رياضيات فصل ثاني

العاشر

icon

       أتحقق من فهمي                     صفحة 26

إذا كان h(x) = x , j(x) = 2x +1 , فأجد كلا مما يأتي : 

a. ( hj)h(j(4)) = h(2(4)+1= h(9) 9  = 3

b. (jh)(4) = j(h(4)) = j(4) = j(2) = 2(2) +1 = 5

c. (hh)( 16) = h(h(16)) = h(  16) = h(4) = 4 = 2

 d. ( jj)( -8) = j(j(-8)) = j( 2(-8) +1) = j(-15) = 2(-15) +1 = -29


  أتحقق من فهمي                     صفحة 27

إذا كان f(x) = x2 +4x , g(x) = 2 -3x ، فأجد قاعدة كل من : ( fg)( x)  و( gf)(x)  ثم أجد (fg)(3) , و ( gf)( -1)

 1. ( fg)(x)= f(g(x))= f( 2-3x)=(2 -3x)2 +4 (2-3x)= 4-12x +9x2 +8 -12x= 9x2 -24x +12  

  

 

(fg)(3)=9(9) - 24(3) +12= 81 - 72 +12=21

 

 

2. ( gf)(-1) = g(f(-1))= g (-3)=2 -3(-3)= 2+9= 11 


  أتحقق من فهمي                     صفحة 28

أجد مجال ( gf)(x) للاقترانين في المثال أعلاه.( مثال 3)

مثال 3 

f(x) =6x -2 , g(x) =9x -3إذا كان

الحل : 

مجال (x)f هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = 2 

مجال  g(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا  x = 3

6x -2 = 3        3x -6 = 6        3x = 12      x =4

   مجال (gf)(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = 2,4


  أتحقق من فهمي                     صفحة 29

أجد الاقترانين f(x) و g(x)  بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة  h(x) = f(g(x))

a. h(x) = 4x2 -1  

g(x) = x2

f(x) = 4x- 1

h(x) =2( x+2)2 +5  .b

g(x) = x+2

f(x) = 2x2+5


  أتحقق من فهمي                     صفحة 30

قياس : يحول الاقتران C(F) = 59( F -32)  درجات الحرارة من المقياس الفهرنهايتي F إلى مقياس سيلسيوس C. ويحول الاقتران k(c) =  c +273 درجات الحرارة من مقياس سيلسيوس إلى مقياس كلفن K . أكتب الاقتران الذي يحول درجة الحرارة من المقياس الفهرنهايتي إلى مقياس كلفن ، ثم أجد درجة الحرارة على مقياس كلفن التي تقابل 86 درجة فهرنهايتية.

K(F) = 59(F -32) +273     K(86) = 59( 86 -32) +273=59(54) +273= 30 +273= 303


أتدرب و أحل المسائل 

 إذا كان    g(x) = x2   ,f(x) = x+7 ,   فأجد كلا مما يأتي :

1- (fg)(4)=f(g(4)) = f(2) = 2+7 = 9  

2- (gf)(4)=g( 4+7) = g(11) = 5.5  

3- (gg)( -2) = g( -22) = g(-1) = -12 

4- (ff)(3)=f(f(3)) = f( 3+7) = f(10) = 10+7 = 17


إذا كان c(x) = x3 , d(x) = 2x -3 فأجد كلا مما يأتي : 

5. (cd)(3)=c(d(3)) = c( 2(3) -3) = c(3) = 33 = 27

 6. (dc)(5) =d(c(5)) = d( 53) = d(125) = 2(125) -3 = 247 

7. (cd)(x)=(c(d(x)) = c ( 2x -3) = (2x -3)3 = 8x3 -36x2 +54x -27

8. (dc)(x)=d(c(x))= d(x3) = 2x3 -3 


أجد مجال (fg)(x) في كل مما يأتي :

f(x) =2xx -3 , g(x) =1x -5 

مجال g(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا x= 5

مجال f(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x=3

1x -5= 3      3x -15 = 1 

3x =16      x =163

مجال (fg)(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x =5 ,163

f(x) =12x-2 , g(x)=5x+7 

 

مجال g(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ماعدا x= -7

مجال f(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x=1

5x+7= 1   x+7 = 5  x =-2

مجال (fg)(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = -7 , -2


11. إذا كان a(x) = x +4 , b(x) = x -7 فأثبت أن (ab)(x) = (ba)(x)

