تعلمت سابقًا أن التكامل هو عملية عكسية للاشتقاق ،  وأن عناصر جملة التكامل غير المحدود هي:  $\int f\left(x\right) dx=F\left(x\right)+c$

حيث: $f\left(x\right)$: المُكامَل

                         F(x) : اقتران أصلي للاقتران$f\left(x\right)$

                          c: ثابت التكامل

                        dx: تفاضلة x ، حيث x هو متغير التكامل

ويكون التكامل المحدود على الصورة:   ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx$

 

حيث: a: الحد السفلي للتكامل

                     b: الحد العلوي للتكامل

وقيمته:    ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(x\right){|}_a^b =F\left(b\right)-F\left(a\right)$

وتساعدنا قواعد الاشتقاق التي درسناها في الفصل الأول من معرفة صيغ تكامل بعض الاقترانات الخاصة التالية:

إذا كانت $R,b,a$  أعدادًا حقيقية بحيث : $R\ne 1,R>0,a\ne 0$ , e العدد النيبيري ، فإن:

 

$$\begin{gathered} 1)\int e^x dx=e^x+c \\ 2)\int e^{ax+b} dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c \\ 3)\int R^x dx=\frac{R^x}{ln\left(R\right)}+c \\ 4)\int R^{ax+b} dx=\frac{R^{ax+b}}{aln\left(R\right)}+c \end{gathered}$$

نلاحظ أن الصيغ السابقة تعالج تكاملات بعض الاقترانات الاسية والتي تكون قوتها على صورة كثير حدود من الدرجة الأولى.

وغير ذلك تعالج بالتعويض . ويمكن استنتاج هذه الصيغ من قواعد الاشتقاق الخاصة بالاقتران الأسي.

جد كل من التكاملات التالية:

$$\begin{gathered} 1)\int 4e^{5-2x} dx \\ Solution: \\ \int 4e^{5-2x} dx=\frac{4e^{5-2x}}{-2}+c \\ =-2e^{5-2x}+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2)\int \frac{1}{\sqrt[3]{e^{2x+1}}}dx \\ Solution: \\ \int {\left(e^{2x+1}\right)}^{\frac{-1}{3}}dx =\int e^{\frac{-2x-1}{3}}dx \\ =\frac{-3}{2}{e}^{\frac{-2x-1}{3}}+c \end{gathered}$$

ملاحظة:  بكتابة المُكامل في صورة أسية

$$\begin{gathered} 3\left){\int }_0^3\right(8e^{2x+1}-4x)dx \\ Solution: \\ {\int }_0^3(8e^{2x+1}-4x)dx=(\frac{8}{2}{e}^{2x+1}-\frac{4}{2}{x}^2){|}_0^3 \\ =(4e^{2x+1}-2x^2){|}_0^3 \\ =(4e^7-18)-(4e^1-0) \\ =4e^7-4e-18 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 4)\int (8{\left(5\right)}^{2x+1}-4\sqrt[3]{x})dx \\ Solution: \\ \int (8{\left(5\right)}^{2x+1}-4x^{\frac{1}{3}})dx=\frac{8{\left(5\right)}^{2x+1}}{2\ln 5}-4(\frac{3}{4})x^{\frac{4}{3}}+c \\ =\frac{4{\left(5\right)}^{2x+1}}{\ln 5}-3\sqrt[3]{x^4}+c \end{gathered}$$

a) تكامل الاقترانات المثلثية التي زاويتها x:   

$$\begin{gathered} 1)\int sin x dx=-cos(x)+c \\ 2)\int cos x dx=sin\left(x\right)+c \\ 3)\int se{c}^{2}x dx=tan(x)+c \\ 4)\int cs{c}^{2}x dx=-cot\left(x\right)+c \\ 5)\int sec(x\left)tan\right(x) dx=sec(x)+c \\ 6)\int csc\left(x\right)cot\left(x\right) dx=-csc\left(x\right)+c \end{gathered}$$

b)تكاملات الاقترانات المثلثية التي زاويتها $(ax+b)$ حيث a,b عددان حقيقيان ، و $a \ne 0$ :

$$\begin{gathered} 1)\int sin(ax+b)dx=\frac{-1}{a}cos(ax+b)+c \\ 2)\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+c \\ 3)\int se{c}^2(ax+b)dx=\frac{1}{a}tan(ax+b)+c \\ 4)\int cs{c}^2(ax+b)dx=\frac{-1}{a}cot(ax+b)+c \\ 5)\int sec(ax+b\left)tan\right(ax+b)dx=\frac{1}{a}sec(ax+b)+c \\ 6)\int csc(ax+b)cot(ax+b)dx=\frac{-1}{a}csc(ax+b)+c \end{gathered}$$

نلاحظ أن الصيغ السابقة تعالج تكاملات بعض الاقترانات المثلثية والتي تكون زاويتها على صورة كثير حدود من الدرجة الأولى .

