رياضيات فصل ثاني

تمييز متوازي الأضلاع 

حل اسئلة أتحقق من فهمي :

أتحقق من فهمي : 

في الشكل المجاور إذا كان   $\mathbf{\angle }\mathit{A}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{B}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathit{D}$ ، فأثبت أن  ABCD متوازي أضلاع .

نرسم القطر  CA

.................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي :

ما أقصى ارتفاع يمكن أن ترفع الرافعة الشاحنه إليه ؟ أبرر إجابتي.

الحل : 

عندما يكون  $\mathit{P}\mathit{Q}\mathbf{\perp }\mathit{P}\mathit{S}$  يكون أقصى ارتفاع يمكن أن ترفع الرافعة الشاحنه اليه هو  2m

.................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أجد قيمتي  x و  y  اللتين تجعلان الشكل الرباعي  PQRS  المجاور متوازي أضلاع.

الحل : 

بناءً على عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع فإنه 

حتى يكون الشكل الرباعي  PQRS متوازي أضلاع يجب أن تكون 

$\mathit{P}\mathit{S}\mathbf{\cong }\mathit{Q}\mathit{R}$

$\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathit{y}$

$\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathit{y}\mathbf{\to }\mathit{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{8}$

 

$\mathit{P}\mathit{Q}\mathbf{\cong }\mathit{S}\mathit{R}$

$\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}$

$\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{5}$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{6}$

 

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أثبت أن $\mathit{A}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{B}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{D}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{)}$  تمثل رؤوس متوازي أضلاع.

الحل : 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

حل اسئلة وتمارين الدرس : 

أتدرب وأحل المسائل: 

أبين ما إذا كان كل شكل من الأشكال الرباعية الآتية متوازي أضلاع أم لا ، مبرراً إجابتي :

نلاحظ أن :

$\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{-}\mathbf{102}$

$\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{78}\mathbf{°}$

يكون حسب عكس نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع ، إذن الشكل متوازي أضلاع 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

متوازي أضلاع حسب عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع

.................................................................................................................................................................................................................................................................

متوازي أضلاع حسب نظرية الأضلاع المتوازية والمتطابقة

.................................................................................................................................................................................................................................................................

أجد قيمتي  x  و  y  اللتين تجعلان كل شكل رباعي مما يأتي متوازي أضلاع:

حسب عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الاضلاع 

$\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{18}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}$

$\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{18}$

$\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{18}$

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{18}}{\mathbf{3}}$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{6}$

 

$\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{96}\mathbf{-}\mathit{y}$

$\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{96}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{96}$

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{96}}{\mathbf{4}}$

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{24}$

 

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

حسب عكس نظرية قطري متوازي الأضلاع

$\mathbf{8}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{36}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{y}$

$\mathbf{8}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{36}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{36}$

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{36}}{\mathbf{4}}\mathbf{\to }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{9}$

$\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}$

$\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{3}$

$\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\to }\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{1}$

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

حتى يكون الشكل متوازي أضلاع يجب أن تكون : 

$\mathbf{10}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{40}$

 

$\frac{\mathbf{10}\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{40}}{\mathbf{10}}\mathbf{\to }\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{4}$

 

$\mathbf{25}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{100}$

 

$\frac{\mathbf{25}\mathbf{x}}{\mathbf{25}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{100}}{\mathbf{25}}$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{4}$

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

7) أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل الآتي لكتابة برهان سهمي ، لأثبت أن الشكل الرباعي XYZW  متوازي أضلاع.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

8) أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل الآتي لكتابة برهان سهمي ، لأثبت أن الشكل الرباعي LMNT متوازي أضلاع.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

9) في الشكل الآتي ، إذا كان  $\mathbf{△}\mathit{T}\mathit{R}\mathit{S}\mathbf{\cong }\mathbf{△}\mathit{R}\mathit{T}\mathit{W}$   ، فأثبت أن   RSTW متوازي أضلاع باستعمال البرهان ذي العمودين.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

10) أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل الآتي لكتابة برهان ذي عمودين، لأثبت أن الشكل الرباعي  ANDL  متوازي أضلاع .

