الرياضيات 12 فصل ثاني

تكاملات اقترانات خاصة

تعلمت سابقًا أن التكامل هو عملية عكسية للاشتقاق ،  وأن عناصر جملة التكامل غير المحدود هي:  $\int f\left(x\right) dx=F\left(x\right)+c$

حيث: $f\left(x\right)$: المُكامَل

F(x) : اقتران أصلي للاقتران

 c: ثابت التكامل

dx: تفاضلة x ، حيث x هو متغير التكامل

ويكون التكامل المحدود على الصورة:   ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx$

حيث: a: الحد السفلي للتكامل

b: الحد العلوي للتكامل

وقيمته:    ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(x\right){|}_a^b =F\left(b\right)-F\left(a\right)$

وتساعدنا قواعد الاشتقاق التي درسناها في الفصل الأول من معرفة صيغ تكامل بعض الاقترانات الخاصة التالية:

---

تكامل الاقترانات الأسية

إذا كانت $R,b,a$  أعدادًا حقيقية بحيث : $R\ne 1,R>0,a\ne 0$ , e العدد النيبيري ، فإن:

 

$1)\int e^x dx=e^x+c$

$2)\int e^{ax+b} dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c$

$3)\int R^x dx=\frac{R^x}{ln\left(R\right)}+c$

$4)\int R^{ax+b} dx=\frac{R^{ax+b}}{aln\left(R\right)}+c$

نلاحظ أن الصيغ السابقة تعالج تكاملات بعض الاقترانات الاسية والتي تكون قوتها على صورة كثير حدود من الدرجة الأولى.

وغير ذلك تعالج بالتعويض . ويمكن استنتاج هذه الصيغ من قواعد الاشتقاق الخاصة بالاقتران الأسي.

مثال:

جد كل من التكاملات التالية:

$1)\int 4e^{5-2x} dx=\frac{4e^{5-2x}}{-2}+c=-2e^{5-2x}+c$

 

$2)\int \frac{1}{\sqrt[3]{e^{2x+1}}}dx=\int {\left(e^{2x+1}\right)}^{\frac{-1}{3}}dx=\int e^{\frac{-2x-1}{3}}dx=\frac{-3}{2}{e}^{\frac{-2x-1}{3}}+c$

ملاحظة:  بكتابة المُكامل في صورة أسية

$3\left){\int }_0^3\right(8e^{2x+1}-4x)dx=(\frac{8}{2}{e}^{2x+1}-\frac{4}{2}{x}^2){|}_0^3$

$=(4e^{2x+1}-2x^2){|}_0^3=(4e^7-18)-(4e^1-0)=4e^7-4e-18$

 

$4)\int (8{\left(5\right)}^{2x+1}-4\sqrt[3]{x})dx=\int (8{\left(5\right)}^{2x+1}-4x^{\frac{1}{3}})dx$

$=\frac{8{\left(5\right)}^{2x+1}}{2\ln 5}-4\left(\frac{3}{4}\right)x^{\frac{4}{3}}+c=\frac{4{\left(5\right)}^{2x+1}}{\ln 5}-3\sqrt[3]{x^4}+c$

ثانيا: تكامل الاقترانات المثلثية

a) تكامل الاقترانات المثلثية التي زاويتها x: 

$\mathbf{1}\mathbf{)}\int sin x dx=-cos(x)+c \mathbf{2}\mathbf{)}\int cos x dx=sin\left(x\right)+c$

$\mathbf{3}\mathbf{)}\int se{c}^{2}x dx=tan(x)+c \mathbf{4}\mathbf{)}\int cs{c}^{2}x dx=-cot\left(x\right)+c$

$\mathbf{5}\mathbf{)}\int sec(x\left)tan\right(x) dx=sec(x)+c \mathbf{6}\mathbf{)}\int csc\left(x\right)cot\left(x\right) dx=-csc\left(x\right)+c$

b)تكاملات الاقترانات المثلثية التي زاويتها $(ax+b)$ حيث a,b عددان حقيقيان ، و $a \ne 0$ :

