رياضيات فصل أول

مراجعة المفاهيم 

لأي عدد حقيقي a، إذا كان m و n عددين صحيحين موجبين $\left(n>1\right)$، فان:

 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$ ، الا إذا كانت $a<0$، وn عددا زوجيا، فان الجذر يكون غير معرف

مثال 

أجد قيمة مما يأتي في أبسط صورة: 

$1) {27}^{\frac{1}{3}}$

  ${27}^{\frac{1}{3}}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^1$

$=\sqrt[3]{3\times 3\times 3}=3$

$2) 4^{\frac{3}{2}}$

$4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3$

$={\left(\sqrt{2\times 2}\right)}^3$

$={\left(2\right)}^3$

$=(2\times 2\times 2)=8$

$3) {\left(81\right)}^{-\frac{5}{4}}$

${\left(81\right)}^{-\frac{5}{4}}={\left(\sqrt[4]{81}\right)}^{-5}$

$={\left(\sqrt[4]{3\times 3\times 3\times 3}\right)}^{-5}$

$={\left(3\right)}^{-5}$

$=\frac{1}{{\left(3\right)}^5}$

$=\frac{1}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3)}=\frac{1}{243}$

$4) {(-8)}^{\frac{7}{3}}$

${(-8)}^{\frac{7}{3}}={\left(\sqrt[3]{-8}\right)}^7$

$={\left(\sqrt[3]{-2\times -2\times -2}\right)}^7$

$={(-2)}^7=-128$

مراجعة المفاهيم 

خصائص ضرب القوى وقسمتها

لأي عددين حقيقيين a و b وعددين صحيحين m و n، فإن: 

$1) a^n\times a^m=a^{n+m} \mathrm{القوى} \mathrm{ضرب}$

$2) {\left(a^n\right)}^m=a^{n\times m } \mathrm{القوى} \mathrm{قوة}$

$3) {\left(ab\right)}^n=a^n\times b^n \mathrm{الضرب} \mathrm{ناتج} \mathrm{قوة}$

$4) \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m},a\ne 0 \mathrm{القوى} \mathrm{قسمة}$

$5) {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n},a,b\ne 0 \mathrm{القسمة} \mathrm{ناتج} \mathrm{قوة}$

تنطبق خصائص ضرب القوى وقسمتها التي درستها سابقا للأسس الصحيحة على الأسس النسبية أيضا 

مثال 

أجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة: 

$1) y^{-\frac{5}{2}}\times y^{\frac{3}{2}}$

$y^{-\frac{5}{2}}\times y^{\frac{3}{2}}=y^{-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}$

$=y^{-1}=\frac{1}{y}$

$2) {\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}$

${\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}}$

$=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^2}$

$3) {(a\times b^2)}^{\frac{3}{2}},a>0$

${(a\times b^2)}^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{3}{2}}\times b^{2\times \frac{3}{2}}=a^{\frac{3}{2}}\times b^3$

$4) \frac{z^{{\displaystyle \frac{7}{8}}}}{z^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}}$

$\frac{z^{{\displaystyle \frac{7}{8}}}}{z^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}}=z^{\frac{7}{8}-\frac{1}{8}}$

$=z^{\frac{6}{8}}$

$=z^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{z^3}$

$5) {\left(\frac{x^4}{y^2}\right)}^{\frac{3}{4}}$

${\left(\frac{x^4}{y^2}\right)}^{\frac{3}{4}}=\frac{x^{4\times {\displaystyle \frac{3}{4}}}}{y^{2\times {\displaystyle \frac{3}{4}}}}$

$=\frac{x^3}{y^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}={\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)}^3$

$6) \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[3]{x^2}}$

$\frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{x^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}{x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

$=x^{\frac{4}{5}-\frac{2}{5}}$

$=x^{\frac{2}{15}} =\sqrt[15]{x^2}$

 

مفهوم أساسي 

تكون العبارة الأسية في أبسط صورة إذا: 

1) ظهر الأساس مرة واحدة، وكانت الأسس جميعها موجبة 

2) لم تتضمن العبارة قوة القوى 

3) كانت الكسور والجذور جميعها في أبسط صورة 

مثال 

اكتب كلا مما يأتي في أبسط صورة، علما بأن أيا من المتغيرات لا يساوي صفرا: 

$1) \frac{\left(6x^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}\right)\left(y^{{\displaystyle \frac{-7}{5}}}\right)}{\left(2x^{{\displaystyle \frac{-8}{3}}}\right)\left(y^{{\displaystyle \frac{-2}{5}}}\right)}$

$\frac{6x^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}{y}^{-{\displaystyle \frac{7}{5}}}}{2x^{{\displaystyle \frac{-8}{3}}}{y}^{{\displaystyle \frac{-2}{5}}}}=\left(\frac{6}{2}\right)\times x^{(\frac{4}{3}-\frac{-8}{3})}\times y^{(\frac{-7}{5}-\frac{-2}{5})}$

$=3x^4{y}^{-1}=\frac{3x^4}{y}$

$2) \frac{\left(3x{y}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\right)\left(6y^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}\right)}{\left(9x^{{\displaystyle \frac{-3}{2}}}\right)\left(x^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{y}^{{\displaystyle \frac{4}{10}}}\right)}$

$\frac{\left(3x{y}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\right)\left(6y^{{\displaystyle \frac{2}{5}}}\right)}{\left(9x^{{\displaystyle \frac{-3}{2}}}\right)\left(x^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{y}^{{\displaystyle \frac{4}{10}}}\right)}=\frac{3\times 6}{9}\times \frac{x}{x^{{\displaystyle \frac{-3}{2}+\frac{5}{2}}}}\times \frac{y^{{\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{2}{5}}}}{y^{{\displaystyle \frac{4}{10}}}}$

$=2\times \frac{x}{x^1}\times \frac{y^{{\displaystyle \frac{19}{10}}}}{y^{{\displaystyle \frac{4}{10}}}}$

$=2x^{1-1}{y}^{\frac{19}{10}-\frac{4}{10}}$

$=2x^0{y}^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{y^3}$

$3) \sqrt[3]{64x^{12}{y}^3}$

$\sqrt[3]{64x^{12}{y}^3}={\left(64x^{12}{y}^3\right)}^{\frac{1}{3}}$

$={\left(64\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(x\right)}^{\frac{12}{3}}{\left(y\right)}^{\frac{3}{3}}=4x^{4}y$