الحل

( ab)(x) = a(b(x))= a( x-7) = x-7 +4= x - 3

(ba) (x) = b(a(x))= b( x+4)= x+4 -7= x-3


12. إذا كان f(x) = 2x , g(x) = 3x +4  فأجد (fg)(x) ثم أجد قيمة (fg)(-3)

f(g(x)) = f( 3x+4) = 2(3x+4)

 f(g( -3)) = 2(3x -3+4) = 2( -9+4) = 2-5 =125= 132 


13. إذا كان g(x) 2x -10  , f(x) = 1x -4  فأجد ( gf)(x) بصورة كسر واحد ، ثم أعين مجاله.

g(f(x)) = g(1x-4) = 2(1x-4) -10 = 2x -4 - 10

المجال : مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = 4 


إذا كان f(x) = x+1 , g(x) =x2 -7 فأعبر عن كل مما يأتي بصورة  اقتران مركب ، معتمدا الاقترانين f , g : 

 14. x2 - 6 =( fg)(x)

 15. x2 +2x -6 =(gf)(x)


أجد اقترانين f(x) و g(x) بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة h(x) = f(g(x))

16) h(x) = 43- 4+x2 

الحل

g(x) = 4 +x2f(x) = 43 -x 

 

17) h(x) =( 12x -3 )3

الحل

g(x) = 12x -3f(x) = x3


18. إذا كان f(x) =x -2  , x2 , g(x) =23 - x , x>3  فهل يمكن تكوين (fg)(x) ؟ أبرر إجابتي 

الحل :

مدى g(x)  هو جميع الأعداد الحقيقية السالبة ، وهي غير موجودة في مجال f(x) لأن مجال f(x)  هو الأعداد الحقيقية التي لا تقل عن 2، فلا يمكن تكوين ( fg)(x)


19. أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.
عندما تسقط قطرة ماء المطر على بحيرة تتكون موجة دائرية يتزايد طول نصف قطرها بالنسبة إلى الزمن وفق الاقتران: 

r(t) = 25t +2 حيث r نصف القطر بالسنتيمترات ، و t الزمن بالدقائق. أجد مساحة الموجة عندما t= 2 .

 

الحل 

A = π r2= π ( 25 t +2)2A =π ( 625) ( t+5)= 625πt +1250π

A(2) = 625π (2) +1250π= 1250π +1250π= 2500π


يعطى عدد خلايا البكتيريا في أحد الأطعمة المبردة في الثلاجة بالاقتران: N(T) =23T2 -56T +1 , 3< T< 33 حيث T  درجة حرارة الطعام . عند إخراج الطعام من الثلاجة تعطى درجة حرارته بالاقتران T(t) = 5t +1.5  حيث t  الزمن بالساعات :

20. أكتب الاقتران : (NT)(t)

N(T(t)) = N( 5t +1.5)

= 23(5t +1.5)2 - 56(5t +1.5) +1

= 23( 25t2 +15 t +2.25) -280t -84 +1

= 575 t2 +345 t +51.75 -280t - 83

= 575 t2 +65 t -31.25

21. أجد الزمن الذي يصل عنده عدد خلايا البكتيريا إلى 6752 مقربا إجابتي إلى منزلتين عشريتين.

الحل

 

6752 = 575 t 2 +65t - 31.25

575 t 2 +65t - 31.25 -6752 =0

575 t 2 +65t -6783.25= 0 

t = -65 +652 -4(575)(-6783.25)2(575)= -65 +4225 +156014751150=-65 +156057001150

t-65 +3950.411503885.411503.38

وأ t = -65-3950.41150 مرفوضة


22. إذا كان a>0,  f(x) = ax+b  و كان (ff)(x) = 16x -15 فأجد قيمة كل من a و b

f(f(x)) = f(ax +b)

= a(ax +b) +b

= a2x +ab +b

 

a2x +ab +b = 16x -15

a2 = 16     and ab +b = -15

a = 4 , a = -4 مرفوضة 

ab +b = -15

4b +b = -15

5b = -15

b = -3


23. أجد ( fgh)(x) في أبسط ، علما بأن : f(x) = x2 +1 , g(x) =1x , h(x) = x+3

الحل 

f(g(h(x))) = f( g (x+3))               = f (1x+3 )               = (1x+3)2 +1               = 1(x +3)2 + ( x +3)2( x+3)2               = (x +3)2 + 1(x +3)2               = x2 +6x +9 +1x2 +6x +9               = x2 +6x +10x2 +6x +9 


