}x -\frac{1}{2} \\ =\frac{-1}{6}x - \frac{1}{2} + 1 \\ =\frac{-1}{6}x + \frac{1}{2} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-3,1\right)$ هي:  $y=\frac{-1}{6}x + \frac{1}{2}$.

 

12) أجد معادلة العمودي المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{2 x + 1}}$، عند النقطة $\left(4,1\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(4,1\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{2 x + 1}}$
تحويل الجذر  إلى الصورة الأسية ورفعه للأعلى	$f\left(x\right)=3 {\left(2 x + 1\right)}^{\frac{-1}{2}}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{-3}{2} {\left(2 x + 1\right)}^{\frac{-3}{2}} \times 2$
بالتبسيط وتحويل الصورة الأُسية إلى الصورة الجذرية	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=-3 {\left(2 x + 1\right)}^{\frac{-3}{2}} \\ =\frac{-3}{{\left(2 x + 1\right)}^{\frac{3}{2}}} \\ =\frac{-3}{\sqrt{{\left(2 x + 1\right)}^3}} \end{gathered}$$
بتعويض $x=4$	$f \text{'}\left(4\right)=\frac{-3}{\sqrt{{\left(2 \left(4\right) + 1\right)}^3}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(4\right)=\frac{-3}{{\left(3\right)}^3} \\ =\frac{-1}{9} \end{gathered}$$

إذًا: ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(4,1\right)$ هو: $f \text{'}\left(4\right)=\frac{-1}{9}$.

الخطوة 2: أجد معادلة العمودي على المماس

معادلة العمودي	$y - f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)} \left(x - a\right)$
بتعويض $a=4$	$y - f\left(4\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(4\right)} \left(x - 4\right)$
بتعويض  $f\left(4\right)=1 , f \text{'}\left(4\right)=\frac{-1}{9}$	$y - 1=\frac{-1}{\frac{-1}{9}} \left(x - 4\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - 1=9 \left(x - 4\right) \\ y - 1=9 x - 36 \\ y=9 x - 35 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(4,1\right)$ هي: $y=9 x - 35$.

 

يُبيِّن الشكل المجاور منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(x + 5\right)$:

13) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند نقطة تقاطعه مع المحور $x$

إرشاد: عند تقاطع المنحنى مع المحور  $x$ فإن $0=y$

14) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند نقطة تقاطعه مع المحور $y$.

إرشاد: عند تقاطع المنحنى مع المحور  $y$ فإن $0=x$

الحل:

13) نقطة التماس هي نقطة تقاطع الاقتران مع محور $x$ وهي: $\left(-4,0\right)$.

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(-4,0\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x + 5\right)$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x + 5}$
بتعويض $x=-4$	$f \text{'}\left(-4\right)=\frac{1}{-4 + 5}$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(-4\right)=1$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-4,0\right)$ هو: $f \text{'}\left(-4\right)=1$.

الخطوة 2: أجد معادلة العمودي على المماس

معادلة العمودي	$y - f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)} \left(x - a\right)$
بتعويض  $a=-4$	$y - f\left(-4\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(-4\right)} \left(x - \left(-4\right)\right)$
بتعويض  $f\left(-4\right)=0 , f \text{'}\left(-4\right)=1$	$y - 0=\frac{-1}{1} \left(x + 4\right)$
بالتبسيط	$y=-x - 4$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-4,0\right)$ هي: $y=-x - 4$.

 

14)  يقطع الاقتران $f\left(x\right)$ محور $y$ عندما تكون $x=0$.

الخطوة 1: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=0$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x + 5\right)$
بتعويض  $x=0$	$f\left(0\right)=\ln \left(0 + 5\right)$
بالتبسيط	$f\left(0\right)=\ln 5$

إذًا، عندما $x=0$ فإن $y=\ln 5$، ونقطة التماس هي: $\left(0, \ln 5\right)$.

الخطوة 2: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(0, \ln 5\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x + 5\right)$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x + 5}$
بتعويض  $x=0$	$f \text{'}\left(0\right)=\frac{1}{0 + 5}$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(0\right)=\frac{1}{5}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0,\ln 5\right)$ هو: $f \text{'}\left(0\right)=\frac{1}{5}$.

الخطوة 3: أجد معادلة العمودي على المماس.

