تشابه المثلثات
المضلعات المتشابهة هي مضلعات زواياها المتناظرة متطابقة ، وأطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة ، وتعد المثلثات هي حالة خاصة من المضلعات ،
وتوجد مسلمات ونظريات لإثبات تشابه المثلثات .
...............................................................................................................................................................................................................................................................................
مسلمة:
إذا طابقت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. (AA)
مثال : إذا كانت ، فإن
................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 1 ) :
أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي.
، لأنهما زاويتان قائمتان
باستعمال مجموع قياسات زوايا المثلث يكون :
إذن : ، وفق المسلمة ( AA)
.................................................................................................................................................................................................................................................................................
، لأن كلا الزاويتين قياسهما 70
باستعمال مجموع قياسات زوايا المثلث يكون
وبما أنه يوجد زوج واحد فقط من الزوايا المتطابقة ، إذن ليسا متشابهين .
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................
نظريات:
- التشابه بثلاثة أضلاع ( SSS )
إذا كانت الأضلاع المتناظرةلمثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان.
مثال: إذا كان ، فإن
...................................................................................................................................................................................................................................................................................
- التشابه بضلعين وزاوية محصورة ( SAS )
إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر ، وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين ، فإن المثلثين متشابهان.
مثال: إذا كان ، فإن
....................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 2 ) : أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي،
أستعمل أطوال الأضلاع لتمييز الأضلاع المتقابلة ، ثم أجد النسبة بين طول كل زوج من أزواج الأضلاع المتقابلة في المثلثين
أقصر ضلعين :
أطول ضلعين :
الضلعان المتبقيان :
بما أن النسب جميعها متساوية ، إذن وفق نظرية التشابه ( SSS )
.........................................................................................................................................................................................................................................................................
بما أن مشتركة بين المثلثين ، إذن أجد النسبة بين طولي زوجي الأضلاع المتقابلة اللذين يحصران في المثلثين
أقصر ضلعين :
أطول ضلعين :
بما أن طولي الضلعين اللذين يحصران في متناسبان مع طولي الضلعين المناظرين لهما في ، إذن وفق نظرية التشابه ( SAS )
...................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 3 ) : أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المجاور ، لأثبت أن باستعمال البرهان ذي العمودين :
.................................................................................................................................................................................................................................................................................
مثال ( 4 ) : أجد قيمة x التي تجعل أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة :
..................................................................................................................................................................................................................................................................................
مسألة حياتية :
يريد مساح قياس عرض بحيرة باستعمال تقنية المسح المبينة في الشكل المجاور ، أجد عرض البحيرة ( VW )
الحل :
أثبت أن
بما أن فيمكن استعمال التناسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة لإيجاد عرض البحيرة.
أفترض أن VW= x
إذن عرض البحيرة يساوي 54.7km تقريباً
..............................................................................................................................................................................................................................................................................