$\mathbf{1}\mathbf{)}\int sin(ax+b)dx=\frac{-1}{a}cos(ax+b)+c$

$\mathbf{2}\mathbf{)}\int cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+c$

$\mathbf{3}\mathbf{)}\int se{c}^2(ax+b)dx=\frac{1}{a}tan(ax+b)+c$

$\mathbf{4}\mathbf{)}\int cs{c}^2(ax+b)dx=\frac{-1}{a}cot(ax+b)+c$

$\mathbf{5}\mathbf{)}\int sec(ax+b\left)tan\right(ax+b)dx=\frac{1}{a}sec(ax+b)+c$

$\mathbf{6}\mathbf{)}\int csc(ax+b\left)cot\right(ax+b)dx=\frac{-1}{a}csc(ax+b)+c$

نلاحظ أن الصيغ السابقة تعالج تكاملات بعض الاقترانات المثلثية والتي تكون زاويتها على صورة كثير حدود من الدرجة الأولى .

وغير ذلك تعالج بالتعويض

مثال:

جد كل من التكاملات التالية:

$1)\int (8cos(5-4x)-2x)dx$

$=\frac{-8}{4}\sin (5-4x)-\frac{2}{2}{x}^2+c=-2\sin (5-4x)-x^2+c$

 

$2)\int (2cs{c}^2\left(4x\right)-6e^{3x-4}+1)dx$

$=\frac{-2}{4}cot\left(4x\right)-\frac{6}{3}{e}^{3x-1}+x+c=\frac{-1}{2}cot\left(4x\right)-2e^{3x-1}+x+c$

 

$3)\int (2sec\left(2x\right)tan\left(2x\right)-3{\left(2\right)}^{3x+1})dx$

$=sec\left(2x\right)-\frac{3}{3\ln 2}{\left(2\right)}^{3x+1}+c=sec\left(2x\right)-\frac{1}{\ln 2}{\left(2\right)}^{3x+1}+c$

 

$4\left){\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\right(6sin\left(3x\right)-8cos\left(2x\right))dx$

${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(6\sin \right(3x)-8\cos (2x\left)\right)dx=\frac{-6}{3}\cos \left(3x\right)-\frac{8}{2}\sin \left(2x\right) {|}_{ 0}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$

$=(-2\cos (\frac{3\mathrm{\pi }}{2})-4\sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{2})-(-2\cos \left(0\right)-4\sin \left(0\right))$

$=(0-0)-(-2-0)=2$

---

ثالثا: المتطابقات المثلثية والتكامل

تلاحظ أن تكاملات الاقترانات المثلثية السابقة تعالج صيغًا محددة لذلك ، عند إجراء تكاملات لاقترانات مثلثية بصيغ تختلف عنها ،

نحاول تحويل صورتها إلى إحدى الصيغ السابقة مثل إجراء التكامل باستخدام المتطابقات المثلثية.

مثال:

استخدام متطابقة فيثاغورس:

$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$

$ta{n}^2\theta =se{c}^2\theta -1$

$co{t}^2\theta =cs{c}^2\theta -1$

جد قيمة التكامل  الآتي :

$\int 12co{t}^{2}3x dx$

$=\int 12\left(cs{c}^2\right(3x)-1)dx because (co{t}^2\theta =cs{c}^2\theta -1)$

$=12(\frac{-1}{3} cot(3x)-x)+c$

مثال:

استخدام متطابقة تقليص القوة:

$si{n}^2\theta =\frac{1}{2}(1-cos2\theta )$

$co{s}^2\theta =\frac{1}{2}(1+cos2\theta )$

جد قيمة التكامل  الآتي :

${\int }_{\mathrm{\pi }}^{0}co{s}^{2}x dx$

$={\int }_{\mathrm{\pi }}^0\frac{1}{2}(1+\cos 2x)dx because \left(co{s}^2\theta =\frac{1}{2}(1+cos2\theta )\right)$

$=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x){|}_{\mathrm{\pi }}^0=\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{2}(\mathrm{\pi }+0)=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

