رياضيات 9 فصل ثاني

المُدرَّجاتُ التكراريةُ

 

المُخطَّطاتُ التكراريةُ

تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المُخطَّطاتِ التكراريةَ هيَ أكثرُ الطرائقِ شيوعًا لتمثيلِ البياناتِ المتصلةِ والمُمثَّلةِ في جداولَ تكراريةٍ.

يُطلَقُ على المُخطَّطاتِ التكراريةِ المُستعمَلةِ لعرضِ البياناتِ العدديةِ المتصلةِ والمُمثَّلةِ في جداولَ تكراريةٍ اسمُ المُدرَّجاتِ

التكراريةِ ( histograms ). سأتعلَّمُ في هذا الدرسِ تمثيلَ نوعينِ منْها، هما : المُدرَّجاتُ التكراريةُ ذاتُ الفئاتِ مُتساويةِ

الطولِ ، والمُدرَّجاتُ التكراريةُ ذاتُ الفئاتِ غيرِ مُتساويةِ الطولِ.

 

أولًا :  المُدرَّجاتُ التكراريةُ ذاتُ الفئاتِ مُتساويةِ الطولِ

عندَ تمثيلِ البياناتِ العدديةِ المتصلةِ والمُجمَّعةِ في فئاتِ بمُدرَّجاتٍ تكراريةٍ عنْ طريقِ استعمالِ مُدرَّجٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ

مُتساويةِ الطولِ، يجبُ استعمالُ تدريجٍ متصلٍ بالمحورِ الأفقيِّ، وهذا يعني عدمَ وجودِ فراغاتٍ بينَ أعمدةِ المُدرَّجِ.

 

ثانيًا : المُدرَّجاتُ التكراريةُ ذاتُ الفئاتِ غيرِ مُتساويةِ الطولِ

في بعضِ الأحيانِ، تُجمَّعُ البياناتُ المتصلةُ في جداولَ تكراريةٍ ذاتِ فئاتٍ غيرِ متساويةٍ في الطولِ. وفي هذهِ الحالةِ، يتعيَّنُ

تمثيلُ هذهِ البياناتِ بمُدرَّجٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ غيرِ مُتساويةِ الطولِ. ولكنْ، إذا مُثِّلَتِ البياناتُ باستعمالِ تكراراتِها، فإنَّ التمثيلَ

الناتجَ يكونُ مُضلِّلًا ؛ لأنَّ النسبةَ بينَ مساحاتِ الأعمدةِ لا تكونُ متناسبةً معَ النسبةِ بينَ التكراراتِ. وهنا تظهرُ الحاجةُ إلى

إيجادِ الكثافةِ التكراريةِ ( frequency density ) لكلِّ فئةٍ، وذلكَ بقسمةِ تكرارِ الفئةِ على طولِها كما يأتي :

$( \mathrm{التكرارية} \mathrm{الكثافة} ) =\frac{( \mathrm{الفئة} \mathrm{تكرار} )}{( \mathrm{الفئة} \mathrm{طول} )}$

عندَ تمثيلِ الجداولِ التكراريةِ ذاتِ الفئاتِ غيرِ المتساويةِ في الطولِ بمُدرَّجاتٍ تكراريةٍ، فإنَّ المحورَ y يُسمّى الكثافةَ التكراريةَ،

وإنَّ ارتفاعَ كلِّ عمودٍ يُمثِّلُ الكثافةَ التكراريةَ لفئتِهِ.

 

•• يُمكِنُ استعمالُ المُدرَّجاتِ التكراريةِ ذاتِ الفئاتِ غيرِ مُتساويةِ الطولِ لتفسيرِ البياناتِ التي يُمثِّلُها المُدرَّجُ التكراريُّ.

 

 

ورقة عمل درس المُدرَّجاتُ التكراريةُ

1) في ما يأتي الزمنَ (بالدقائقِ) مقربًا لأقرب دقيقة الذي يستغرقه مجموعةٌ منْ الموظفين للوصول إلى أماكن عملهم : 

$15 28 40 25 30 18 20 25 30 1235 40 44 22 14 21 26 29 54 1818 23 17 15 28 51 48 55 45 32$ 

أُمثِّلُ البياناتِ باستعمالِ مُدرَّجٍ تكراريٍّ ذي فئاتٍ مُتساويةِ الطولِ.

الحل :

التكرار	الزمن $\left(min\right)$
8	$10 \le t < 20$
10	$20 \le t < 30$
4	$30 \le t < 40$
5	$40 \le t < 50$
3	$50 \le t < 60$

 

رسم المدرج التكراري 

 

 

2) يُبيِّنُ الجدولُ التكراريُّ التالي الطول(مقربًا لأقرب سنتمتر) لمجموعة ركاب حافلة  . أُمثِّلُ بياناتِ الجدولِ باستعمالِ

المُدرَّجِ التكراريِّ.

التكرار	الطول $\left(cm\right)$
6	$100 \le m < 110$
10	$110 \le m < 130$
14	$130 \le m < 150$
8	$150 \le m < 160$
6	$160 \le m < 190$

 

الحل :

طول الفئة  = الحد الأعلى  -  الحد الأدنى 

$( \mathrm{التكرارية} \mathrm{الكثافة} ) =\frac{( \mathrm{الفئة} \mathrm{تكرار} )}{( \mathrm{الفئة} \mathrm{طول} )}$

الكثافة التكرارية	طول الفئة	التكرار	الطول $\left(m\right)$
0.6	10	6	$100 \le m < 110$
0.5	20	10	$110 \le m < 130$
0.7	20	14	$130 \le m < 150$
0.8	10	8	$150 \le m < 160$
0.2	30	6	$160 \le m < 190$

 

رسم المدرج التكراري 

الفترات افقي  ، الكثافة التكرارية رأسي 

 

3) يُبيِّنُ المُدرَّجُ التكراريُّ المجاورُ المسافة بالكيو متر بين موقع إحدى المؤسسات ومنازل موظفي المؤسسة : 

 مدرج

a) أجد عدد موظفي المؤسسة .

b) أجد عدد موظفي المؤسسة الذين تزيد المسافة بين منازلهم والمؤسسة على $6 km$  

c) أجد عدد موظفي المؤسسة الذين تقل المسافة بين منازلهم والمؤسسة عن $4 km$

الحل :

 a) أجد عدد موظفي المؤسسة .

$18\times 2 + 14\times 3 + 16\times 1 + 6\times 2 + 4\times 2 = 114$

 

 b) أجد عدد موظفي المؤسسة الذين تزيد المسافة بين منازلهم والمؤسسة على$6 km$

$6\times 2 + 4\times 2 = 20$

 

c) أجد عدد موظفي المؤسسة الذين تقل المسافة بين منازلهم والمؤسسة عن $4 km$

$18\times 2 + 14\times 2 = 64$