وغير ذلك تعالج بالتعويض

جد كل من التكاملات التالية:

$$\begin{gathered} 1)\int (8cos(5-4x)-2x)dx \\ Solution: \\ \int \left(8\cos \right(5-4x)-2x)dx=\frac{-8}{4}\sin (5-4x)-\frac{2}{2}{x}^2+c \\ =-2\sin (5-4x)-x^2+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2)\int (2cs{c}^2\left(4x\right)-6e^{3x-4}+1)dx \\ Solution: \\ \int \left(2cs{c}^2\right(4x)-6e^{3x-1}+1)dx \\ =\frac{-2}{4}cot\left(4x\right)-\frac{6}{3}{e}^{3x-1}+x+c \\ =\frac{-1}{2}cot\left(4x\right)-2e^{3x-1}+x+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 3)\int (2sec\left(2x\right)tan\left(2x\right)-3{\left(2\right)}^{3x+1})dx \\ Solution: \\ \int \left(2sec\right(2x\left)\tan \right(2x)-3{\left(2\right)}^{3x+1})dx \\ =sec\left(2x\right)-\frac{3}{3\ln 2}{\left(2\right)}^{3x+1}+c \\ =sec\left(2x\right)-\frac{1}{\ln 2}{\left(2\right)}^{3x+1}+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 4\left){\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\right(6sin\left(3x\right)-8cos\left(2x\right))dx \\ Solution: \\ {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(6\sin \right(3x)-8\cos (2x\left)\right)dx=\frac{-6}{3}\cos \left(3x\right)-\frac{8}{2}\sin \left(2x\right) {|}_{ 0}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}} \\ =(-2\cos (\frac{3\mathrm{\pi }}{2})-4\sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{2})-(-2\cos \left(0\right)-4\sin \left(0\right)) \\ =(0-0)-(-2-0)=2 \end{gathered}$$

 

تلاحظ أن تكاملات الاقترانات المثلثية السابقة تعالج صيغًا محددة لذلك ، عند إجراء تكاملات لاقترانات مثلثية بصيغ تختلف عنها ،

نحاول تحويل صورتها إلى إحدى الصيغ السابقة مثل إجراء التكامل باستخدام المتطابقات المثلثية.

استخدام متطابقة فيثاغورس:$$\begin{gathered} si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1 \\ ta{n}^2\theta =se{c}^2\theta -1 \\ co{t}^2\theta =cs{c}^2\theta -1 \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل  الآتي :

$$\begin{gathered} \int 12co{t}^{2}3x dx \\ Solution: \\ \int 12 co{t}^{2}3x dx=\int 12\left(cs{c}^2\right(3x)-1)dx because \left(co{t}^2\theta =cs{c}^2\theta -1\right) \\ =12(\frac{-1}{3} cot(3x)-x)+c \end{gathered}$$

استخدام متطابقة تقليص القوة:  $$\begin{gathered} si{n}^2\theta =\frac{1}{2}(1-cos2\theta ) \\ co{s}^2\theta =\frac{1}{2}(1+cos2\theta ) \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل  الآتي :

$$\begin{gathered} {\int }_{\mathrm{\pi }}^{0}co{s}^{2}x dx \\ Solution: \\ {\int }_{\mathrm{\pi }}^0{\cos }^{2}x dx={\int }_{\mathrm{\pi }}^0\frac{1}{2}(1+\cos 2x)dx because \left(co{s}^2\theta =\frac{1}{2}(1+cos2\theta )\right) \\ =\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x){|}_{\mathrm{\pi }}^0 \\ =\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{2}(\mathrm{\pi }+0)=-\frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

