رياضيات 11 فصل ثاني

اقتران النمو الأسي : هو كل اقتران أسي يتزايد بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية .

$A\left(t\right)=a(1+r{)}^t$

حيث :

a : الكمية الأبتدائية

$(1+r)$ : عامل النمو

$r$  : نسبة النمو

$t$ :  الفترة الزمنية للنمو

مثال (1) : في دراسة شملت احدى مزارع الأبقار ، تبين أن عدد الأبقار في المزرعة يزداد بنسبة $18\%$ سنوياً .

اكتب اقتران النمو الأسي الذي يمثل عدد الأبقار بعد t سنة  علماً بأن عددها في المزرعة عند بدء الدراسة هو 327 بقرة .

1. جد عدد الأبقار بعد 3 سنوات من بدء الدراسة.

الإجابة:

a)  $A\left(t\right)=327(1+0.18{)}^t=327(1.18{)}^t$

b) $A\left(3\right)=327(1.18{)}^3\approx 537$

---

اقتران الاضمحلال الأسي : هو اقتران أسي يتناقص بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية .

$A\left(t\right)=a(1-r{)}^t$

حيثُ:

$r$ : نسبة الاضمحلال

$1-r$  : عامل الاضمحلال

$a$ : الكمية الابتدائية

 

t: الفترة الزمنية للإضمحلال  

مثال (2) : اشترت لينا سيارة هجينة قابلة للشحن بمبلغ 28500 JD  . اذا كان ثمن السيارة يقل بنسبة $5\%$ سنوياً ، فأجب عن السؤالين الآتيين :

1.  اكتب اقتران الاضمحلال الأسي لثمن السيارة بعد t سنة .
2. جد ثمن السيارة بعد 4 سنوات .

الأجابة :

a) $A\left(t\right)=a(1-r{)}^t=28500(1-0.05{)}^t=28500(0.95{)}^t$

b) $A\left(4\right)=28500(0.95{)}^4\approx 23213.43$

---

 

الربح المركب : يمكن حساب جملة المبلغ المستحق في حالة الربح المركب باستعمال الصيغة الآتية :

$A=P(1+\frac{r}{n}{)}^{n}t$

حيث :

 

A  : جملة المبلغ .

 

P  : المبلغ الأصلي .

 

r  : معدل الفائدة السنوي .

 

n   : عدد مرات اضافة الربح المركب في السنة .

 

t  : عدد السنوات .

---

مثال (3) : استثمرت تهاني مبلغ 5000  JD في شركة ، بنسبة ربح مركب تبلغ $2.25\%$  ، وتضاف كل 6 أشهر . جد جملة المبلغ بعد 5 سنوات .

$A=P(1+\frac{r}{n}{)}^{nt}=5000(1+\frac{0.0225}{2}{)}^{(2\times 5)}\approx 5591.85$

 

الاقتران الأسي الطبيعي :

توجد تطبيقات عديدة للاقتران الأسي الطبيعي ، منها حساب الربح المركب المستمر

وهو عملية حساب جملة المبلغ بعد اضافة الربح المركب الى رأس عدداً لا نهائياً من المرات في السنة .

 

الربح المركب المستمر : يمكن حساب جملة المبلغ المستحق في حالة الربح المركب المستمر باستعمال الصيغة الاتية :

$A=P{e}^{rt}$

حيث :

A : جملة المبلغ

P : المبلغ الاصلي

 r  : معدل الفائدة المستمر

t  : عدد السنوات

مثال (4) : أودعت سارة مبلغ 6300  JD في حساب بنكي بنسبة ربح مركب مستمر مقدارها $3.2\%$  . جد حملة المبلغ بعد 9 سنوات .

الإجابة

$A=6300e^{(0.032\times 9)}\approx 8402.67$