مثال:

استخدم متطابقة تحويل الضرب إلى جمع أو فرق:

$\sin \left(\theta \right)\sin \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(cos\right(\theta -\alpha )-cos(\theta +\alpha \left)\right)$

$\sin \left(\theta \right)cos\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(\sin \right(\theta -\alpha )+\sin (\theta +\alpha \left)\right)$

$cos\left(\theta \right)cos\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(cos\right(\theta -\alpha )+cos(\theta +\alpha \left)\right)$

جد قيمة التكامل  الآتي :

$\int 14 cos\left(8x\right)cos\left(6x\right)dx=14\int \left(\frac{1}{2}\right)\left(\cos \right(2x)+\cos (14x\left)\right)dx$

$because :cos\left(\theta \right)cos\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(cos\right(\theta -\alpha )+cos(\theta +\alpha \left)\right)$

$=7(\frac{\sin \left(2x\right)}{2}+\frac{\sin \left(14x\right)}{14})+c=\frac{7}{2}\sin \left(2x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(14x\right)+c$

مثال:

استخدم الضرب بالمرافق للحصول على متطابقة:

$\frac{1}{1-\sin x}\times \frac{1+sinx}{1+sinx}\Rightarrow 1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$

$\frac{1}{1-\cos x}\times \frac{1+\cos x}{1+\cos x} \Rightarrow 1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$

 

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{8}{1-sin 2x}dx$

 

$=\int (\frac{8}{1-\sin 2x}\times \frac{1+\sin 2x}{1+\sin 2x})dx$

$=8\int \frac{(1+\sin 2x)}{1-{\sin }^{2}2x}dx but (1-{\sin }^{2}2x={\cos }^{2}2x)$

$=8\int \frac{(1+\sin 2x)}{{\cos }^{2}2x}dx=8(\int \frac{1}{{\cos }^{2}2x}+\frac{\sin 2x}{{\cos }^{2}2x})dx$

$=8(\int se{c}^{2}2x+\tan 2x sec 2x)dx$

$=8\left(\frac{1}{2}\tan \right(2x)+\frac{1}{2}sec(2x\left)\right)+c=4\tan \left(2x\right)+4sec\left(2x\right)+c$

 

 

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي:

من قواعد الاشتقاق للاقتران اللوغاريتمي الطبيعي نعلم أن: $\frac{d}{dx}\left(ln\left|f\left(x\right)\right|\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

ولأن عملية التكامل هي عملية عكسية للاشتقاق ، فإننا نستطيع استنتاج الصيغ التالية للتكاملات.

$1)\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+c , x\ne 0$

$because \frac{d}{dx}ln\left|x\right|=\frac{1}{x}$

$2)\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+c , x\ne \frac{-b}{a},a\ne 0$

$because \frac{d}{dx}ln|ax+b|=\frac{a}{ax+b}$

$3)\int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\ln \left|f\left(x\right)\right|+c , f(x)\ne 0$

$because \frac{d}{dx}ln\left|f\left(x\right)\right|=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

فهذه الصيغ تعالج تكاملات ، عندما يكون المُكامل على صيغة كسر، بسطه يساوي مشتقة مقامه.

وفي بعض الأحيان ، نحتاج إلى إجراء بعض التبسيط حتى نحول صيغة المُكامل إلى صيغ يمكن إجراء تكاملها.

مثال:

جد كل من التكاملات التالية:

$1)\int (\frac{5}{e^x}-\frac{4}{3x})dx=\int 5e^{-x}dx-\frac{4}{3}\int \frac{1}{x}dx=-5e^{-x}-\frac{4}{3}\ln \left|x\right|+c$

 

$2)\int \frac{15}{4-3x}dx=\frac{15}{-3}\int \frac{-3}{-3x+4}dx note(\frac{d}{dx}\left(-3x+4\right)=-3)$

$=-5\ln |-3x+4|+c$

 

 

