رياضيات7 فصل أول

مفهوم أساسي : 

الحدودُ الجبريَّةُ المتشابهةُ (Algebraic like terms) : هيَ حدودٌ تحتوي على المتغيِّراتِ نفسِها، وبالأسسِ نفسِها 

حدودٌ متشابهةٌ	حدودٌ غيرُ متشابهةٍ
$\mathbf{x},34\mathbf{x},-5\mathbf{x}$	$\mathbf{x}\mathbf{,}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{,}{\mathbf{x}}^{\mathbf{5}}$
$2\mathbf{xy},-28\mathbf{xy} ,\mathbf{xy}$	$17\mathbf{,}\mathbf{xy}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{xy}}^{\mathbf{5}}$
$7{\mathbf{n}}^{\mathbf{3}},-5{\mathbf{n}}^{\mathbf{3}},{\mathbf{n}}^{\mathbf{3}}$	$\mathbf{w}, 3\mathbf{z},14\mathbf{m}$

يمكنُني أنْ أجمعَ أيَّ حدَّيْنِ متشابِهَيْنِ أوْ أطرَحَهما، وذلكَ بجَمْعِ معامليْهِما أوْ طرحِهِما فَقَطْ وإِبْقاءِ المُتَغيِّراتِ. 

يكونُ المقدارُ الجبريُّ في أبسطِ صورةٍ (Simplest form) إذا لمْ يَحْتَوِ على أيِّ حدودٍ متشابِهَةٍ.

مثال 1: أكتبُ كلَّ مقدارٍ جبريٍّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{x}$

الحدان 3x,4x متشابهانِ. أجمعُ مُعامِلَِي الحدَّيْنِ، ثمَّ أضعُ x         $3\mathrm{x}+4\mathrm{x}=\left(3+4\right)\mathrm{x}=7\mathrm{x}$                                       

2) $\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x}$

 الحدّانِ متشابهانِ. أطرحُ معامِلَِي الحدَّيْنِ، ثمَّ أضعُ x                       $4\mathrm{x}-3\mathrm{x}=\left(4-3\right)\mathrm{x}=\mathrm{x}$                                         

3) $\mathbf{7}\mathbf{zt}\mathbf{+}\mathbf{6}\mathbf{zt}$

الحدّانِ 7zt,6zt متشابهانِ جمعُ مُعامِلَِي الحدَّيْنِ، ثمَّ أضعُ zt          $7\mathrm{zt}+6\mathrm{zt}=\left(7+6\right)\mathrm{zt}=13\mathrm{zt}$                                  

4) $\mathbf{9}{\mathbf{y}}^{\mathbf{5}}\mathbf{–}{\mathbf{y}}^{\mathbf{5}}$

الحدّانِ y⁵ , 9y⁵ متشابهانِ. أطرحُ معامِلَِي الحدَّيْنِ، ثمَّ أضعُy⁵        $9{\mathrm{y}}^5–{\mathrm{y}}^5=\left(9-1\right){\mathrm{y}}^5=8{\mathrm{y}}^5$                                    

 

يمكنُني استخدامُ خصائصِ العمليّاتِ لكتابةِ مقدارٍ جبريٍّ في أبسطِ صورةٍ. 

مثال2: أكتبُ كلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{pn}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{q}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{pn}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{q}\mathbf{)}$

الخاصيَّةُ التجميعيَّةُ والتبديليّةُ في الجمعِ                  $=(6\mathrm{pn}+2\mathrm{pn})+(7\mathrm{q}-3\mathrm{q})$                                   

أجمعُ الحدودَ المتشابهةَ، ثمَّ أطرحُها                                                  $=8\mathrm{pn}+4\mathrm{q}$                                 

2) $\mathbf{(}\mathbf{4}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{t}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{t}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{)}$

الخاصيَّةُ التجميعيَّةُ والتبديليّةُ في الجمعِ                      $=(4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}- {\mathrm{x}}^2\mathrm{y})+(\mathrm{t}+3\mathrm{t})$                                     

أجمعُ الحدودَ المتشابهةَ، ثمَّ أطرحُها                            $=3{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+4\mathrm{t}$                                     

 

يمكنُني استخدامُ خاصيّةِ التوزيعِ لتبسيطِ مقدارٍ جبريٍّ إشارتُهُ سالبةٌ مثلِ $\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}$ وذلكَ بإدخالِ الإشارةِ السالبةِ على القوسِ وعكسِ إشاراتِ جميعِ الحدودِ داخلَهُ ليصبِحَ:$\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}$

مثال3: أكتبُ كلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{y}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}$

خاصيّةُ التوزيعِ                                         $=2\mathrm{y}+\frac{3}{4}-6\mathrm{y}+\frac{1}{4}$                                      

خاصيّةُ التجميع                                       $=\left(2\mathrm{y}-6\mathrm{y}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)$                                       

أُجمِّعُ الحدودَ المتشابَِةَ (خاصيّةُ التجميع)    $=-4\mathrm{y}+1=1-4\mathrm{y}$                                     

2) $\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{75}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{25}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}\mathbf{)}$

خاصيّةُ التوزيعِ                                                     $=-0.75\mathrm{x}-4-1.25\mathrm{x}-0.5$                     

أُجمِّعُ الحدودَ المتشابَِةَ (خاصيّةُ التجميع)          $=\left(-0.75\mathrm{x}-1.25\mathrm{x}\right)+\left(-4-0.5\right)$                   

أطرحُ الحدودَ المتشابهةَ                                                                        $=-2x-4.5$