معادلة العمودي على المماس	$y - f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)} \left(x - a\right)$
بتعويض $a=0$	$y - f\left(0\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(0\right)} \left(x - 0\right)$
بتعويض  $f\left(0\right)=\ln 5 , f\text{'}\left(0\right)=\frac{1}{5}$	$y - \ln 5=\frac{-1}{\frac{1}{5}} \left(x - 0\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - \ln 5=-5 x \\ y=-5 x + \ln 5 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0,\ln x\right)$هي:  $y=-5 x + \ln 5$.

 

15) إذا كان: $f\left(x\right)=4 e^{2x+1}$، أجد معادلة المماس لمنحنى $f\left(x\right)$ عند نقطة تقاطعه مع المستقيم: $x=-1$

الحل: 

الخطوة 1: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=-1$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4 e^{2x+1}$
بتعويض $x=-1$	$f\left(-1\right)=4 e^{2\left(-1\right)+1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=4 e^{-2+1} \\ =4 e^{-1} \\ =\frac{4}{e} \end{gathered}$$

إذًا، عندما $x=-1$ فإن $y=\frac{4}{e}$، ونقطة التماس هي: $\left(-1,\frac{4}{e}\right)$.

الخطوة 2: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(-1,\frac{4}{e}\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4 e^{2x+1}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=4 e^{2x+1} \times 2$
بتعويض  $x=-1$	$f \text{'}\left(-1\right)=4 e^{2\left(-1\right)+1} \times 2$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(-1\right)=8 e^{-1} \\ =\frac{8}{e} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-1,\frac{4}{e}\right)$ هو:   $f \text{'}\left(-1\right)=\frac{8}{e}$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y - f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x - a\right)$
بتعويض  $x=-1$	$y - f\left(-1\right)=f \text{'}\left(-1\right)\left(x - \left(-1\right)\right)$
بتعويض $f\left(-1\right)=\frac{4}{e} , f\text{'}\left(-1\right)=\frac{8}{e}$	$y - \frac{4}{e}=\frac{8}{e} \left(x + 1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - \frac{4}{e} =\frac{8}{e} x + \frac{8}{e} \\ y=\frac{8}{e} x + \frac{8}{e} + \frac{4}{e} \\ y=\frac{8}{e } x + \frac{12}{e} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-1,\frac{4}{e}\right)$ هي:  $y=\frac{8}{e} x + \frac{12}{e}$.

 

16) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران:$f\left(x\right)=4 e^{2x+1}$ عند نقطة تقاطعه مع المحور $y$.

الحل:

عند نقطة تقاطع منحنى الاقتران مع المحور  $y$ تكون $x=0$.

الخطوة 1: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=0$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4 e^{2x+1}$
بتعويض $x=0$	$f\left(0\right)=4 e^{2\left(0\right)+1}$
بالتبسيط	$f\left(0\right)=4 e$

إذًا، عندما $x=0$ فإن $y=4 e$، ونقطة التماس هي: $\left(0 , 4e\right)$.

الخطوة 2: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(0 , 4e\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4 e^{2x+1}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=4 e^{2x+1} \times 2$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=8 e^{2x+1}$
بتعويض  $x=0$	$f \text{'}\left(0\right)=8 e^{2\left(0\right)+1}$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(0\right)=8 e$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0 , 4 e\right)$ هو: $f \text{'}\left(0\right)=8 e$.

الخطوة 3: أجد معادلة العمودي على المماس.

معادلة العمودي	$y - f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)} \left(x - a\right)$
بتعويض $a=0$	$y - f\left(0\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(0\right)} \left(x - 0\right)$
بتعويض$f\left(0\right)=4 e , f \text{'}\left(0\right)=8 e$	$y - 4 e=\frac{-1}{8 e} \left(x - 0\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - 4 e=\frac{-1}{8 e} x \\ y=\frac{-1}{8 e} x + 4 e \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(0 , 4 e\right)$ هي:  $y=\frac{-1}{8 e} x + 4 e$.

 

17) أجد إحداثيي النقطة الواقعة على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2 - x - 12$، التي يكون عندها ميل المماس $3$، ثم أكتب معادلة هذا المماس.

