رياضيات فصل ثاني

العاشر

icon

أتحقق من فهمي صفحة 89

في الشكل المجاور ABCD  مستطيل فيه BC = b  و  AB = a أعبر عن كل مما يأتي باستعمال المتجهين a  و b 

 

a . AD  = bb. DC = ac. CB = -b

 


أتحقق من فهمي صفحة 90

اعتمادا على الشكل في مثال 2 أكتب التجه الذي يمثل ناتج الجمع في كل مما يأتي :

 

a ) AE + EC + CB  =ABb) BE +ED + DC =BC


أتحقق من فهمي صفحة 91

اعتمادًا على الشكل في مثال 3 ، أجد هندسيًا كلا مما يأتي : 

a ) p +3q

b) 3q - 2p 

 c) 2q - 12 p


أتحقق من فهمي صفحة 92

إذا كان c = ( 0 , 5)     , b = (-2 , 7)    , a = (3,1)    فأجد كل مما يأتي 

 

a) - b<- (-2) , -7> = <2 , -7>

b) 4c

 

<4 (0) , 4(-5) >= <0 , -20>

c) b -c 

 

<-2 -0  , 7 - (-5)> = <-2 , 12>

d) 4a + 3c

 

<4(3) + 3(0)   , 4(1) + 3(-5)> = <12 +0 , 4 -15> = <12 , -11>



أتدرب و أحل المسائل 

اعتمادًا على الشكل المجاور حيث AE = b ,   AG = a   اكتب كل متجه مما يأتي بدلالة  a و b

 

1. EI  = a2. FC =b3. DE =-b4. GE =b-a5. 4 GD = 8b - 4a6. CA  = -( 2a + 2b )

 


  إذا كان  a = 34  , -86 و   c = 9 , -1  و  b = -65 , 17  فأجد كل مما يأتي :   

7.a+c

a+c = <34+9 , -86+-1> =<43 , -87>

8.b - a = <-65-34 , 17--86> =<-99,103>

   =<-99,103>

9.3c+b

 3c +b  3c= <27,-3>3c+b = <27+-65,-3+17> =<-38,14>

10.a+b-2c

 a + b -2c = <34+(-65)-18,(-86)+17+2>                    =<-49 , -67>=<-49,-67> 


اعتمادًا على الشكل المجاور ، اكتب كلا من المتجهات الآتية بدلالة r  و s  و  t : 

 

11.  SR   = r-s  12. ST  = t-s   13. RS  = s-r


14. إذا كان <7 , -5> = < 3x -y  , y - x2><7 , -5> = <3x -y  , y -x2>  فما قيمة كل من x  و y ؟ 

 

3x - y = 7y - x2 = -5y = 3x -73x-7 - x2 =-5x2 -3x + 2 = 0(x-2)(x-1) = 0x=2  or  x=1x=2 y=-1x=1 y=-4


إذا كان  f= <2 ,4> , e = <-3 , -2>  فأمثل كل كم المنتجهات الآتية على المستوى الإحداثي : 

15. e + f

16. 3f

17. e - f

18. f - e

19. 4e

20. 2f + e


 21 .  إذا كان e = 11  , -8  و   d= 5 , 9   فأجد 13e  , 4d - 3e  

 

13e =13e = 13112+-82 =131854.54d - 3e = -132 + 602=376961.4

 


في الشكل المجاورة OABCD  شبه منحرف ، فيه R  منصف OB¯  و Q  منتصف AC¯ إذا كان OB = b     و   BC  = 2a فاكتب كلا من المتجهات الآتية بدلالة a  و b 

 

22. QR  = QA + AO + OR            = 12CA+ AO + 12OB            = 12(CB + BO +OA) + AO + 12OB             = 12(-2a + (-b) +a) + (-a) + 12b =-32 a23. AQ = 12AC          = 12(AO +OB + BC)         = 12(AO + OB +BC)         = 12(-a + b + 2a ) = 12(a+b)24. RQ =32a


25 . كيف يمكن تحديد إذا كان BC ¯       و       OA¯   متوازيين في الشكل OABCB ؟ 

 

OA = a   ,  BC =2aBC  = 2OABC  OA

26. رياضة : في ساباق للمشي، انطلقت رند من نقطة البداية، فقطعت 15km في اتجاه الشرق ، ثم اتجهت شمالًا مسافة 17km  كم كيلومترًا تبعد رند عن نقطة البداية ؟ 

 

152+172 =225+289 =51422.67

27 . نزهة بحرية : أبحر قارب سياحي مسافة 40km  جنوبا، ثم تحرك مسافة 70km  في اتجاه الشرق . أجد اتجاه القارب وبعده عن نقطة انطلاقه .

AC =402 + 702 80.62km   tanθ =4070θ = tan-1 4729.7

اي ان القارب يبعد 80.62 عن نقطة انطلاقه A  و في اتجاه 330.3ْ مع محور X الموجب

28. أحل المسألة الواردة في بداية الدرس . 

بدأت طائرة رحلتها نحو الشمال بسرعة مقدارها 450km/h لكنها واجهت رياحا شرقية سرعتها 60km/h  فأخذت تنحرف نحو اليسار. 