$3)\int \frac{2x^3-5x^2+7x-2}{x^2}dx=\int (\frac{2x^3}{x^2}-\frac{5x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}-\frac{2}{x^2})dx$

$=\int (2x-5+7(\frac{1}{x})-2x^{-2})dx=x^2-5x+7\ln \left|x\right|+\frac{2}{x}+c$

 

 

$4)\int \frac{3x^2}{5-x^3}dx=-\int \frac{-3x^2}{5-x^3}dx note(\frac{d}{dx}\left(5-x^3\right)=-3x^2)$

$=-\ln |5-x^3|+c$

 

$5)\int \frac{7x}{2x^2+3}dx=\frac{7}{4}\int \frac{4x}{2x^2+3}dx note\left(\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)=4x\right)$

$=\frac{7}{4}\ln |2x^2+3|+c$

 

$6)\int 6cot\left(2x\right)dx=3\int \frac{2\cos 2x}{\sin 2x}dx=3\ln |\sin 2x|+c$

 

 

$7)\int \frac{3 sin x}{2+cos x}dx=-3\int \frac{-\sin x}{2+\cos x}dx note(\frac{d}{dx}\left(2+\cos x\right)=-\sin x)$

$=-3\ln |2+\cos x|+c$

 

$8)\int \frac{1-x^2}{x^3-3x-5}dx=\frac{-1}{3}\int \frac{3(x^2-1)}{x^3-3x-5}dx$

$=\frac{-1}{3}\int \frac{3x^2-3}{x^3-3x-5}dx note(\frac{d}{dx}(2x^2+3)=4x)$

$=\frac{-1}{3}\ln |x^3-3x-5|+c$

 

$9)\int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx$

نلاحظ أن المُكامل على صيغة اقتران كسري درجة البسط أكبر من درجة المقام ،وفي مثل هذه الحالة نقوم بتغيير صيغة المُكامل ، بإجراء عملية القسمة واستخدام خوارزمية القسمة. ومنه فان الناتج :

 $\frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}=\left(3x^2+2x+1\right)-\frac{8}{x+2}$

$Solution:$

$\int \frac{3x^3+4x^2+5x-6}{x+2}dx=\int (3x^2+2x+1-\frac{8}{x+2})dx$

$=x^3+x^2+x-8\ln |x+2|+c$

 

تطبيقات التكامل:

a) الشرط الأولي:

لاحظنا أن ناتج التكامل غير المحدود لاقتران معينا ، يحتوي على ثابت التكامل (c)، ولإيجاد قيمة ثابت التكامل في المسائل العملية نحتاج إلى معرفة (الشرط الأولي)، والذي هو نقطة تحقق الاقتران الأصلي الناتج من التكامل غير المحدود، مما يجعل التكامل وسيلة لإيجاد الاقتران الذي ينمذج مسائل عملية وحياتية.

مثال:

أظهرت دراسة أن عدد متابعي موقع إلكتروني تعليمي يتزايد بمعدل  $N\text{'}\left(t\right)=\frac{300t}{3t^2+1}$  حيث t الزمن بالأيام ،$N\left(t\right)$ عدد المتابعين.

جد $N\left(t\right)$  علمًا بأن عدد المتابعين عند بداية الدراسة كان 7500 متابع.

 

$N\left(t\right)=\int N\text{'}\left(t\right) dt=\int \frac{300t}{3t^2+1}dt=50\int \frac{6t}{3t^2+1}dt=50\ln (3t^2+1)+c$

لإيجاد قيمة الثابت c، نستخدم الشرط الأولي عندما $N\left(0\right)=7500 ,t=0$

$N\left(t\right)=50\ln (3t^2+1)+c$

$N\left(0\right)=50\ln \left(1\right)+c=7500\to c=7500$

إذن: عدد المتابعين لهذا الموقع الإليكتروني بعد مرور (t) يوم من بدء الدراسة بالاقتران:

$N\left(t\right)=50\ln (3t^2+1)+7500$

b) الحركة في مسار مستقيم

عندما يتحرك جسم في مسار مستقيم ،  فإن موقعه يعطى بالاقتران $S\left(t\right)$،  وتعطى سرعته بالاقتران $V\left(t\right)$.

