رياضيات9 فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 18

أكتبُ مُتباينةً مركبةً تمثِّلُ كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

a) عددٌ أكبرُ مِنْ 3- وأقلُّ مِنْ 7

• أختار مُتغيرًا ، ليكن x ممثلًا للعدد 

• أكتب المتباينة  : $-3 < x < 7$

• أمثل المتباينة على خط الأعداد :    

---

b) عددٌ على الأكثرِ 0 أوْ على الأقلِّ 2

• أختار مُتغيرًا ، ليكن y ممثلًا للعدد 

• أكتب المتباينة  : $y \le 0 or y \ge 2$

• أمثل المتباينة على خط الأعداد : 

---

أتحقق من فهمي صفحة 20

أكتبُ كلَّ مُتباينةٍ مُرَكَّبَةٍ ممّا يأتي باستعمالِ رمزِ الفترةِ، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

a) -10 < x ≤ 10   

التعبير برمز الفترة : $(-10,10]$ 

التمثيل على خط الأعداد : 

---

    b) x > 1 or x < -4

 

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty ,-4)\cup (1,\infty )$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

c) 7 ≤ x < 12   

التعبير برمز الفترة : $[7,12]$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

 d) x ≤ -8  or  x ≥ 8

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty ,-8]\cup [8,\infty )$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

أتحقق من فهمي صفحة 21

أَجِدُ مجموعةَ حلِّ كلِّ مُتباينةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

a) -5 < x - 4 < 2 

المُتباينةُ المُعطاةُ	-5 < x - 4 < 2
بجمع 4 إلى كلِّ طَرف	$-5+4 < x - 4+4 < 2+4$
بالتبسيطِ	$-1 <x < 6$

مجموعة الحل هي : $\{x | -1 < x < 6\}$ ، وتُكتب باستخدام رمزِ الفترةِ على الصورةِ :$(-1 , 6)$ ، ويمكنُ تمثيلُها على خطِّ الأعدادِ علَى النَّحوِ الآتي :

  

 

b) -2 < -3x - 8 ≤ 10

المُتباينةُ المُعطاةُ	-2 < -3x - 8 ≤ 10
بجمع 8 إلى كلِّ طَرف	$-2+8 < -3x - 8+8 \le 10+8$
بقسمة كل طرف على  3- وتغيير اتجاه المتباينة	$\frac{6}{-3} >\frac{-3x}{-3} \ge \frac{18}{-3}$
بالتبسيط	$-2 > x \ge -6$
بإعادة كتابة المتباينة	$-6 \le x < -2$

مجموعة الحل هي :  $\left\{x\right|-6\le x<-2\}$، وتُكتب باستخدام رمزِ الفترةِ على الصورةِ : $[-6,-2)$ ، ويمكنُ تمثيلُها على خطِّ الأعدادِ علَى النَّحوِ :

---

أتحقق من فهمي صفحة 23

أَجِدُ مجموعةَ حلِّ كلِّ مُتباينةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

a) x + 2 ≤ 5  or  x - 4 ≥ 2     

المُتباينةُ المُعطاةُ	$x+2\le 5 or x-4\ge 2$
بحل كل متباينة	$x+2-2\le 5-2\to x\le 3$ $x-4+4\ge 2+4\to x\ge 6$

إذنْ، مجموعةُ الحلِّ هيَ : $\left\{x\right|x\le 3 or x\ge 6\}$ ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ اتحادِ فترتينِ منفصلتينِ على الصورةِ : $(-\infty ,3]\cup [6,\infty )$ 

ويمكنُ تمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي :

---

 

   b) -2x + 7 ≤ 13  or  5x + 12 < 37
 

المُتباينةُ المُعطاةُ	$-2x+7\le 13 or 5x+12<37$
بحل كل متباينة على حِدة	$-2x+7-7\le 13-7$ $\frac{-2x}{-2}\le \frac{6}{-2}\to x\ge -3$ $5x+12-12<37-12$ $\frac{5x}{5}<\frac{25}{5}\to x<5$