استخدم متطابقة تحويل الضرب إلى جمع أو فرق: $$\begin{gathered} \sin \left(\theta \right)\sin \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(cos\right(\theta -\alpha )-cos(\theta +\alpha \left)\right) \\ \sin \left(\theta \right)cos\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(\sin \right(\theta -\alpha )+\sin (\theta +\alpha \left)\right) \\ cos\left(\theta \right)cos\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(cos\right(\theta -\alpha )+cos(\theta +\alpha \left)\right) \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل  الآتي :

$$\begin{gathered} \int 14 cos\left(8x\right)cos\left(6x\right)dx \\ Solution: \\ \int 14\cos \left(8x\right)\cos \left(6x\right)dx=14\int \left(\frac{1}{2}\right)\left(\cos \right(2x)+\cos (14x\left)\right)dx \\ because :cos\left(\theta \right)cos\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(cos\right(\theta -\alpha )+cos(\theta +\alpha \left)\right) \\ =7(\frac{\sin \left(2x\right)}{2}+\frac{\sin \left(14x\right)}{14})+c \\ =\frac{7}{2}\sin \left(2x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(14x\right)+c \end{gathered}$$

استخدم الضرب بالمرافق للحصول على متطابقة :$$\begin{gathered} \frac{1}{1-\sin x}\times \frac{1+sinx}{1+sinx} \Rightarrow 1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x \\ \frac{1}{1-\cos x}\times \frac{1+\cos x}{1+\cos x} \Rightarrow 1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل  الآتي :

$$\begin{gathered} \int \frac{8}{1-sin 2x}dx \\ Solution: \\ \int \frac{8}{1-\sin 2x}dx=\int (\frac{8}{1-\sin 2x}\times \frac{1+\sin 2x}{1+\sin 2x})dx \\ =8\int \frac{(1+\sin 2x)}{1-{\sin }^{2}2x}dx but \left(1-si{n}^{2}2x=co{s}^{2}2x\right) \\ =8\int \frac{(1+\sin 2x)}{{\cos }^{2}2x}dx \\ =8(\int \frac{1}{{\cos }^{2}2x}+\frac{\sin 2x}{{\cos }^{2}2x})dx \\ =8(\int se{c}^{2}2x+\tan 2x sec 2x)dx \\ =8\left(\frac{1}{2}\tan \right(2x)+\frac{1}{2}sec(2x\left)\right)+c \\ =4\tan \left(2x\right)+4sec\left(2x\right)+c \end{gathered}$$

 

من قواعد الاشتقاق للاقتران اللوغاريتمي الطبيعي نعلم أن: $\frac{d}{dx}\left(ln\left|f\left(x\right)\right|\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

ولأن عملية التكامل هي عملية عكسية للاشتقاق ، فإننا نستطيع استنتاج الصيغ التالية للتكاملات.

$$\begin{gathered} 1)\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+c , x\ne 0 \\ because \frac{d}{dx}ln\left|x\right|=\frac{1}{x} \\ 2\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+c , x\ne \frac{-b}{a},a\ne 0 \\ because \frac{d}{dx}ln\left|ax+b\right|=\frac{a}{ax+b} \\ 3)\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\ln \left|f\left(x\right)\right|+c , f\left(x\right)\ne 0 \\ because \frac{d}{dx}ln\left|f\left(x\right)\right|=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)} \end{gathered}$$

فهذه الصيغ تعالج تكاملات ، عندما يكون المُكامل على صيغة كسر، بسطه يساوي مشتقة مقامه.

وفي بعض الأحيان ، نحتاج إلى إجراء بعض التبسيط حتى نحول صيغة المُكامل إلى صيغ يمكن إجراء تكاملها.

جد كل من التكاملات التالية:

$$\begin{gathered} 1)\int (\frac{5}{e^x}-\frac{4}{3x})dx \\ Solution: \\ \int 5e^{-x}dx-\frac{4}{3}\int \frac{1}{x}dx=-5e^{-x}-\frac{4}{3}\ln \left|x\right|+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2)\int \frac{15}{4-3x}dx \\ Solution: \\ \int \frac{15}{4-3x}dx=\frac{15}{-3}\int \frac{-3}{-3x+4}dx note(\frac{d}{dx}\left(-3x+4\right)=-3) \\ =-5\ln |-3x+4|+c \end{gathered}$$

 

