رياضيات

الثامن

icon

تشابه المثلثات

 

المضلعات المتشابهة هي مضلعات زواياها المتناظرة متطابقة ، وأطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة ، وتعد المثلثات هي حالة خاصة من المضلعات ،

وتوجد مسلمات ونظريات لإثبات تشابه المثلثات .

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

مسلمة: 

إذا طابقت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. (AA)

مثال : إذا كانت    Q S  ,  P T     ، فإن PQR~TSU

................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : 

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي.

    BE   ، لأنهما زاويتان قائمتان

باستعمال مجموع قياسات زوايا المثلث يكون : 

mC= 180° - ( 90° + 43°) = 47°mCF  فإن    mF =47°    أن بما

إذن :  ABC~DEF ،  وفق المسلمة ( AA)

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

LR  ، لأن كلا الزاويتين قياسهما 70

باستعمال مجموع قياسات زوايا المثلث يكون 

mK = 180° - ( 30° + 70° ) = 80°mP = 180° - ( 85° + 70° ) = 25°

وبما أنه يوجد زوج واحد فقط من الزوايا المتطابقة ، إذن   PQR, JKL    ليسا متشابهين .

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

نظريات: 

- التشابه بثلاثة أضلاع ( SSS )

إذا كانت الأضلاع المتناظرةلمثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان.

مثال:  إذا كان  ABDE = ACDF = EFBC  ،  فإن   ABC~DEF

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

- التشابه بضلعين وزاوية محصورة ( SAS )

إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر ، وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين ، فإن المثلثين متشابهان.

مثال:  إذا كان  BE, ABDE=BCEF   ، فإن  ABC~DEF

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك  ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي، 

أستعمل أطوال الأضلاع لتمييز الأضلاع المتقابلة ، ثم أجد النسبة بين طول كل زوج من أزواج الأضلاع المتقابلة في المثلثين 

 

أقصر ضلعين : 

ABDE= 86 = 43

أطول ضلعين : 

CAFD= 1612 = 43

الضلعان المتبقيان

BCEF= 129 = 43

بما أن النسب جميعها متساوية ، إذن   ABC~DEF  وفق نظرية التشابه ( SSS )

.........................................................................................................................................................................................................................................................................

بما أن   K  مشتركة بين المثلثين ، إذن أجد النسبة بين طولي زوجي الأضلاع المتقابلة اللذين يحصران  K في المثلثين

 

أقصر ضلعين : 

KLKM=810=45

أطول ضلعين

KPKN=1215=45

بما أن طولي الضلعين اللذين يحصران K  في   KLP  متناسبان مع طولي الضلعين المناظرين لهما في  KMN  ، إذن   KLP~KMN  وفق نظرية التشابه ( SAS )

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) : أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المجاور ، لأثبت أن   SVR~UVT  باستعمال البرهان ذي العمودين : 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ) : أجد قيمة  x التي تجعل أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة : 

ABDE= BCEF                                          التناسب أكتب412=x-12x+4                                          أعوض4 ( 2x + 4 ) = 12 ( x - 1 )              التبادلي بالضرب8x + 16 = 12x - 12                           التوزيع خاصية-4x + 16 = -12                            المعادلة طرفي من 12x  أطرح-4x = -28                                      المعادلة طرفي من 16  أطرحx = 7                                                   -4 على المعادلة طرفي أقسم

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

مسألة حياتية : 

يريد مساح قياس عرض بحيرة باستعمال تقنية المسح المبينة في الشكل المجاور ، أجد عرض البحيرة ( VW )

الحل :

أثبت أن YZX~VWX

بما أن  YZX~VWX  فيمكن استعمال التناسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة لإيجاد عرض البحيرة.

أفترض أن VW= x

YZVW=ZXWX                 التناسب أكتب36x= 2741                      أعوض27x = 1476                 التبادلي بالضربx54.7                        

إذن عرض البحيرة يساوي   54.7km   تقريباً

..............................................................................................................................................................................................................................................................................