الحل: 

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ للنقطة الواقعة على منحنى الاقتران والتي يكون عندها ميل المماس $3$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2 - x - 12$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=2x - 1$
بتعويض $f \text{'}\left(x\right)=3$	$2x-1=3$
بحل المعادلة بإضافة $1$ لطرفي المعادلة وقسمة طرفي المعادلة على $2$	$$\begin{gathered} 2x=4 \\ x=2 \end{gathered}$$

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=2$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2 - x - 12$
بتعويض $x=2$	$f\left(2\right)={\left(2\right)}^2 - 2 - 12$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\left(2\right)=4 - 2 - 12 \\ =-10 \end{gathered}$$

إذًا، عندما $x=2$ فإن $y=-10$، والنقطة التي عندها ميل المماس $3$ هي: $\left(2,-10\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y - f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x - a\right)$
بتعويض $a=2$	$y - f\left(2\right)=f \text{'}\left(2\right)\left(x - 2\right)$
بتعويض $f\left(2\right)=-10 , f \text{'}\left(2\right)=3$	$y -\left(-10\right)=3 \left(x - 2\right)$
بالتبسيط بضرب $3$ في القوس بإضافة $-10$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y +10=3 x - 6 \\ y=3 x -16 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(2,-10\right)$ هي:  $y=3 x - 16$.

 

18) أجد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران : $f\left(x\right)=x^3 -4 x^2 - 4$      التي يكون عندها المماس أفقيًّا.

الحل: 

ميل المماس الأفقي يساوي صفرًا.

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ لنقطة (نقاط) التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3 - 4 x^2 - 4$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2 - 8x$
بتعويض $f \text{'}\left(x\right)=0$	$3x^2 - 8x=0$
بحل المعادلة: إخراج $x$ عامل مشترك	$x \left(3x - 8\right)=0$
خاصية الضرب الصفري	$x=0 or 3x-8=0$
بإضافة $8$ لطرفي المعادلة بقسمة طرفي المعادلة على$3$	$$\begin{gathered} 3x=8 \\ x=\frac{8}{3} \end{gathered}$$

 الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ لنقطتي التماس.

أجد $f\left(0\right)$  ,  $f \left(\frac{8}{3}\right)$:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3 - 4x^2 - 4$
بتعويض $x=0$	$$\begin{gathered} f\left(0\right)={\left(0\right)}^3- 4{\left(0\right)}^2 -4 \\ =-4 \end{gathered}$$
بتعويض $x=\frac{8}{3}$	$$\begin{gathered} f \left(\frac{8}{3}\right)={\left(\frac{8}{3}\right)}^3 -4 {\left(\frac{8}{3}\right)}^2 -4 \\ =\frac{512}{27} - 4 \left(\frac{64}{9}\right) -4 \\ =\frac{-364}{27} \end{gathered}$$

إذًا، إحداثيا نقطتي التماس هما: $\left(0 ,-4 \right) ,\left(\frac{8}{3} ,\frac{-364}{27}\right)$.

19) أجد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران :$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$، التي يكون عندها المماس أفقيًّا.

الحل: 

ميل المماس الأفقي يساوي صفرًا.

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ لنقطة (نقاط) التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x - 1} \times \left(1\right) -\left(x\right)\times \frac{2}{2 \sqrt{2x - 1}}}{{\left(\sqrt{2x - 1} \right)}^2}$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x - 1} - \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}$
بتعويض  $f \text{'}\left(x\right)=0$	$\frac{\sqrt{2x - 1} -\frac{x}{\sqrt{2x - 1}}}{2x - 1}=0$
الكسر يساوي صفرًا عندما بسطه صفرًا	$\sqrt{2x -1} - \frac{x}{\sqrt{2x -1}}=0$
بحل المعادلة من خلال إضافة $\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ لطرفي المعادلة الضرب التبادلي إضافة $-x$ لطرفي المعادلة ثم إضافة $1$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} \sqrt{2 x - 1}=\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} \\ 2 x - 1=x \\ x-1=0 \\ x=1 \end{gathered}$$

 الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ لنقطة التماس.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{2x - 1}}$
بتعويض $x=1$	$f\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\left(1\right) - 1}}$
بالتبسيط	$f\left(1\right)=1$

إذًا، إحداثيي نقطة التماس هما: $\left(1,1\right)$.

يبين الشكل المجاور  منحنى الاقتران: $y=6x - x^2$:

21) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $p$.

22) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $p$.

الحل:

21)  إحداثيي النقطة $p$ هما $\left(1,5\right)$.

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة $\left(1,5\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=6x - x^2$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=6 - 2x$
بتعويض $x=1$	$f \text{'}\left(1\right)=6 - 2\left(1\right)$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(1\right)=4$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $p\left(1,5\right)$ هو: $f \text{'}\left(x\right)=4$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة $p\left(1,5\right)$.