 

$$\begin{gathered} 3)\int \frac{2x^3-5x^2+7x-2}{x^2}dx \\ Solution: \\ \int (\frac{2x^3}{x^2}-\frac{5x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}-\frac{2}{x^2})dx=\int (2x-5+7(\frac{1}{x})-2x^{-2})dx \\ =x^2-5x+7\ln \left|x\right|+\frac{2}{x}+c \end{gathered}$$

 

 

$$\begin{gathered} 4)\int \frac{3x^2}{5-x^3}dx \\ Solution: \\ \int \frac{3x^2}{5-x^3}dx=-\int \frac{-3x^2}{5-x^3}dx note(\frac{d}{dx}\left(5-x^3\right)=-3x^2) \\ =-\ln |5-x^3|+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 5)\int \frac{7x}{2x^2+3}dx \\ Solution: \\ \int \frac{7x}{2x^2+3}dx=\frac{7}{4}\int \frac{4x}{2x^2+3}dx note\left(\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)=4x\right) \\ =\frac{7}{4}\ln |2x^2+3|+c \end{gathered}$$

 

 

$$\begin{gathered} 6)\int 6cot\left(2x\right)dx \\ Solution: \\ 6\int \frac{\cos 2x}{\sin 2x}dx=3\int \frac{2\cos 2x}{\sin 2x}dx \\ =3\ln |\sin 2x|+c \end{gathered}$$

 

 

$$\begin{gathered} 7)\int \frac{3 sin x}{2+cos x}dx \\ Solution: \\ \int \frac{3 \sin x}{2+\cos x}dx=-3\int \frac{-\sin x}{2+\cos x}dx note(\frac{d}{dx}\left(2+\cos x\right)=-\sin x) \\ =-3\ln |2+\cos x|+c \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 8)\int \frac{1-x^2}{x^3-3x-5}dx \\ Solution: \\ \int \frac{1-x^2}{x^3-3x-5}dx=\frac{-1}{3}\int \frac{3(x^2-1)}{x^3-3x-5}dx \\ =\frac{-1}{3}\int \frac{3x^2-3}{x^3-3x-5}dx note(\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)=4x) \\ =\frac{-1}{3}\ln |x^3-3x-5|+c \end{gathered}$$

 

$9)\int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx$

 

نلاحظ أن المُكامل على صيغة اقتران كسري درجة البسط أكبر من درجة المقام ،

وفي مثل هذه الحالة نقوم بتغيير صيغة المُكامل ، بإجراء عملية القسمة واستخدام خوارزمية القسمة.

ومنه فان الناتج :

 $\frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}=\left(3x^2+2x+1\right)-\frac{8}{x+2}$

$$\begin{gathered} 9)\int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx \\ Solution: \\ \int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx=\int (3x^2+2x+1-\frac{8}{x+2})dx \\ =x^3+x^2+x-8\ln \left|x+2\right|+c \end{gathered}$$

 

يمكن إيجاد التكامل المحدود لاقتران متشعب ، باستخدام قاعدة تجزئة التكامل والتي تنص على:

إذا كان $f\left(x\right)$  اقترانًا متصلا على الفترة$[a,b]$، فإن: ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

ولا يشترط أن تكون a<c<b

جد كل من التكاملات التالية:

$$\begin{gathered} 1\left){\int }_0^{3}f\right(x)dx, : f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x-5,& x<1\\ 3x^2-6,& x⩾1\end{array}\right. \\ Solution: \\ {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx={\int }_0^1(2x-5)dx+{\int }_1^3(3x^2-6)dx \\ =(x^2-5x){|}_0^1+(x^3-6x){|}_1^3 \\ =(1-5)-\left(0\right)+(27-18)-(1-6) \\ =-4-0+9+5=10 \end{gathered}$$

 