كيف يمكن للطيار أن يعدل اتجاهها وسرعتها ليصل إلى وجهته من دون تأخير ؟

|v+w|=4502+602453.98km/htanθ=60450=215θ=tan-1(215)7.59°

 

اي يتعين الربان ان يحرف مسار بزاوية 7.59نحو اليمين، ويزيد سرعتها لتصبح 453.98، فتعيدها الرياح الى اتجاه الشمال، وتخفض سرعتها حتى تصل 450


29. سباق زعانف : شارك سامي في سباق الزعانف الذي نظمه اتحاد الرياضات البحرية على شاطئ خليج العقبة. سبح سامي بسرعة متجهة مقدارها 3km/h  في اتجاه الجنوب ، لكنه واجه أمواجًا سرعتها  1.8km/h  وقد دفعته إلى اتجاه الشرق فغير مقدار سرعته واتجاهها ليقاوم الأمواج ، ويفوز بالسباق . أجد السرعة المتجهة التي يجب أن يسبح بها سامي .

|v+u|=32+1.82=12.243.50km/h

اذا ، يجب ان يسبح بسرعة 3.5، وفي اتجاه 31° غرب الجنوب حتى ينهي السباق في موعد


تحويلات هندسية  أجري انسحاب للشكل ABCD  المجاور باستعمال المتجه ( a , b )   حيث a  مقدار الانسحاب على محور x  و b  مقدار الانسحاب على محور  y : 

30) اجد (a,b) 

(a,b)=(-4,-2)

31) اذا اجري انسحاب للشكل 'A'B'C'D باستعمال المتجه (4 - ,3)،فارسم الشكل الناتج من الانسحاب، واسميه ''A''B''C''D

32) احدد المتجة (f,e) الذي يصف انسحاب الشكل ABCD الى الشكل ''A''B''C''D

30. 

( a , b) = ( -4 , -2 )

31. 

32. 

( f , e) = ( -1 , -6)


33) انطلقت سيارة من المدينة A الى المدينة B، فقطعت مسافة 200km في اتجاه 040°، ثم غيرت اتجاه حركتها الى 050°، وقطعت مسافة 150km. اجد اتجاه النقطة B وبعدها عن النقطة A 

m<AON=180°-40°=140°m<AOB=360°-(50°+140°)=170°AB2=2002+1502-2×200×150×cos170°=121588.47AB=121588.47348.7kmsinθ150=sin170348.7θ=sin-1(0.075)4.3°

اي ان تبعد عن A مسافة 348.70، واتجاهها من A هو 44.3


34) اذا كان 3,x+y23,5-15,7=0، فاجد قيمة كل من العددين xوy

x+5y2-7=03+3y2-15=03y2=12y2=4y=±2x+5y2-7=0x+5×4-7=0x+20-7=0x=-13


مهارات التفكير العليا 

35) تبرير : انطلق يخت في رحلة بحرية من الميناء، فقطع مسافة 60kmشمالا، ثم تحرك مسافة 40km شرقا، ثم مسافة 16km جنوبا، فوصل الى جزيرة. اجد بعد الجزيرة عن الميناء، ثم اجد المسافة التي قطعها اليخت في رحلته البحرية حتى وصل الجزيرة، واقارن بينهما 

مجموع المسافات التي قطعها اليخث: 

60+40+16=116

وبافتراض ان الجزيرة تبعد عن الميناء x km، فان: 

x=442+40259.46km

اذا، مجموع المسافات التي قطعها اليخت نساوي مثلي بعد الجزيرة عن الميناء تقريبا؛ لان اليخث لم يسلك المسار المستقيم من الميناء الى الجزيرة 


تحد:يمثل الشكل المجاور OAB مثلثا متطابق الاضلاع، ويمثل فيه M مركز المثلث؛ ما يعني ان المستقيم الواصل بين راس المثلث والنقطة M عمودي على الضلع المقابل: 

36) اكتب المتجه AB بالصورة الاحداثية 

ِAB=AO+OB    =-a+b     =b-a=b,cos0°,bsin0°-acos60°,asin60°=b,0-12a,32a

لان a=b

=12a,-32a

37) اثيت ان OM=13a+b



كتاب التمارين صفحة 21

امثل بيانيا من المتجهات الاتية اعتمادا على الشكل المجاور: 

1.  a +b 

2 . - a

3.   a - c 

4. b - a 

5.  - c 

6.- a - b


اعتمادا على الشكل المجاور الذي يبين مجموعتين من المستقيمات المتوازية، أكتب كلا من المتجهات الآتية بدلالة 

في الشكل المجاور، Mهي نقطة منتصفAB

اكتب كلا من المتجهات الاتية بدلالة المتجهين a،وb

 

7) AB = b - a8) BO  = -b 9) AM = 12 ( b -a)10) OM   = 12 ( a +b) 

11) احدد على الشكل موقعي النقطتين X،وY، بحيث يكون  OX=2a+b,OY=a+2b

12) اكتب XY بدلالة a،و b

b  - a 

13) ما المتجهات الاخرى المكافئة لXY؟ 

AB


اذا كان a=27,-15,b=9,-21,c=-12,0، فاجد كلا مما ياتي: 

 

14) a-c  = <39  , - 15>15) b-2a = <-45 , 9>16) 3c-b  = <-45  , 21>17) a-b-c  = <30  , 6>


يمثل الشكل المجاور المتجهات الاتية، علما بان O هي نقطة الاصل: 

OA¯=2,2   OB¯=4,1   OC¯=6,0


اكتب كلا من المتجهات الاتية بالصورة الاحداثية، ثم ارسمه على الشكل: 

 

18) AB

19 ) AC

20) BC


21)  هل اجابات المسائل كافية لاثبات ان ABC مستقيم؟ ابرر اجابتي 

نعم ، كافية ، بما أن AC = 2 AB فإن AC  AB  وبما أنهما يشتركان في النقطة B  فهما يكونان مستقيما واحدًا. وهذا يعني أن ABC  خط مستقيم أي أن النقاط A و  B  و C  تقع على المستقيم نفسه .