مهارات التفكير العليا 

24. أكتشف الخطأ: وجدت كل من هدى ووفاء ناتج (fg)(x) ، حيث f(x) = x2 -6x -5 , g(x) = x2 +5 أحدد إذا كانت إجابة أي منهما صحيحة ، مبررا إجابتي .

f( g(x)) = f( x2 +5)

= (x2 +5)2 - 6(x2 +5) - 5

= x4 +10x2 +25 -6x2 -30 -5 

= x4 +4x2 - 10

إذا إجابة هدى صحيحة وإجابة وفاء خاطئة 


25. مسألة مفتوحة : أكتب اقترانين f و g  بحيث يكون(fg)(x) = x2 -4x +7

g(x) = x2 - 4x

f(x) = x+ 7


26. تحد : إذا كان f(x) =1x -3 ; g(x) = 1x+2 فما قاعدة (fg)(x) ؟ ما مجاله ؟

مجال g(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = -2

مجال f(x) هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا  x = 3

1x+2= 33x +6 = 13x = -5x = -53

مجال ( fg)(x)  هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا x = -2 , -53

f(g(x)) = f (1x +2) = 11x+2 - 3 = 11x+2-3( x+2)x+2 =1-3x -6 +1x+2 = x+2-3x -5

 


27 . تحد : إذا كان  f(x) = 2x -2x -4  و كان    g(x) = 2x -13  فأحل المعادلة  ( fg)(x) = -4 .

f(g(x)) = f(2x -13)= 2(2x -13) - 22x -13- 4= 4x - 23- 632x -13- 123= 4x - 2 -632x -1 -123=4x -83 ( 32x -13)= 4x -8 2x -13

4x -82x -13= -4         -4( 2x -13) = 4x -8       -8x +52 = 4x -8        60= 12 x        x  = 5


كتاب التمارين 

أجد قيمة كل مما يأتي، مستعملا القيم المبينة في الجدولين الآتيين : 

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

F(x)

-7

-5

-3

-3

3

5

7

 

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

G(x)

8

3

0

-1

0

3

8

 

1. ( fg)(1)=-1 

2.(fg)(-2)=7

3. (gf)(1)=8 

4.(gf)(0)=0 

5.(gg)(-1)=-1

6.( ff)(-1)=-7


إذا كان f(x) = 2x+1 و g(x) = 3x-4 فأجد :

7.(fg)(2)=5 

8.8.( fg)(0)=-7  

9. (fg)(8)=41

10. (gf)(1)=5 

11. (fg)(x)= f( 3x - 4) = 2( 3x - 4) +1 = 6x - 8 +1 = 6x -7

12. (gf)(x) =g ( 2x+1) = 3( 2x+1) - 4 = 6x +3 - 4 = 6x  -1 


إذا كان k(x) = 1x+1 و h(x) =2x فأجد :

13. (hk)(3) =8 

14. ( kh)(3) =35  

15.(hh)(6)=6 

16. (kk)(-3)=2 

17. (kh)(x)=k(2x) =12x+1=12+xx= xx+2 

 18. ( hk)(x)=h(1x+1) =21x+1= 2(x+1)


أجد اقترانين f(x) و g(x) بحيث يكون  h(x)= (gf)(x)  في كل مما يأتي:

19. h(x) = x6+1

f(x) =x     و      g(x) =x6 +1

h(x)=g(f(x)) = g(x) = x6+1

20. h(x) = 4(x+1)2  

f(x) = x +1

g(x) = 4x2

g(x+1) = 4 (x+1)2

21. h(x) = 2x2 -20x +50

h(x) = 2 ( x2  -10x +25)

= 2 ( x -5)2

f(x) = x -5

g(x) = 2x2

h(x) =g(f(x)) = g( x-5) = 2( x-5)2

22. h(x) = 2x2 -4 +7

f(x) =2 ( x2 -2)      و          g(x) =x  +7

h(x) = g( 2(x2 -2)) = 2( x2 -2) +7


23. يرتبط سعر سلعة معينة وعدد الوحدات المبيعة منها بالعلاقة  0 x400 ،  p = 100 -x4 ، حيث p السعر بالدينار، و x عدد الوحدات المبيعة. إذا كانت التكلفة C بالدنانير لإنتاج x وحدة هي C =4 x0.5+600 ، فأجد التكلفة C في صورة اقتران نسبة إلى السعر p ، ثم أجد التكلفة إذا كان سعر الوحدة الواحدة 19 دينارا.

الحل