معادلة المماس	$y -f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$y - f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x - 1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=5 , f \text{'}\left(1\right)=4$	$y - 5=4 \left(x - 1\right)$
بالتبسيط من خلال ضرب $4$ في القوس إضافة $5$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y - 5=4 x - 4 \\ y=4 x - 4 + 5 \\ y=4 x +1 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $p\left(1,5\right)$ هي: $y=4 x + 1$.

الحل:

 

22) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند $p\left(1,5\right)$ .

معادلة العمودي	$y -f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)} \left(x - a\right)$
بتعويض $a=1$	$y-f\left(1\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(1\right)} \left(x - 1\right)$
بتعويض $f \left(1\right)=5 , f \text{'}\left(1\right)=4$	$y -5=\frac{-1}{4} \left(x - 1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y - 5=\frac{-1}{4} x +\frac{1}{4} \\ y=\frac{-1}{4} x +\frac{1}{4} + 5 \\ y=\frac{-1}{4} x + \frac{21}{4} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $p\left(1,5\right)$ هي: $y=\frac{-1}{4} x + \frac{21}{4}$.

مهارات التفكير العليا

تبرير: إذا كان: $f \left(x\right)=6 - x^2$، فأوجد كلاً مما يأتي:

23) معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند كل من النقطة $\left(-1,5\right)$ والنقطة      $\left(1,5\right)$، مبررًا إجابتي.

24)  نقطة تقاطع المماسين من الفرع السابق، مبررًا إجابتي.

الحل:

23)  أجد ميل المماس عند النقطة $\left(-1,5\right)$ والنقطة $\left(5,1\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=6 - x^2$
اشتق الاقتران	$f \text{'}\left(x\right)=-2 x$
بتعويض $x=-1$	$f \text{'}\left(-1\right)=-2 \left(-1\right)=2$
بتعويض $x=1$	$f\text{'}\left(1\right)=-2 \left(1\right)=-2$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-1,5\right)$ هو: $f \text{'}\left(-1\right)=2$.

        ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,5\right)$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=-2$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(-1,5\right)$.

معادلة المماس	$y - f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x - a\right)$
بتعويض $x=-1$	$y - f\left(-1\right)=f \text{'}\left(-1\right)\left(x - \left(-1\right)\right)$
بتعويض $f\left(-1\right)=5 , f \text{'}\left(-1\right)=2$	$y - 5=2 \left(x - \left(-1\right)\right)$
بالتبسيط : ضرب في  القوس إضافة $5$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y - 5=2 \left(x + 1\right) \\ y - 5=2 x + 2 \\ y=2 x + 7 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(-1,5\right)$ هي: $y=2 x + 7$

الخطوة 3: أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(1,5\right)$.

معادلة المماس	$y - f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x - a\right)$
بتعويض $x=1$	$y - f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x - 1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=5 , f \text{'}\left(1\right)=-2$	$y - 5=-2 \left(x - 1\right)$
بالتبسيط: ضرب $-2$ في القوس وإضافة $5$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y - 5=-2 x + 2 \\ y=-2 x +2 + 5 \\ y=-2 x + 7 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,5\right)$هي: $y=-2 x + 7$

 

24) 

الحل: لإيجاد نقطة تقاطع المماسين من الفرع السابق، نضع معادلة المماس الاول تساوي معادلة المماس الثاني

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ لنقطة التقاطع.

معادلة المماس عند النقطة $\left(-1,5\right)$	$y=2 x + 7$
معادلة المماس عند النقطة $\left(1,5\right)$	$y=-2 x + 7$
نساوي معادلتي المماسين	$2x + 7=-2 x + 7$
بحل المعادلة: إضافة $2x$ لطرفي المعادلة إضافة $-7$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} 2 x + 7=-2 x + 7 \\ 4 x + 7=7 \\ 4 x=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

إذًا، الإحداثي $x$ لنقطة تقاطع المماسين هو: $x=0$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ لنقطة تقاطع المماسين، ويتم ذلك من خلال تعويض $x=0$ في إحدى المعادلتين.

معادلة المماس	$y=2 x + 7$
بتعويض $x=0$	$y=2\left(0\right) + 7$
بالتبسيط	$y=7$

إذًا، عندما $x=0$ فإن $y=7$ ، ونقطة تقاطع المماسين هي: $\left(0,7\right)$.

