رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي صفحة 79 

أحدد إذا كانت الزاويتان الآتيتان في وضع قياسي أم لا ، مبينًا السبب : 

$x \mathrm{المحور} \mathrm{على} \mathrm{منطبق} \mathrm{الابتداء} \mathrm{وضلع،} \mathrm{الاصل} \mathrm{نقطة} \mathrm{في} \mathrm{راسها} \mathrm{لان؛} \mathrm{القياسي} \mathrm{الوضع} \mathrm{في} \mathrm{الزاوية}$

الزاوية ليست في الوضع القياسي لأن ضلع الإبتداء لا ينطبق على محور السينات الموجب. 

---

أتحقق من فهمي صفحة 80 

ارسم زاوية قياسها $460°$ في الوضع القياسي ، محددًا مكانها .

في الربع الثاني 

---

أتحقق من فهمي صفحة 81

أجد النسب المثلثية الأساسية للزاوية $\theta$المرسومة في الوضع القياسي ، التي يقطع ضلع انتهائها دائرة الوحدة عند النقطة $P( - \frac{\sqrt{2}}{2} , - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$$\begin{gathered} sin \theta =y=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ cos \theta =x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ tan \theta =\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\times -\frac{\sqrt{2}}{2}=1 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 82

أجد النسب المثلثية الأساسية للزاويتين اللتين قياس كل منهما $270°$ و $360°$ على الترتيب . 

$$\begin{gathered} sin 270°=-1 \\ cos 270°=0 \\ tan 270°=\mathrm{معرفة} \mathrm{غير} \mathrm{قيمة} \\ sin 360°=0 \\ cos 360°=1 \\ tan 360°=0 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 84

$$\begin{gathered} \mathrm{أجد} \mathrm{قيمة} \mathrm{كل} \mathrm{من} \theta \sin و \theta \tan \mathrm{إذا} \mathrm{كان} 8.0 = \theta \cos ، \\ \mathrm{ووقع} \mathrm{ضلع} \mathrm{انتهاء} \theta \mathrm{في} \mathrm{الوضع} \mathrm{القياسي} \mathrm{في} \mathrm{الريع} \mathrm{الرايع} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} cos \theta =0.8 \\ {\left(sin\theta \right)}^2+{\left(cos\theta \right)}^2=1 \\ {\left(sin\theta \right)}^2+{\left(\frac{8}{10}\right)}^2=1 \\ {\left(sin\theta \right)}^2+\frac{64}{100}=1 \\ {\left(sin\theta \right)}^2=1-\frac{64}{100} \\ {\left(sin\theta \right)}^2=\frac{100}{100}-\frac{64}{100} \\ {\left(sin\theta \right)}^2=\frac{36}{100} \\ sin\theta =\pm \frac{6}{10} \\ \mathrm{فان} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{لان} \\ sin\theta =-\frac{6}{10} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{{\displaystyle \frac{-6}{10}}}{{\displaystyle \frac{8}{10}}}=\frac{-6}{10}\times \frac{10}{8}=\frac{-6}{8}=\frac{-3}{4} \end{gathered}$$

---

أتدرب وأحل المسائل

أرسم الزوايا الآتية في الوضع القياسي : 

$1. 225°$

$2. 160°$

$3. 330°$

$4. 240°$

---

أحدد الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء كل زاوية مما يأتي إذا رسمت في الوضع القياسي : 

$$\begin{gathered} 5. 285° \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 6. 75° \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \\ 7. 100° \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ 8. 265° \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \end{gathered}$$

---

أحدد الربع ( أو الأرباع) الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية $\theta$ في الوضع القياسي إذا كان : 

$$\begin{gathered} 9. sin\theta > 0 \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ 10. cos\theta >0 \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 11. tan\theta <0 \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 12. sin\theta <0 و cos \theta <0 \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \end{gathered}$$

---

أحدد الربع ( أو الأرباع ) الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية $\theta$  في الوضع القياسي إذا كان: 

$$\begin{gathered} 13. sin\theta = -0.7 \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 14. tan \theta = 2 \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \\ 15. cos \theta =-\frac{1}{2} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \\ 16. tan \theta = -1 \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 17. cos\theta = 0.45 \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \\ 18. sin \theta = 0.55 \\ \mathrm{الاول} \mathrm{الربع} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ 19. sin \theta = 0.3 , cos \theta < 0 \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \\ 20. tan\theta = -4 , sin \theta > 0 \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \end{gathered}$$

