رياضيات فصل ثاني

الثامن

icon

تشابه المثلثات

حل اسئلة أتحقق من فهمي : 

أتحقق من فهمي : 

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهيم أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي : 

الحل : 

    DG   ، لأنهما زاويتان قائمتان .  EH  لأن  mE= mH=64°

   CDE~KGH وفق المسلمة  AA

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

قياسات زوايا المثلث الصغير      62°, 59° , 59°    ، قياسات زوايا المثلث الكبير 68° , 68° , 44°

لا يوجد أزواج زوايا متطابقة ، المثلثان غير متشابهين

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي : 

الحل:

النسبة بين أقصر ضلعين

LMRS = 2024 =56

النسبة بين أطول ضلعين

LNST = 2633 

النسبة بين الضلعين الباقيين

MNRT= 2430 =45

إذن لا يوجد تشابه بين المثلثين

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

النسبة بين اقصر ضلعين

JKJM=26=13

النسبة بين أطول ضلعين

JLJN=39=13

الزاوية  J مشتركة بين المثلثين ومحصورة بين الضلعين المتناسبين

المثلثان متشابهان وفق نظرية التشابه SAS

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أستعمل المعلومات المعطاة على الشكل المجاور، لأثبت أن   SPQ~SRT   باستعمال البرهان السهمي:

الحل :

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي :

أجد قيمة x التي تجعل ABE~DCE

الحل:

حتى يكون ABE~DCE

يجب أن تكون الأضلاع المتناظرة متناسبة

ABCD=AEED25= x-1x+52( x + 5) = 5 ( x - 1)2x + 10 = 5x - 52x - 5x = -5 - 10-3x = - 15-3x-3=-15-3x = 5

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي :

يبين الشكل المجاور طريقة أخرى لقياس عرض البحيرة ، أجد عرض البحيرة WX فيه .

الحل : 

WX = 78km

................................................................................................................................................................................................................................................................................

حل الأسئلة والتمارين : 

أتدرب وأحل المسائل: 

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك ، فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي :

الحل:

النسبة بين طولي الضلعين المتطابقين المتناظرين

ACGE=BCGF =68 = 34

النسبة بين أطول ضلعين

ABEF=912=34

المثلثان متشابهان وفق نظرية التشابه  SSS  ,  إذن ACB~EGF

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

الزاوية S مشتركة بين المثلثين

والنسبة بين طولي الضلعين اللذين يحصران الزاوية  S  في المثلثين هي 

STSR=16 + 824 + 12 = 2436 =23SQSP=1624=23

المثلثان متشابهان وفق نظرية التشابه   SAS   ،   PSQ~RST

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة هي :  712   ,  47   ,  611  ، المثلثان غير متشابهين

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل: 

يوجد زوجين من الزوايا المتناظرة المتطابقة ، 

P=TRSP=TSQ

المثلثان متشابهان بمسلمة التشابه   AA   ،   إذن  :   TSQ~PSR

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

أثبت أن كل مثلثين مما يأتي متشابهان ، ثم أجد الطول المطلوب: 

الحل: 

AEBADCABEACD                                               متوازيين من متناظرة زواياAEB~ADC           AA التشابه بمسلمة إذنAB=185

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل: 

EGFGHF                         قائمتان زاويتانF                               المثلثين بين مشتركة زاويةEGF~GHF              AA التشابه بمسلمةHG = 18013

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل: 

ACBFCE                 بالرأس متقابلتان زاويتانAF                            معطىACB~FCE                 AA التشابه مسلمة

نسب التشابه : 

ACFC= CBCE2x9 = 8x2x (x ) = 8 × 92x2 = 72x2 = 36x = 6        مقبولx= - 6    مرفوضAC = 2x = 2 ( 6 ) = 12

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل:

ASRACB                 قائمتان زاويتانA                                        المثلثين بين مشتركة زاويةASR~ACB                  AA التشابه بمسلمةAB=15

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

9) عجلة دوارة : يبين الشكل المجاور عجلة دوارة فإذا علمت أن  MP=NQ=1.5m ، وأن OM = ON =3 فأبين ما إذا كان  OPQ~OMN أم لا .

الحل :

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

10) في الشكل الآتي ، إذا كان  KNJ  متطابق الضلعين و  N  زاوية رأسه ، وكان   LH ، فأثبت أن  GHJ~MLK  ، باستعمال البرهان ذي العمودين .