مجموعة حلِّ المُتباينة هِي اتِّحاد المُتباينتين. إذنْ، أُمَثِّلُ كُلًّ من المُتباينَتينِ الآتِيَتين ، ثمَّ أجِد اتَّحاد التمثيلين :

أُلاحظ أنّ التمثيل البيانيّ للمُتباينة  x < 5 يحتوي على جميع نقاط التمثيل البيانيّ للمُتباينة  x $\le$ -3  ؛ لِذا يكونُ الاتِّحادُ هُوَ التمثيل البيانيّ للمُتباينة

x < 5 ، وتكون مجموعة الحلِّ : $\{ x | x < 5 \}$، ويُمكنُ كتابتُها باستخدام رمز الفترة على الصورة : $(-\infty , 5)$ 

---

أتحقق من فهمي صفحة 24

درجةُ الحرارةِ: إذا عَلِمتُ أنَّ درجةَ حرارةِ الجسمِ الطبيعيَّةَ للأشخاصِ البالغينَ تتراوحُ بينَ $37.2° C و 36.1° C$ ، فأكتبُ مُتباينةً مُرَكَّبَةً تمثِّلُ
درجةَ حرارةِ الشخصِ البالغِ وَأُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ، ثمَّ أُحَوِّلُ المُتباينةَ إلى الدرجةِ الفهرنهايتيَّةِ. علمًا أنَّ : $C° = \frac{5}{9}(F° - 32)$

الحل : 

أختارُ مُتَغَيِّرًا : لِيَكُنْ C مُمَثِّلً لدرجةِ حرارةِ المُحَرِّكِ بالسلسيوس.

أكتبُ المُتباينةَ : $36.1 \le C \le 37.2$

أمثل المتباينة على خط الأعداد  : 

لِيَكُنْ أنَّ F مُمَثِّلًا لدرجةِ الحرارةِ بالفهرنهايت، وَمِنْهُ :

المُتباينةُ	$36.1 \le C \le 37.2$
بالتعويضِ عن C بـ ( $\frac{5}{9}(F° - 32)$	$36.1 \le \frac{5}{9}(F° - 32) \le 37.2$
بضربِ كلِّ طَرَفٍ بـ $\frac{9}{5}$	$64.98 \le F - 32 \le 66.98$
بجمعِ 32 لكلِّ طَرَفٍ	$96.98 \le F \le 98.98$

إذنْ، تتراوحُ درجةُ حرارةِ الجسم بينَ  $98.98 F° و 96.98 F°$

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ مُتباينةً مركبةً تمثِّلُ كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

1) عددٌ أكبرُ مِنْ 7- وأقلُّ مِنْ 2 

• أكتب المتباينة  : $-7 < x < 2$  

 

---

 2) عددٌ أقلُّ مِنْ أوْ يُساوي 5- أوْ أكبرُ مِنْ 12

• أكتب المتباينة  : $x \le -5 or x > 12$

---

3) عددٌ يقعُ بينَ 10 - وَ 10     

• أكتب المتباينة  : $-10 \ge x \ge 10$

   

---

4) عددٌ علَى الأكثرِ 2- أوْ على الأقلِّ 9

• أكتب المتباينة  : $x \le -2 or x \ge 9$

---

5) ناتج ضرب عدد في 5- أكبرُ مِنْ 35 أوْ أقلُّ مِنْ 10 

• أكتب المتباينة  : $-5x > 35 or -5x < 10$

• أحل المتباينة :

---

6) عددٌ مطروحٌ منهُ 8 لا يزيدُ على 4 ولا يقلُّ عَنْ 5

• أكتب المتباينة  : $x-8 \le 4 and x-8 \ge 5$

• أحل المتباينة : 