 

$$\begin{gathered} 2\left){\int }_3^{-3}\right|3x^2-12|dx \\ Solution: \\ |3x^2-12|=3x^2-12=0 \\ 3x^2=12 \\ x=\pm 2 \\ |3x^2-12|=\left\{\begin{array}{ll}3x^2-12,& x\le -2\\ 12-3x^2& -2<x<2\\ 3x^2-12,& x\ge 2\end{array} \\ {\int }_3^{-3}\right|3x^2-12|dx={\int }_3^2(3x^2-12)dx+{\int }_2^{-2}(12-3x^2)dx+{\int }_{-2}^{-3}(3x^2-12)dx \\ =(x^3-12x){|}_3^2+(12x-x^3){|}_2^{-2}+(x^3-12x){|}_{-2}^{-3} \\ =(-16)-(-9)+(-16)-(16)+(9)-(16) \\ =-7+-32+-7 \\ =-46 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 3){\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sqrt{1-si{n}^{2}x} dx \\ Solution: \\ note that: \sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x} =|\cos x| \\ |\cos x|=\{\begin{array}{ll}\cos x,& 0\le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ -\cos x,& \frac{\mathrm{\pi }}{2}<x<\mathrm{\pi }\end{array} \\ {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sqrt{1-{\sin }^{2}x} dx={\int }_0^{\mathrm{\pi }}|\cos x|dx \\ ={\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\cos x dx+{\int }_{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{\mathrm{\pi }}-\cos x dx \\ =(\sin x){|}_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}+(-\sin x){|}_{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{\mathrm{\pi }} \\ =(1)-(0)+(0)-(-1)=2 \end{gathered}$$

 

a) الشرط الأولي:

لاحظنا أن ناتج التكامل غير المحدود لاقتران معينا ، يحتوي على ثابت التكامل (c)، ولإيجاد قيمة ثابت التكامل في المسائل العملية

نحتاج إلى معرفة (الشرط الأولي)، والذي هو نقطة تحقق الاقتران الأصلي الناتج من التكامل غير المحدود، مما يجعل التكامل وسيلة

لإيجاد الاقتران الذي ينمذج مسائل عملية وحياتية.

أظهرت دراسة أن عدد متابعي موقع إلكتروني تعليمي يتزايد بمعدل  $N\text{'}\left(t\right)=\frac{300t}{3t^2+1}$  حيث t الزمن بالأيام ،$N\left(t\right)$ عدد المتابعين.

جد $N\left(t\right)$  علمًا بأن عدد المتابعين عند بداية الدراسة كان 7500 متابع.

 

$$\begin{gathered} Solution: \\ N\left(t\right)=\int N\text{'}\left(t\right) dt \\ =\int \frac{300t}{3t^2+1}dt=50\int \frac{6t}{3t^2+1}dt \\ =50\ln (3t^2+1)+c \end{gathered}$$

لإيجاد قيمة الثابت c، نستخدم الشرط الأولي عندما $N\left(0\right)=7500 ,t=0$

 

$$\begin{gathered} N\left(t\right)=50\ln (3t^2+1)+c \\ N\left(0\right)=50\ln \left(1\right)+c=7500 \\ c=7500 \end{gathered}$$

إذن: عدد المتابعين لهذا الموقع الإليكتروني بعد مرور (t) يوم من بدء الدراسة بالاقتران:

$N\left(t\right)=50\ln (3t^2+1)+7500$

b) الحركة في مسار مستقيم

عندما يتحرك جسم في مسار مستقيم ،  فإن موقعه يعطى بالاقتران $S\left(t\right)$،  وتعطى سرعته بالاقتران $V\left(t\right)$.

 حيث $S^{\text{'}}\left(t\right)=V\left(t\right)$ ، t هو الزمن.

فاقتران السرعة v(t) هو اقتران أصلي لاقتران الموقع s(t) ،

وبمعرفة اقتران السرعة يمكن إيجاد اقتران الموقع عن طريق إجراء عملية التكامل لاقتران السرعة $s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt$

ويجب التمييز بين مفهومين يتعلقان بحركة الجسم:

أولاً الإزاحة:

وهي التغير في موقع الجسم خلال الفترة الزمنية.

فالإزاحة للجسم الذي يتحرك في مسار مستقيم والذي يتحدد موقعه بالاقتران s(t) خلال الفترة الزمنية تعطى بالعلاقة:

$s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right) dt$

والإزاحة كمية متجهة ، قد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا حسب اتجاه الحركة خلال الفترة الزمنية وعلى الموقع النهائي والابتدائي

للجسم خلالها.