.................................................................................................................................................................................................................................................................

موقف سيارات: يبين الشكل المجاور موقفاً للسيارات، إذا كان  $\mathit{J}\mathit{K}\mathbf{=}\mathit{L}\mathit{M}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{J}\mathit{K}\mathit{L}\mathbf{=}\mathbf{60}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{K}\mathit{L}\mathbf{=}\mathit{J}\mathit{M}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{m}$

11) هل الجزء من الموقف  JKLM متوازي أضلاع؟ أبرر إجابتي

الحل: 

متوازي أضلاع لأن فيه كل ضلعين متقابلين متطابقين.

12) أجد كلاً من : $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{ }\mathit{J}\mathit{M}\mathit{L}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{K}\mathit{J}\mathit{M}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}$

الحل: 

$\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{J}\mathit{M}\mathit{L}\mathbf{=}\mathbf{60}\mathbf{°}$

$\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{K}\mathit{J}\mathit{M}\mathbf{=}\mathbf{180}\mathbf{-}\mathbf{60}\mathbf{=}\mathbf{120}\mathbf{°}$

$\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{K}\mathit{L}\mathit{M}\mathbf{=}\mathbf{120}\mathbf{°}$

13) هل $\mathit{J}\mathit{K}\mathbf{\parallel }\mathit{P}\mathit{Q}$  ؟ أبرر إجابتي.

الحل : 

لا يوجد ما يدل على أنهما متوازيان

.................................................................................................................................................................................................................................................................

14) حاسوب : تسمح معالجات نصوص حاسوبية عدة بكتابة الكلمة بالخط العادي أو الخط المائل . هل الحرف  (   I ) ، متوازي أضلاع؟ أبرر إجابتي .

الحل:

نعم متوازي أضلاع ، لأنه معطى ضلعان متقابلان متوازيان، والضلعين الآخرين متوازيين لوجود زاويتين متناظرتين متطابقتين .

.................................................................................................................................................................................................................................................................

أمثل في المستوي الإحداثي الشكل الرباعي المعطاة إحداثيات رؤوسه في ما يأتي ، وأحدد ما إذا كان متوازي أضلاع أم لا ، مبرراً إجابتي

15)  B ( -6 , -3 ) ,  C ( 2 , - 3 ) , E ( 4 , 4 ) , G ( -4 , 4 )

الحل: 

 

.........................................................................................................................

16) Q ( -3 , -6 ) , R ( 2 , 2 ) , S ( -1 , 6 ) , T ( -5 , 2 ) 

$\mathbf{ }\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{T}\mathit{S}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}$

 

$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathit{R}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{5}} \\ \mathbf{ } \end{gathered}$$

$\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{R}\mathit{S}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{3}}$

$\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathit{T}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}$

لا يوجد أضلاع متوازية ، الشكل ليس متوازي أضلاع.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

تبرير : تمثل النقاط  A  ,   B ,   C  في المستوي الإحداثي المجاور رؤوس شكل رباعي ، أجد إحداثيات النقطة الرابعة في كل من الحالات الآتية ، مبرراً إجابتي:

17) النقطة D  حيث ABCD   متوازي أضلاع 

$\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{\parallel }\mathit{D}\mathit{C}\mathbf{ }$

$\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{D}\mathit{C}\mathbf{=}\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{=}\mathbf{3}$

$\mathit{A}\mathit{D}\mathbf{\parallel }\mathit{B}\mathit{C}$

$\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{D}\mathbf{=}\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

$\mathit{D}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}$

 

$\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{\parallel }\mathit{C}\mathit{E}$

$\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{=}\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{C}\mathit{E}\mathbf{=}\mathbf{3}$

$\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{\parallel }\mathit{B}\mathit{E}$

$\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{B}\mathit{E}\mathbf{=}\mathbf{ميل}\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

$\mathit{E}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{)}$

18) النقطة E  حيث  ABEC   متوازي أضلاع

.................................................................................................................................................................................................................................................................