الحل: 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

11) أستعمل المعلومات المعطاة على الشكل الآتي لأثبت أن   AB ×CG = CD × AC   ، باستعمال البرهان السهمي : 

الحل : 

 

ABCD=ACCG   التشابه منAB ×CG =CD × AC     ومنه

 

................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) أكتشف الخطأ : أنظر الحل الآتي ، وأكتشف الخطأ في ايجاد قيمة x  وأصححه

الحل:

الخطأ : لم يكن التناسب بين أضلاع متناظرة في المثلثين المتشابهين

الصحيح: 

49 = 6xx = 6 × 94x = 13.5

................................................................................................................................................................................................................................................................................

13)  تحد : أحدد في الشكل المجاور ثلاث مثلثات متشابهة ، ثم أكتب ثلاث جمل تشابه بين المثلثات ، وأثبتها جميعها : 

الحل: 

المثلثات       ACB~CDB~ADC  متشابهة

ACB~ACD               ( AA ) حسب مسلمة التشابه

لأن   A مشتركة 

mC = mD = 90°     

 

ACB~CDB             ( AA ) التشابه مسلمة حسبمشتركة  B لأنmC = mD = 90°

بما أن المثلثين ACD , CDB  كلاً منهما يشابه المثلث  ACBإذن :

المثلثان   ACD, CDB  متشابهان               

................................................................................................................................................................................................................................................................................

14) تبرير : هل المستقيم الذي يقطع ضلعي مثلث ، ويكون موازياً للضلع الثالث من المثلث ، يشكل مثلثين متشابهين ؟ أبرر إجابتي :

الحل :

نعم ، لأنه ينتج زوجين من الزوايا المتناظرة المتطابقة ويكون التشابه بمسلمة AA

................................................................................................................................................................................................................................................................................

15) كيف أحدد ما إذا كان مثلثان متشابهين أم لا ؟

الحل : 

- إذا طابقت زاويتين في مثلث زاويتين في مثلث آخر فإن المثلثين متشابهان ( AA )

- إذا كانت الاضلاع المتناظرة متناسبة ، فإن المثلثين متشابهان ( SSS )

- إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر ، وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين ، فإن المثلثين متسابهان (SAS )

................................................................................................................................................................................................................................................................................

حل مسائل كتاب التمارين : 

أحدد ما إذا كان كل مثلثين مما يأتي متشابهين أم لا ، وإذا كانا كذلك فأكتب عبارة التشابه ، مبرراً إجابتي :

ألاحظ أن     y = 85°    زاوية مشتركة

ألاحظ أن 

 mYZX = 180 - ( 85 + 45 ) = 50°

إذن 

mYWU = mYZX = 50°

حسب مسلمة التشابه ( AA )  يكون :

  YWU , YZX    متشابهان .

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الاحظ أن : 

أقصر ضلعين : 

HGHF=1520=34

أطول ضلعين : 

GJFK=1824=34

الضلعين المتبقيين : 

HJHK=16.522=34

إذن   :   HFK , HJG متشابهين وفق نظرية التشابه  ( SSS )

................................................................................................................................................................................................................................................................................

الاحظ أن

أقصر ضلعين:

VURS=912=34

اطول ضلعين : 

VTSQ=1824=34

الضلعين المتبقيين : 

VTRQ=1216=34

إذن : RSQ , TUV  متشابهين وفق نظرية التشابه ( SSS )

................................................................................................................................................................................................................................................................................

أستعمل الشكل المجاور لأكمل كلاً من العبارات الآتية:

4)  CAG~CEF

5) DCF~BCG

6) ACB~ECD

7) mECF = 37°

8) mECD = 82°

9) CF = 12

10) BC = 42

11) DE = 21

................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) أجد ارتفاع البرج في الشكل الاتي مستعملاً تشابه المثلثات :

ألاحظ أن المثلثين الصغير والكبير متشابهين لوجود زاوية مشتركة بينهما والمثلثين قائمين حسب مسلمة التشابه AA

نسب التشابه : 

أفرض ارتفاع البرج  x  فيكون : 

3462 = 2xx = 2 × 4623x = 9243x = 308                البرج ارتفاع

................................................................................................................................................................................................................................................................................

أجد قيمة المتغير  x في كل زوج من أزواج المثلثات المتشابهة الآتية : 

 

242x - 4 = x + 539( 2x-4) (x+6) = 24× 392x2 + 12x -4x - 24 = 9362x2 + 8x - 960=0x2 + 4x - 480 =0إما   x = 20          مقبولأو   x = -24           مرفوضx = 20          إذن

................................................................................................................................................................................................................................................................................

نسب التشابه : 

10x + 10 = x + 2x + 14( x + 2 ) ( x + 10 ) = 10 ( x + 14 )x2 + 10x + 2x + 120 = 10x + 140x2 + 12x + 20 - 10x - 140 =0x2 + 2x - 120 = 0المعلدلة بحل إما   x = 10     مقبولأو   x = -12   مرفوضx = 10          إذن