حيث $S^{\text{'}}\left(t\right)=V\left(t\right)$ ، t هو الزمن.

فاقتران السرعة v(t) هو اقتران أصلي لاقتران الموقع s(t) ، وبمعرفة اقتران السرعة يمكن إيجاد اقتران الموقع عن طريق إجراء عملية التكامل لاقتران السرعة $s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt$ ويجب التمييز بين مفهومين يتعلقان بحركة الجسم:

أولاً: الإزاحة

وهي التغير في موقع الجسم خلال الفترة الزمنية.

فالإزاحة للجسم الذي يتحرك في مسار مستقيم والذي يتحدد موقعه بالاقتران s(t) خلال الفترة الزمنية تعطى بالعلاقة:

$s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)={\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right) dt$

والإزاحة كمية متجهة ، قد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا حسب اتجاه الحركة خلال الفترة الزمنية وعلى الموقع النهائي والابتدائي للجسم خلالها.

 

ثانياً: المسافة المقطوعة:

وهي المسافة الكلية التي يقطعها الجسم خلال الفترة الزمنية على المسار المستقيم بغض النظر عن اتجاه الحركة ، وهي كمية قياسية ، لا تكون سالبة ، وتعطى المسافة الكلية التي يقطعها الجسم الذي يتحرك في مسار مستقيم والذي يحدد موقعه بالاقتران خلال الفترة الزمنية $[t_1,t_2]$ بالعلاقة:  ${\int }_{t_1}^{t_2}\left|v\left(t\right)\right| dt$

مثال:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، حيث أن سرعته المتجهة v(t) (بوحدةm/s) بعد مرور (t) من الثواني من بدء الحركة بالاقتران:  $v\left(t\right)=3t^2-3t-6, t\ge 0$، فإذا انطلق الجسيم من الموقع $s\left(0\right)=14m$

1) جد موقع الجسيم بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة.

$Solution:s\text{'}\left(t\right)=v\left(t\right)$

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt=\int (3t^2-3t-6)dt=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+c$

لإيجاد قيمة الثابت c ، نستخدم الشرط الأولي $s\left(0\right)=14$

$s\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+c$

$s\left(0\right)={\left(0\right)}^3-\frac{3}{2}{\left(0\right)}^2-6\left(0\right)+c=14\Rightarrow c=14$

اقتران الموقع هو: $s\left(t\right)=t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t+14$

بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة: 

$s\left(4\right)=64-24-24+14=30m$

بعد مرور 4 ثوانٍ من بدء الحركة ، يكون موقع الجسم 30m.

2) جد إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية $[0,4]$  ثوانٍ

$\mathrm{الإزاحة}=s\left(t_2\right)-s\left(t_1\right)=s\left(4\right)-s\left(0\right)=30-14=16m$

3)  جد المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية $[0,4]$ ثوانٍ.

$\mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}={\int }_{t_1}^{t_2}\left|v\left(t\right)\right|dt={\int }_0^4\left|3t^2-3t-6\right|dt$

بإعادة تعريف $\left|v\left(t\right)\right|$  كاقتران متشعب:

$3t^2-3t-6=0$

$3(t-2)(t+1)=0$

$t=2, t=-1 \mathrm{تهمل}$

$\left|v\left(t\right)\right|=\{\begin{array}{ll}-3t^2+3t+6 ,& 0\le t\le 2\\ 3t^2-3t-6 ,& 2<t\end{array}$

$\mathrm{المسافة} \mathrm{المقطوعة}={\int }_0^2(-3t^2+3t+6)dt+{\int }_2^4(3t^2-3t-6)dt$

$=(-t^3+\frac{3}{2}{t}^2+6t){|}_0^2+(t^3-\frac{3}{2}{t}^2-6t){|}_2^4$

$=(-8+6+12)-\left(0\right)+(64-24+24)-(8-6-12)=10+64-14=60m$