19) تبرير : أثبت أن الشكل الرباعي  FACD متوازي أضلاع، علماً أن  ABCDEF  سداسي منتظم ، أبرر إجابتي

.................................................................................................................................................................................................................................................................

20) تحد : يبين الشكل المجاور متوازي الأضلاع  LMNO  ، وتمثل النقاط  A , B    ,  C   ,   D  منتصفات أضلاعه . أثبت أن الشكل   ABCD  متوازي أضلاع.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

21) أكتب : كيف يمكن إثبات أن شكلاً رباعياً يمثل متوازي أضلاع ؟

يمكن إثبات أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا كان : 

- كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين 

- كل ضلعين متقابلين فيه متطابقين

- كل زاويتين متقابلتين فيه متطابقتين

- قطراه ينصف كل منهما الآخر

- إذا كان فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتطابقان.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

حل أسئلة كتاب التمارين : 

أحدد النظرية التي يمكنني استعمالها لابين ان الشكل الرباعي في كل مما يأتي متوازي أضلاع : 

عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع

.................................................................................................................................................................................................................................................................

عكس نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع

.................................................................................................................................................................................................................................................................

نظرية الاضلاع المتوازية والمتطابقة

.................................................................................................................................................................................................................................................................

أجد قيمة  x و  y اللتين تجعلان كل شكل رباعي مما يأتي متوازي أضلاع : 

الحل : 

حسب عكس نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع

$\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{13}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{12}$

$\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{-}\mathbf{13}$

$\mathbf{-}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{25}$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{25}$

:فيكون  x أعوض 25 بدلاً من 

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{8}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\left(}\mathbf{25}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{8}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{=}\mathbf{75}\mathbf{-}\mathbf{8}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{=}\mathbf{67}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{67}\mathbf{-}\mathbf{7}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{60}$

 

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{60}}{\mathbf{4}}$

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{15}$

 

 

 

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل: 

حسب عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع 

$\mathbf{7}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{6}$

$\mathbf{7}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{3}$

$\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{9}$

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{3}$

 

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{1}$

$\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{1}$

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{4}$

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

الحل : 

حسب عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع 

$\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{36}$

$\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{36}\mathbf{+}\mathbf{12}$

$\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{48}$

 

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{48}}{\mathbf{4}}$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{12}$

 

$\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{42}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathit{y}$

$\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{42}$

$\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{42}$

 

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{42}}{\mathbf{2}}$

 

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{21}$

 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

7) أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المجاور لكتابة برهان سهمي ، لأثبت أن الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع : 

الحل : 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

8) أمثل الرؤوس $\mathit{A}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{B}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }$  في المستوي الإحداثي ، ثم أحدد إحداثيات الرأس D الذي يجعل الشكل الرباعي  ABCD متوازي أضلاع مبرراً إجابتي : 

الحل : 

ألاحظ من الشكل أن         BC = 7

حسب عكس نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع 

$$\begin{gathered} \mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\cong }\mathit{A}\mathit{D} \\ \mathit{A}\mathit{D}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{7} \end{gathered}$$

بالتمثيل على الشكل تكون       D ( 2 , -2 )

مع العلم بأن   $\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\parallel }\mathit{A}\mathit{D}$    حسب عكس نظرية الأضلاع المتوازية في متوازي الأضلاع .

.................................................................................................................................................................................................................................................................

9) يقول عماد : إنه يمكن إثبات أن الشكل الرباعي  JKLM متوازي أضلاع باستعمال عكس نظرية الأضلاع المتطابقة في متوازي الأضلاع ، أكتشف الخطأ في قول عماد .

الحل : 

الخطأ في قول عماد: 

حسب عكس نظرية الأضلاع المتطابقة في متوازي الأضلاع يكون:

كل ضلعين متقابلين متطابقين في متوازي الأضلاع 

والضعين   JK و  ML  غي متطابقين بالضرورة 

.................................................................................................................................................................................................................................................................