---

أجد النسب المثلثية الأساسية للزاوية $\theta$ إذا قطع ضلع انتهائها في الوضع القياسي دائرة الوحدة في النقاط الآتية : 

$$\begin{gathered} 21 . P (0 , -1) \\ sin \theta =y=-1 \\ cos \theta =x=0 \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{-1}{0}\mathrm{معرفة} \mathrm{غير} \mathrm{قيمة} \\ 22. P ( 0.5 , 0.5 \sqrt{3} ) \\ sin \theta =y=0.5\sqrt{3} \\ cos \theta =x=0.5 \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{0.5\sqrt{3}}{0.5}=\sqrt{3} \\ 23. P( - \frac{8}{17} , \frac{15}{17} ) \\ sin \theta =y=\frac{15}{17} \\ cos \theta =x=\frac{-8}{17} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{-8}{17}}=\frac{15}{17}\times \frac{17}{-8}=\frac{15}{8} \\ 24. P( \frac{20}{29} , - \frac{21}{29} ) \\ sin \theta =y=\frac{-21}{29} \\ cos \theta =x=\frac{20}{29} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{\frac{-21}{29}}{\frac{20}{29}}=\frac{-21}{29}\times \frac{29}{20}=\frac{-21}{20} \end{gathered}$$

---

أجد النسبتين المثلثتين الأساسيتين الباقيتين في الحالات الآتية : 

$$\begin{gathered} 25. sin \theta =\frac{3}{4}, 90°<\theta <180° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{الزاوية} \\ sin \theta =\frac{3}{4} \\ {\left(sin\theta \right)}^2+{\left(cos\theta \right)}^2=1 \\ {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+{\left(cos \theta \right)}^2=1 \\ \frac{9}{16}+{\left(cos \theta \right)}^2=1 \\ {\left(cos \theta \right)}^2=1-\frac{9}{16} \\ {\left(cos \theta \right)}^2=\frac{16}{16}-\frac{9}{16} \\ {\left(cos \theta \right)}^2=\frac{7}{16} \\ cos \theta =\pm \frac{\sqrt{7}}{4} \\ \mathrm{فان} \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{لان} \\ cos \theta =-\frac{\sqrt{7}}{4} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{-{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}}=\frac{3}{4}\times -\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{-3}{\sqrt{7}} \\ 26. tan\theta = 0.78 , -1 < sin\theta <0 \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{الزاوية} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{78}{100}=\frac{36}{50}=\frac{18}{25} \\ \mathrm{تبادلي} \mathrm{ضرب} \\ 25 sin \theta =18 cos \theta \\ sin \theta =\frac{18}{25} cos \theta \\ {\left(sin \theta \right)}^2+{\left( cos \theta \right)}^2=1 \\ {(\frac{18}{25} cos \theta )}^2+{\left(cos \theta \right)}^2=1 \frac{324}{625}{\left(cos \theta \right)}^2+{\left(cos \theta \right)}^2=1 \\ 324{\left(cos \theta \right)}^2+625{\left(cos \theta \right)}^2=625 \\ 949{\left(cos \theta \right)}^2=625 \\ {\left(cos \theta \right)}^2=\frac{625}{949} \\ cos \theta =\pm \sqrt{\frac{625}{949}} \\ \mathrm{الثالث} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{الزاوية} \mathrm{لان} \\ cos \theta =-\sqrt{\frac{625}{949}}=-\frac{25}{\sqrt{949}}\approx -0.812 \\ sin \theta =\frac{18}{25} cos \theta \\ sin \theta =\frac{18}{25}\times -0.812\approx -0.585 \\ 27. cos \theta = - .075 , tan\theta < 0 \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الثاي} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{الزاوية} \\ cos \theta =\frac{-75}{100}=\frac{-3}{4} \\ {\left(sin \theta \right)}^2+{\left(\cos \theta \right)}^2=1 \\ {\left(sin \theta \right)}^2+{\left(\frac{-3}{4}\right)}^2=1 \\ {\left(sin \theta \right)}^2+\frac{9}{16}=1 \\ {\left(sin \theta \right)}^2=1-\frac{9}{16} \\ {\left(sin \theta \right)}^2=\frac{16}{16}-\frac{9}{16} \\ {\left(sin \theta \right)}^2=\frac{7}{16} \\ sin \theta =\pm \sqrt{\frac{7}{16}} \\ \mathrm{فان} \mathrm{الثاني} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{لان} \\ \sin \theta =+\frac{\sqrt{7}}{4} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}}{{\displaystyle \frac{-3}{4}}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\times \frac{-4}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3}\approx -0.88 \\ 28. sin\theta = - 0.87 , 270° < \theta < 360° \\ :\mathrm{الحل} \\ \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{الزاوية} \\ \sin \theta =\frac{-87}{100} \\ {\left(\sin \theta \right)}^2+{\left(\cos \theta \right)}^2=1 \\ {\left(\frac{-87}{100}\right)}^2+{\left(\cos \theta \right)}^2=1 \\ \frac{7569}{10000}+{\left(\cos \theta \right)}^2=1 \\ {\left(\cos \theta \right)}^2=1-\frac{7569}{10000} \\ {\left(\cos \theta \right)}^2=\frac{10000}{10000}-\frac{7569}{10000} \\ {\left(\cos \theta \right)}^2=\frac{2431}{10000} \\ \cos \theta =\pm \frac{\sqrt{2431}}{100} \\ \mathrm{فان} \mathrm{الرابع} \mathrm{الربع} \mathrm{في} \theta \mathrm{لان} \\ \cos \theta \approx +\frac{49}{100}=0.49 \\ \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{{\displaystyle \frac{-87}{100}}}{{\displaystyle \frac{49}{100}}}=\frac{-87}{100}\times \frac{100}{49}=\frac{-87}{49}\approx -1.78 \end{gathered}$$