$x-8+8\le 4+8 and x-8+8\ge 5+8$

$x \le 12 and x \ge 13$

• أمثل كل متباينة على خط الأعداد ، وألاحظ وجود حرف الواو كأداة ربط بين المتباينتين (لا يزيدُ على 4 و لا يقلُّ عَنْ 5) وعدم وجود نقاط مشتركة يدل على أن مجموعة الحل $\varnothing$  

---

أكتبُ كلَّ مُتباينةٍ مُركّبةٍ ممّا يأتي باستعمال رمز الفترة، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

7) x ≥ 4 or x ≤ -7       

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ :  $(-\infty ,-7]\cup [4,\infty )$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

8) -2 < x < 4

التعبير برمز الفترة : $(-2 , 4)$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

9) x < 2 or x ≥ 15 

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty ,2)\cup [15,\infty )$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

  10) -5 ≤ x ≤ 10

التعبير برمز الفترة :$[-5,10]$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

 

أكتبُ مُتباينةً مُركّبة تُعبّرُ عَن كلِّ تمثيلٍ على خطِّ الأعداد ممّا يأتي، ثمَّ أُعبّرُ عنها برمز الفترة:

الحل : 

المتباينة التي تعبر عن التمثيل  : $-3<x\le 2$

التعبير برمز الفترة : $(-3,2]$

---

الحل : 

المتباينة التي تعبر عن التمثيل  : $x<-2 or x\ge 1$

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty ,-2)\cup [1,\infty )$  

---

الحل :

المتباينة التي تعبر عن التمثيل  : $-3<x<4$

التعبير برمز الفترة : $(-3,4)$

---

الحل :

المتباينة التي تعبر عن التمثيل  : $x\le -7 or x\ge -4$

اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty ,-7]\cup [-4,\infty )$

---

 

أَجِدُ مجموعةَ حلِّ كلِّ مُتباينةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

15)  -5 < x + 1 < 4 

$-5-1<x+1-1<4-1$ $-6<x<3$

مجموعة الحل هي : $\{ x| -6 < x < 3\}$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

16) $\frac{1}{2}<\frac{3x-1}{4}\le 5$

$\frac{1}{2}\times 4<\frac{(3x-1)}{4}\times 4 \le 5\times 4$ $2+1<3x-1+1\le 20+1$ $3<3x\le 21$ $1<x\le 7$

مجموعة الحل هي :  $\left\{x\right|1<x\le 7\}$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

17) -9 < 3x + 6 ≤ 18 

$-9-6<3x+6-6\le 18-6$ $-15<3x\le 12$ $-5<x\le 4$

مجموعة الحل هي : $\left\{x\right|-5<x\le 4\}$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

  18)  x + 1 < -3  or  x - 2 > 0

$x+1-1<-3-1 or x-2+2>0+2$ $x<-4 or x>2$

مجموعة الحل هي : $\left\{x\right|x<-4 or x>2\}$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

19) 2r + 3 < 7   or   -r + 9 ≤ 2 

$2r+3-3<7-3 or -r+9-9\le 2-9$ $\frac{2r}{2 }<\frac{4}{2} or \frac{-r}{-1}\ge \frac{-7}{-1}$ $r<2 or r\ge 7$

مجموعة الحل هي : $\{ r | r < 2 or r \ge 7 \}$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

20) 2n + 11 ≤ 13   or   -3n ≥ -12

$2n+11-11\le 13-11 or \frac{-3n}{-3}\le \frac{-12}{-3}$ $n\le 1 or n\le 4$

 

مجموعة حلِّ المُتباينة هِي اتِّحاد المُتباينتين. إذنْ، أُمَثِّلُ كُلًّ من المُتباينَتينِ الآتِيَتين ، ثمَّ أجِد اتَّحاد التمثيلين :

أُلاحظ أنّ التمثيل البيانيّ للمُتباينة $n \le 4$ يحتوي على جميع نقاط التمثيل البيانيّ للمُتباينة $n \le 1$  ؛ لِذا يكونُ الاتِّحادُ هُوَ التمثيل البيانيّ للمُتباينة