 

تحدي:إذا كان: $f\left(x\right)=\sqrt{x}$، فأُجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

26) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,1\right)$.

27) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,1\right)$.

 26) الحل:

  الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,1\right)$.

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$	الاقتران المعطى
$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	اشتق الاقتران
$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2 \sqrt{1}} \\ =\frac{1}{2} \end{gathered}$$	بتعويض $x=1$

إذًا، ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ هو: $f \text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2}$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(1,1\right)$

معادلة المماس	$y - f\left(a\right)=f \text{'}\left(a\right)\left(x - a\right)$
بتعويض $x=1$	$y - f\left(1\right)=f \text{'}\left(1\right)\left(x - 1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=1 , f \text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2}$	$y - 1=\frac{1}{2} \left(x - 1\right)$
بالتبسيط: ضرب $\frac{1}{2}$ في القوس إضافة $1$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y - 1=\frac{1}{2} \left(x - 1\right) \\ y - 1=\frac{1}{2 } x - \frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2} x -\frac{1}{2} + 1 \\ y=\frac{1}{2} x +\frac{1}{2} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,1\right)$ هي: $y=\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$.

27) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,1\right)$.

الحل:

معادلة العمودي على المماس	$y - f\left(a\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(a\right)} \left(x - a\right)$
بتعويض $a=1$	$y - f\left(1\right)=\frac{-1}{f \text{'}\left(1\right)} \left(x - 1\right)$
بتعويض $$$f\left(1\right)=1 ,f \text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2}$	$y - 1=\frac{-1}{\frac{1}{2}} \left(x - 1\right)$
بالتبسيط: ضرب $-2$ في القوس إضافة $1$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} y - 1=-2 \left(x - 1\right) \\ y - 1=-2 x + 2 \\ y=-2 x + 2 +1 \\ y=-2 x + 3 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f$ عند النقطة $\left(1,1\right)$ هي: $y=-2 x + 3$.

27) تبرير: أجد إحداثيي النقطة الواقعة  على منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{x} - 1$، والتي يكون عندها مماس منحنى الاقتران موازيًا للمستقيم: $y=2 x - 1$.

الحل:

بما أن مماس المنحنى يوازي مماس المستقيم عند نقطة، فإن ميل المماس = ميل المستقيم

الخطوة 1: أجد الإحداثي $x$ للنقطة الواقعة على منحنى الاقتران والتي يكون عندها المماس موازيًا للمستقيم.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x} - 1$
اشتق الاقتران	$f \text{'} \left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
معادلة المستقيم	$y=2 x - 1$
اشتق معادلة المستقيم	$\frac{dy}{dx}=2$
نضع  $\frac{dy}{dx}=f \text{'}\left(x\right)$	$2=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
بحل المعادلة: الضرب التبادلي	$4 \sqrt{x}=1$
بقسمة طرفي المعادلة على $4$	$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$
بتربيع طرفي المعادلة	$x=\frac{1}{16}$

الخطوة 2: عندما $x=\frac{1}{16}$  أجد الإحداثي $y$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x} - 1$
بتعويض  $x=\frac{1}{16}$	$f \left(\frac{1}{16}\right)=\sqrt{\frac{1}{16}} - 1$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \left(\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{4} - 1 \\ =\frac{-3}{4} \end{gathered}$$

إذًا، عندما  $x=\frac{1}{16}$  فإن $y=\frac{-3}{4}$، والنقطة الواقعة على منحنى الاقتران$f$ ويكون عندها المماس موازيًا للمستقيم هي: $\left(\frac{1}{16},\frac{-3}{4}\right)$.

كتاب التمارين (صفحة 21)

1) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=2x^3+6x+10$ عند النقطة $$$\left(-1,2\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة$\left(-1,2\right)$. 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^3+6x+10$
اشتق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right)=6x^2+6$
بتعويض $x=-1$	$f\text{'}\left(-1\right)=6{\left(-1\right)}^2+6$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(-1\right)=6+6 \\ =12 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند النقطة $\left(-1,2\right)$هو: $f\left(-1\right)=12$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=-1$	$y-f\left(-1\right)=f\text{'}\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$
بتعويض $f\left(-1\right)=2 ,f\text{'}\left(-1\right)=12$	$y-2=12\left(x+1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-2=12x+12 \\ y=12x+14 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(-1,2\right)$هي: $y=12x+14$

2) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{e^x}{x+4}$ عند النقطة $\left(0,\frac{1}{4}\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $\left(0,\frac{1}{4}\right)$,

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{e^x}{x+4}$
اشتق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x+4\right)e^x-e^x\left(1\right)}{{\left(x+4\right)}^2}$
بتعويض $x=0$	$f\text{'}\left(0\right)=\frac{\left(0+4\right)e^0-e^0}{{\left(0+4\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(0\right)=\frac{4\left(1\right)-\left(1\right)}{16} ,e^0=1 \\ =\frac{3}{16} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند النقطة $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ هو: $f\text{'}\left(0\right)=\frac{3}{16}$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=0$	$y-f\left(0\right)=f\text{'}\left(0\right)\left(x-0\right)$
بتعويض $f\left(0\right)=\frac{1}{4} ,f\text{'}\left(0\right)=\frac{3}{16}$	$y-\frac{1}{4}=\frac{3}{16}\left(x-0\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-\frac{1}{4}=\frac{3}{16}x \\ y=\frac{3}{16}x+\frac{1}{4} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ هي: $y=\frac{3}{16}x+\frac{1}{4}$

3) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2-\frac{7}{x^2}$ عند النقطة $\left(1,-6\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,-6\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2-\frac{7}{x^2}$
اشتق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{7\left(-2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=2x+\frac{14}{x^3}$
بتعويض $x=1$	$f\text{'}\left(1\right)=2\left(1\right)+\frac{14}{{\left(1\right)}^3}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(1\right)=2+14 \\ =16 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند النقطة $\left(1,-6\right)$ هو: $f\text{'}\left(x\right)=16$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1$	$y-f\left(1\right)=f\text{'}\left(1\right)\left(x-1\right)$
بتعويض $f\left(1\right)=-6 ,f\text{'}\left(1\right)=16$	$y-\left(-6\right)=16\left(x-1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y+6=16x-16 \\ y=16x-22 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(1,-6\right)$ هي: $y=16x-22$.

4) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2-\frac{8}{\sqrt{x}}$ عند النقطة $\left(4,12\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(4,12\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2-\frac{8}{\sqrt{x}}$
بإعادة كتابة الاقتران من خلال تحويل الصورة الجذرية إلى الصورة الأُسية ورفع المقدار للأعلى	$f\left(x\right)=x^2-8 x^{-\frac{1}{2}}$
اشتق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right)=2x-8\left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2x+4 x^{-\frac{3}{2}} \\ =2x+\frac{4}{\sqrt{x^3}} \end{gathered}$$
بتعويض $x=4$	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(4\right)=2\left(4\right)+\frac{4}{\sqrt{{\left(4\right)}^3}} \\ =8+\frac{4}{8}=8+\frac{1}{2} \\ =\frac{17}{2} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند النقطة $\left(4,12\right)$هو: $f\text{'}\left(4\right)=\frac{17}{2}$.

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=4$	$y-f\left(4\right)=f\text{'}\left(4\right)\left(x-4\right)$
بتعويض $f\left(4\right)=12 ,f\text{'}\left(4\right)=\frac{17}{2}$	$y-12=\frac{17}{2}\left(x-4\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-12=\frac{17}{2}x-34 \\ y=\frac{17}{2}x-22 \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(4,12\right)$هي: $y=\frac{17}{2}x-22$.

5) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=4\sqrt{x}$ عند $\left(9,12\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(9,12\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4\sqrt{x}$
اشتق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right)=4\frac{1}{2\sqrt{x}}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}}$
بتعويض $x=9$	$f\text{'}\left(9\right)=\frac{2}{\sqrt{9}}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(9\right)=\frac{2}{3}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند النقطة $\left(9,12\right)$هو: $f\text{'}\left(9\right)=\frac{2}{3}$

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $x=9$	$y-f\left(9\right)=f\text{'}\left(9\right)\left(x-9\right)$
بتعويض $f\left(9\right)=12 ,f\text{'}\left(9\right)=\frac{2}{3}$	$y-12=\frac{2}{3}\left(x-9\right)$
بالتبسيط	$y-12=\frac{2}{3}x-3$
بالتبسيط	$y=\frac{2}{3}x+9$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(9,12\right)$هي: $y=\frac{2}{3}x+9$

6) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{25-x^2}$ عند النقطة $\left(3,4\right)$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(3.4\right)$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{25-x^2}$
اشتق الاقتران	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}} \\ =\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} \end{gathered}$$
بتعويض $x=3$	$f\text{'}\left(3\right)=\frac{-3}{\sqrt{25-{\left(3\right)}^2}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(3\right)=\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{-3}{\sqrt{16}} \\ =\frac{-3}{4} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند النقطة $\left(3,4\right)$هي: $f\text{'}\left(3\right)=\frac{-3}{4}$

الخطوة 2: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=3$	$y-f\left(3\right)=f\text{'}\left(3\right)\left(x-3\right)$
بتعويض $f\left(3\right)=4 ,f\text{'}\left(3\right)=\frac{-3}{4}$	$y-4=\frac{-3}{4}\left(x-3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-4=\frac{-3}{4}x +\frac{9}{4} \\ y=\frac{-3}{4}x +\frac{9}{4}+4 \\ y=\frac{-3}{4}x +\frac{25}{4} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(3,4\right)$هي: $y=\frac{-3}{4}x +\frac{25}{4}$

7) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$، عند $x=8$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $x=8$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$
بإعادة كتابة الاقتران بتحويل الصورة الجذرية إلى الصورة الأُسية	$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}$
اشتق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}$
بإعادة كتابة المشتقة بالصورة الجذرية	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
بتعويض $x=8$	$f\text{'}\left(8\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{{\left(8\right)}^2}}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(8\right)=\frac{1}{3{\left(2\right)}^2}=\frac{1}{12}$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند $x=8$ هو: $f\text{'}\left(8\right)=\frac{1}{12}$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$ عندما $x=8$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$
بتعويض $x=8$	$$\begin{gathered} f\left(8\right)=\sqrt[3]{8} \\ =2 \end{gathered}$$
لكن $y=f\left(8\right)$	$y=2$

إذًا، الإحداثي $y=2$ عندما $x=8$، ونقطة التماس هي: $\left(8,2\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=8$	$y-f\left(8\right)=f\text{'}\left(8\right)\left(x-8\right)$
بتعويض $f\left(8\right)=2 ,f\text{'}\left(8\right)=\frac{1}{12}$	$y-2=\frac{1}{12}\left(x-8\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-2=\frac{1}{12}x-\frac{8}{12} \\ y=\frac{1}{12}x-\frac{8}{12}+2 \\ y=\frac{1}{12}x+\frac{16}{12} \\ y=\frac{1}{12}x+\frac{4}{3} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(8,2\right)$هي: $y=\frac{1}{12}x+\frac{4}{3}$.

7) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: $f\left(x\right)\frac{4+x}{x-2}$ عند $x=8$.

الحل:

الخطوة 1: أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران عند $x=8$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{4+x}{x-2}$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\left(1\right)-\left(4+x\right)\left(1\right)}{{\left(x-2\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{x-2-4-x}{{\left(x-2\right)}^2} \\ =\frac{-6}{{\left(x-2\right)}^2} \end{gathered}$$
بتعويض $x=8$	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(8\right)=\frac{-6}{{\left(8-2\right)}^2}=\frac{-6}{36} \\ =\frac{-1}{6} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى  الاقتران عند $x=8$ هو: $f\text{'}\left(8\right)=\frac{-1}{6}$.

الخطوة 2: أجد الإحداثي $y$عندما $x=8$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{4+x}{x-2}$
بتعويض $x=8$	$f\left(8\right)=\frac{4+8}{8-2}$
بالتبسيط	$f\left(8\right)=\frac{12}{6}=2$
لكن  $y=f\left(8\right)$	$y=2$

إذًا، الإحداثي $y=2$ عندما $x=8$ ونقطة التماس هي: $\left(8,2\right)$.

الخطوة 3: أجد معادلة المماس.

معادلة المماس	$y-f\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)$
بتعويض $a=8$	$y-f\left(8\right)=f\text{'}\left(8\right)\left(x-8\right)$
بتعويض $f\left(8\right)=2 ,f\text{'}\left(8\right)=\frac{-1}{6}$	$y-2=\frac{-1}{6}\left(x-8\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-2=\frac{-1}{6}x+\frac{8}{6} \\ y=\frac{-1}{6}x+\frac{8}{6}+2 \\ =\frac{-1}{6}x+\frac{20}{6} \\ =\frac{-1}{6}x+\frac{10}{3} \end{gathered}$$

 إذًا،معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $\left(8,2\right)$ هي: $y=\frac{-1}{6}x+\frac{10}{3}$ا