ثانياً المسافة المقطوعة:

وهي المسافة الكلية التي يقطعها الجسم خلال الفترة الزمنية على المسار المستقيم بغض النظر عن اتجاه الحركة ،

وهي كمية قياسية ، لا تكون سالبة ، وتعطى المسافة الكلية التي يقطعها الجسم الذي يتحرك في مسار مستقيم والذي يحدد موقعه

بالاقتران خلال الفترة الزمنية $[t_1,t_2]$ بالعلاقة:  ${\int }_{t_1}^{t_2}\left|v\left(t\right)\right| dt$

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، حيث أن سرعته المتجهة v(t) (بوحدةm/s)

بعد مرور (t) من الثواني من بدء الحركة بالاقتران:  $v\left(t\right)=3t^2-3t-6, t\ge 0$، فإذا انطلق الجسيم من الموقع $s\left(0\right)=14m$

1) جد موقع الجسيم بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة.

$$\begin{gathered} Solution: \\ s\text{'}\left(t\right)=v\left(t\right) \\ s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt \\ =\int (3t^2-3t-6)dt \\ =t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+c \end{gathered}$$

لإيجاد قيمة الثابت c ، نستخدم الشرط الأولي $s\left(0\right)=14$

$$\begin{gathered} s\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+c \\ s\left(0\right)={\left(0\right)}^3-\frac{3}{2}{\left(0\right)}^2-6\left(0\right)+c=14 \\ \Rightarrow c=14 \end{gathered}$$

اقتران الموقع هو: $s\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+14$

بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة: 

$$\begin{gathered} s\left(4\right)=64-24-24+14 \\ s\left(4\right)=30m \end{gathered}$$

بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة ، يكون موقع الجسم 30m.

2) جد إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية $[0,4]$  ثوانٍ

 

$$\begin{gathered} Solution: \\ \mathrm{الإزاحة}=s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right) \\ =s\left(4\right)-s\left(0\right) \\ =30-14=16m \end{gathered}$$

 

3)  جد المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية $[0,4]$ ثوانٍ.

$$\begin{gathered} Solution: \\ \mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}={\int }_{t_1}^{t_2}\left|v\left(t\right)\right|dt \\ ={\int }_0^4\left|3t^2-3t-6\right|dt \end{gathered}$$

بإعادة تعريف $\left|v\left(t\right)\right|$  كاقتران متشعب:

$$\begin{gathered} 3t^2-3t-6=0 \\ 3(t-2)(t+1)=0 \\ t=2, t=-1 \mathrm{تهمل} \\ \left|v\left(t\right)\right|=\{\begin{array}{ll}-3t^2+3t+6 ,& 0\le t\le 2\\ 3t^2-3t-6 ,& 2<t\end{array} \\ \mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}={\int }_0^2(-3t^2+3t+6)dt+{\int }_2^4(3t^2-3t-6)dt \\ =(-t^3+\frac{3}{2}{t}^2+6t){|}_0^2+(t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t){|}_2^4 \\ =(-8+6+12)-(0)+(64-24+24)-(8-6-12) \\ =10+64-14 =60m \end{gathered}$$

 

ثالثاً معادلة المنحنى وميل المماس:

يمكن استخدام التكامل لإيجاد معادلة المنحنى بمعرفة معادلة ميل مماسه ، فميل المماس هو:  $m=\frac{dy}{dx}$

ولإيجاد معادلة المنحنى ، نجري عملية التكامل لميل المماس ، ولإيجاد ثابت التكامل ، نستخدم الشرط الأولي (النقطة)

التي تحقق معادلة المنحنى.

تُمثل العلاقة$m=\frac{dy}{dx}=3\sin \left(x\right)-6e^{-2x}+1$ ، ميل المماس لمنحنى العلاقة y عند النقطة $(x,y)$

جد معادلة العلاقة y ، علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة $\left(10, 0\right)$.

$$\begin{gathered} Solution: \\ m=\frac{dy}{dx}=3\sin \left(x\right)-6e^{-2x}+1 \\ y=\int mdx=\int \left(3\sin \right(x)-6e^{-2x}+1)dx \\ y=-3\cos \left(x\right)+3e^{-2x}+x+c \end{gathered}$$

لإيجاد قيمة الثابت c ، نستخدم الشرط الأولي : $(x,y)=(0,10)$

$10=-3+3+0+c \Rightarrow 10=c$

لتصبح قاعدة العلاقة y هي:

$y=-3\cos \left(3x\right)+3e^{-2x}+x+10$