---

مهارات التفكير العليا 

29. تبرير : ما أكبر قيمة لجيب الزاوية ؟ ما أصغر قيمة له ؟ أبرر إجابتي 

$$\begin{gathered} \mathrm{الحل}: \\ \mathrm{اكبر} \mathrm{قيمة} \mathrm{لجيب} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هي} 1، \mathrm{وعندئذ} \mathrm{يكون} \mathrm{قياس} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هو} °90، \mathrm{واصغر} \mathrm{قيمة} \mathrm{هي}1-، \mathrm{وعندئذ} \\ \mathrm{يكون} \mathrm{قياس} \mathrm{الزاوية} \mathrm{هو} °270؛ \mathrm{لان} \mathrm{ضلع} \mathrm{انتهاء} \mathrm{الزاوية} °90 \mathrm{يقطع} \mathrm{دائرة} \mathrm{الوحدة} \mathrm{عند} \mathrm{النقطة} \left(1,0\right) \\ \mathrm{وضلع} \mathrm{انتهاء} \mathrm{الزاوية} °270 \mathrm{يقطع} \mathrm{دائرة} \mathrm{الوحدة} \mathrm{عند} \mathrm{النقطة} \left(0,1-\right) \end{gathered}$$

---

30 . اكتشف الخطأ : حل كل من أمجد وزينة المسألة الآتية . إذا كان $\tan x = 0.75$، وكانت x بين$180°$ و $360°$  ، فما قيمة $\sin x + \cos x$ ؟ 

أحدد أيهما كانت إجابته صحيحة ، مبررا إجابتي . 

$$\begin{gathered} \mathrm{الحل} : \\ \mathrm{الزاوية} x \mathrm{في} \mathrm{الربع} \mathrm{الثالث} \\ \mathrm{بالتالي} \\ \mathrm{كل} \mathrm{من} x \sin و x \cos \mathrm{قيم} \mathrm{سالبة} \mathrm{وبالتالي} \mathrm{مجموعهما} \mathrm{قيمة} \mathrm{سالبة} \mathrm{بالتالي} \mathrm{حل} \mathrm{زينة} \mathrm{هو} \\ \mathrm{الصحيح} \end{gathered}$$