$n \le 4$  ، وتكون مجموعة الحلِّ : $\{ n | n \le 4 \}$، ويُمكنُ كتابتُها باستخدام رمز الفترة على الصورة : $(-\infty , 4 ]$

---

 

21) سُعراتٌ حراريَّةٌ : إذا عَلِمتُ أنَّ حاجةَ الرياضيِّ مِنَ الطاقةِ تعتمدُ على عواملَ عِدَّةٍ، مِنْ أهمِّها كتلتُهُ وسرعةُ التمرينِ، وكانَ رياضيٌّ يحتاجُ يوميًّا ما

بينَ 3000 و 4500 سعرةٍ حراريَّةٍ، فأكتبُ مُتباينةً تمثِّلُ السُّعراتِ الحراريَّةَ الَّتي يحتاجُ إليها الرياضيُّ، وَأُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ.

الحل : 

أفرض أن عدد السعرات الحرارية التي يحتاجها الرياضي x  

إذن المتباينة التي تمثل السعرات الحرارية التي يحتاجها الرياضي هي : $3000 \le x \le 4500$

التمثيل على خط الأعداد : 

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا
تبريرٌ: إذا كانَ مجموعُ طولَي أيِّ ضلعَيْنِ في المُثَلَّثِ أكبرَ مِنْ طولِ الضِّلعِ الثالثِ، فأستعمِلُ هذه الحقيقةَ للإجابةِ عَنِ السؤالَيْنِ الآتِيَيْنِ تِباعًا:
 

22)  هلْ يمكنُ أنْ تكونَ قيمةُ x في المُثَلَّثِ المُجاوِرِ $1 cm$ ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

الحل : 

لا يُمكن ؛ لأنّه إذا جمعنا الضلعين $5 cm , x cm$ فيجب أن يكون الناتج أكبر من $7 cm$  ويمكن كتابة المتباينة على النحو الآتي : 

$x + 5 > 7$  وبحل المتباينة ينتج  $x > 2$  

 

---

 

23) أستعمِلُ المُثَلَّثَ المُجاوِرَ لكتابةِ مُتباينةٍ تُحَدِّدُ قِيَمَ x المُمكِنَةَ، مُبَرِّرًا إجابتي.

الحل : 

$x+5>7 or 5+7>x$

$x>2 or 12>x$

إذن المتباينة  : $2<x<12$

---

24) أكتشفُ الخطأَ : ناتجُ تقريبِ العددِ x إلى أقربِ 100 هُوَ 400 . تقولُ عبيرُ إنَّ المُتباينةَ $395 \le x < 405$ تُعَبرُِّ عَنْ جميعِ قِيَمِ x المُحتَمَلَةِ، وتقولُ لمياءُ إنَّ المُتباينةَ $350 \le x < 450$ تُعَبِّرُ عَنْ جميعِ قِيَمِ x المُحتَمَلَةِ. أيُّهُما إجابتُها صحيحةٌ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

الحل : 

إجابة لمياء صحيحة لأن جميع المتباينة تحتوي على جميع قيم x المحتملة (عند تقريبهم لأقرب 100 فإن ناتج التقريب يساوي 400) ، بينما إجابة عبير لا تعبر عن جميع قيم x المحتملة.  

---

 

تبريرٌ : أَجِدُ مجموعةَ حلِّ كلِّ مُتباينةٍ ممّا يأتي، مُبَرِّرًا إجابتي:

الحل : 

25)   -1 + x < 3  or  - x ≥  - 4   

$-1+x<3 or -x\ge -4$ $x<4 or x\le 4$

وجود or  يكون الحل باتحاد الحلين (الفتريتين) ، إذن مجموعة الحل : $\left\{x\right|x\le 4\}$