---

كتاب التمارين : 

ارسم الزوايا الآتية في الوضع القياسي 

$1. 170°$

$2. 240°$

$3. 315°$

$4. 85°$

---

أحدد الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء كل زاوية مما يأتي إذا رسمت في الوضع القياسي : 

$$\begin{gathered} 5. 245° \\ \mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \\ 6. 275° \\ \mathbf{الرابع}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \\ 7. 130° \\ \mathbf{الثاني}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \\ 8. 26° \\ \mathbf{الأول}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \end{gathered}$$

 

---

أجد النسب المثلثية الأساية للزاوية $\theta$ إذا قطع ضلع انتهائها في الوضع القياسي دائرة الوحدة في النقطة: 

$$\begin{gathered} 9. P ( 0 , -1 ) \\ \mathbf{ }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{cos}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{u}\mathbf{.}\mathit{d}\mathbf{ } \\ 10. P ( 1 , 0) \\ \mathbf{ }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{cos}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{0} \\ \mathbf{ } \\ 11. P \left( \frac{8}{17} ,- \frac{15}{17}\right) \\ \mathbf{ }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{17}}\mathbf{,}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{17}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{8}}\mathbf{ } \\ 12. P ( -\frac{60}{61} , -\frac{11}{61}) \\ \mathbf{ }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{11}}{61}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{60}}{\mathbf{61}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{11}{60}\mathbf{ } \end{gathered}$$

 

---

أحدد الربع ( أو الأرباع ) الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية $\theta$ في الوضع القياسي إذا كان : 

$$\begin{gathered} 13. \sin \theta < 0 \\ \mathbf{الرابع}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ }\mathit{و}\mathit{أ}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \\ 14. \cos \theta <0 \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أو}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{،}\mathbf{ }\mathbf{الثاني}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \\ 15. \cos \theta <0 , \tan \theta > 0 \\ \mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \\ 16. \tan \theta <0 , \cos \theta <0 \\ \mathbf{الثاني}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ } \end{gathered}$$

 

---

أجد النسبتين المثلثيتين الأساسيتين الباقيتين في كل من الحالات الآتية : 

$$\begin{gathered} 17. cos\theta = -\frac{1}{2} , 90° <\theta < 180° \\ {\mathbf{sin}}^2\theta +co{s}^2\theta =1 \\ si{n}^2\theta +{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2=1\Rightarrow si{n}^2\theta =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \\ sin\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow tan \theta =-\sqrt{3} \\ 18. tan\theta = -2 , -1 < sin\theta < 0 \\ \frac{sin\theta }{cos\theta }=-2\Rightarrow sin\theta =-2cos\theta \\ si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1\Rightarrow {\left(-2cos\theta \right)}^2+co{s}^2\theta =1 \\ 5co{s}^2\theta =1\Rightarrow cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow sin \theta =\frac{-2}{\sqrt{5}} \\ 19. sin\theta = 0.6 , tan \theta < 0 \\ si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1\Rightarrow {\left(0.6\right)}^2+co{s}^2\theta =1\Rightarrow co{s}^2\theta =0.64 \\ cos\theta =-0.8\Rightarrow tan\theta =\frac{0.6}{-0.8}=\frac{-3}{4}=-0.75 \\ 20. cos \theta = 0.45 , 270° <\theta < 360° \\ si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1\Rightarrow si{n}^2\theta =1-{\left(0.45\right)}^2\Rightarrow sin\theta \approx -0.89 \\ tan\theta \approx -1.98 \end{gathered}$$

---

جلس زيد في لعبة الدولاب على المقعد  الذي تمثله النقطة ( 1 ,0)  على دائرة الوحدة . إذا كان الدولاب يدور عكس حركة عقارب الساعة، ويكمل دورة واحدة في دقيقتين : 

21. فما إحداثيا النقطة على دائرة الوحدة التي تمثل مقعد زيد بعد 60 ثانية ؟ 

$\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }$

22. فما إحداثيا النقطة على دائرة الوحدة التي تمثل مقعد زيد بعد 90 ثانية ؟ 

$\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{)}$

---