---

 26) 3x - 7  ≥ 5   and   2x + 6 ≤ 12

$3x-7+7\ge 5+7 and 2x+6-6\le 12-6$ $x\ge 4 and x\le 3$

وجود and يكون الحل بتقاطع الحلين (الفتريتين) ، إذن مجموعة الحل:$\varnothing$

---

أسئلة كتاب التمارين

أَصِلُ المُتباينةَ بتمثيلِها على خطِّ الأعدادِ في كلٍّ ممّا يأتي:

الحل : 

---

أكتبُ مُتباينةً تمثِّلُ كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ:

5) عددٌ يقعُ بينَ 5- و 7 6) ناتجُ 4 معَ ثلاثةِ أمثالِ عددٍ يقعُ بينَ 8- و 10 7) نصفُ عددٍ أكبرُ مِنْ 0 وأقلُّ مِنْ أوْ يُساوي 1 8) عددٌ على الأقلِّ 2 وعلى الأكثرِ

الحل : 

5) عددٌ يقعُ بينَ 5- و 7 

المتباينة : $-5\le x\le 7$

---

6) ناتجُ 4 معَ ثلاثةِ أمثالِ عددٍ يقعُ بينَ 8- و 10

المتباينة : 

$-8\le 3x+4\le 10$

$-12\le 3x\le 6$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\le }\mathit{x}\mathbf{\le }\mathbf{2}$

---

7) نصفُ عددٍ أكبرُ مِنْ 0 وأقلُّ مِنْ أوْ يُساوي 1

المتباينة : 

$0<\frac{1}{2}x\le 1\to 0<x\le 2$

---

8) عددٌ على الأقلِّ 2 وعلى الأكثرِ 9

المتباينة : $2\ge x\ge 9$

---

 

أَجدُ مجموعةَ حلِّ كلِّ مُتباينةٍ ممّا يأتي ، ثمَّ أُمثّلها على خطِّ الأعداد :

الحل : 

9) 3b - 1 < 7  or  4b + 1 > 9 

مجموعة الحل : $\{ b | b < \frac{8}{3} or b > 2 \}$

---

   10) 4 + k > 3  or  6k < -30

مجموعة الحل : $\{ k | k < -5 or k > -1 \}$

 

 

---

11) 7 - 3c ≥ 1  or  5c + 2 ≥ 17 

مجموعةُ حلِّ المُتباينةِ هِيَ اتِّحادُ المُتباينَتَيْنِ : $\left\{c\right|c\ge -2\}$

---

 12) 6 - a < 1  or  3a ≤ 12

مجموعة الحل : $\left\{a\right|a\le 4 or a>5\}$

 

---

13) 7 ≤ 3 - 2p < 11     

$$\begin{gathered} 7-3 \le 3 - 2p-3 < 11-3 \\ 4 \le -2P < 8 \\ -2 \ge p >-4 \\ \Rightarrow -4 < p \le -2 \end{gathered}$$

مجموعة الحل: $\left\{p\right|-4<p\le -2\}$

---

  14) 1.5 < w + 3 < 6.5

$1.5-3<w+3-3<6.5-3$ $-1.5<w<3.5$

مجموعة الحل : $\left\{w\right|-1.5<w\le 3.5\}$

---

15) -6 ≤ 3x + 9 < 21     

$-6-9\le 3x+9-9<21-9$ $-15\le 3x<12$ $-5\le x<4$

مجموعة الحل: $\left\{x\right|-5\le x<4\}$

---

 16) -9 < -2s -1 ≤ -7

$-9+1<-2s-1+1\le -7+1$ $-8<-2s\le -6$ $4>s\ge 3\Rightarrow 3\le s<4$

مجموعة الحل : $\left\{s\right|3\le s<4\}$

---

 

17)  أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في حلِّ المُتباينة المُركَّبة الآتية، وأُصحِّحُهُ:

الحل : 

الخطأ في حل المتباينة في تحديد فترتي الحل ، والحل الصحيح :  

 اتحادُ فترتينِ منفصلتينِ : $(-\infty , -10) \cup (5 , \infty )$

---